Lápiz Lefschetz - Lefschetz pencil

En matemáticas , un lápiz Lefschetz es una construcción en la geometría algebraica considerado por Solomon Lefschetz , utilizado para analizar la topología algebraica de una variedad algebraica V .

Descripción

Un lápiz es un tipo particular de sistema lineal de divisores en V , es decir, una familia de un parámetro, parametrizada por la línea proyectiva . Esto significa que en el caso de una variedad algebraica compleja V , un lápiz de Lefschetz es algo así como una fibración sobre la esfera de Riemann ; pero con dos salvedades sobre la singularidad.

El primer punto surge si asumimos que V se da como una variedad proyectiva y que los divisores de V son secciones de hiperplano . Supongamos que se dan los hiperplanos H y H ′, que abarcan el lápiz; en otras palabras, H viene dado por L = 0 y H ′ por L ′ = 0 para las formas lineales L y L ′, y la sección general del hiperplano es V intersecada con

${\ Displaystyle \ lambda L + \ mu L ^ {\ prime} = 0. \}$

Entonces la intersección J de H con H ′ tiene codimensión dos. Hay un mapeo racional

${\ Displaystyle V \ rightarrow P ^ {1} \}$

que es de hecho bien definido solamente fuera de los puntos en la intersección de J con V . Para realizar una asignación bien definida, algunos voladura debe aplicarse a V .

El segundo punto es que las propias fibras pueden "degenerarse" y adquirir puntos singulares (donde se aplica el lema de Bertini , la sección general del hiperplano será suave). Un lápiz de Lefschetz restringe la naturaleza de las singularidades adquiridas, de modo que la topología puede analizarse mediante el método del ciclo de fuga . Las fibras con singularidades solo deben tener una singularidad cuadrática única.

Se ha demostrado que los lápices de Lefschetz existen en la característica cero . Se aplican de forma similar, pero más complicada, que las funciones de Morse en variedades suaves . También se ha demostrado que los lápices de Lefschetz existen en la característica p para la topología étale.

Simon Donaldson ha encontrado un papel para los lápices Lefschetz en la topología simpléctica , lo que ha llevado a un interés de investigación más reciente en ellos.

Ver también

• Teoría de Picard-Lefschetz

Referencias

• Donaldson, Simon K. (1998). "Fibraciones de Lefschetz en geometría simpléctica". Documenta Mathematica (Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Vol. II (Berlín, 1998)). Volumen adicional II: 309-314. Señor   1648081 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joe (1994). Principios de geometría algebraica . Biblioteca de clásicos de Wiley. Wiley Interscience. pag. 509. ISBN   0-471-05059-8 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )

Notas

enlaces externos

• Gompf, Robert (2005). "¿Qué es un lápiz Lefschetz?" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 52 (8). CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
• Gompf, Robert (2001). "La topología de variedades simplécticas" (PDF) . Revista Turca de Matemáticas . 25 : 43–59. Señor   1829078 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )