Invariante de Laplace - Laplace invariant

En ecuaciones diferenciales , el invariante de Laplace de cualquiera de ciertos operadores diferenciales es una determinada función de los coeficientes y sus derivadas . Considere un operador diferencial hiperbólico bivariado de segundo orden

${\ estilo de exhibición \ parcial _ {x} \, \ parcial _ {y} + a \, \ parcial _ {x} + b \, \ parcial _ {y} + c, \,}$

cuyos coeficientes

${\ Displaystyle a = a (x, y), \ \ b = c (x, y), \ \ c = c (x, y),}$

son funciones suaves de dos variables. Sus invariantes de Laplace tienen la forma

${\ Displaystyle {\ hat {a}} = c-ab-a_ {x} \ quad {\ text {y}} \ quad {\ hat {b}} = c-ab-b_ {y}.}$

Su importancia se debe al teorema clásico:

Teorema : Dos operadores de la forma son equivalentes bajo transformaciones de calibre si y solo si sus invariantes de Laplace coinciden por pares.

Aquí los operadores

${\ Displaystyle A \ quad {\ text {y}} \ quad {\ tilde {A}}}$

se llaman equivalentes si hay una transformación de calibre que lleva una a la otra:

${\ Displaystyle {\ tilde {A}} g = e ^ {- \ varphi} A (e ^ {\ varphi} g) \ equiv A _ {\ varphi} g.}$

Los invariantes de Laplace se pueden considerar como "residuos" de factorización para el operador inicial A :

${\ estilo de visualización \ parcial _ {x} \, \ parcial _ {y} + a \, \ parcial _ {x} + b \, \ parcial _ {y} + c = \ izquierda \ {{\ begin {matriz} {c} (\ parcial _ {x} + b) (\ parcial _ {y} + a) -ab-a_ {x} + c, \\ (\ parcial _ {y} + a) (\ parcial _ { x} + b) -ab-b_ {y} + c. \ end {matriz}} \ right.}$

Si al menos uno de los invariantes de Laplace no es igual a cero, es decir

${\ Displaystyle c-ab-a_ {x} \ neq 0 \ quad {\ text {y / o}} \ quad c-ab-b_ {y} \ neq 0,}$

entonces esta representación es un primer paso de las transformaciones de Laplace-Darboux utilizadas para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales bivariadas no factorizables (LPDE).

Si ambos invariantes de Laplace son iguales a cero, es decir

${\ Displaystyle c-ab-a_ {x} = 0 \ quad {\ text {y}} \ quad c-ab-b_ {y} = 0,}$

entonces el operador diferencial A es factorizable y la correspondiente ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden se puede resolver.

Se han introducido invariantes de Laplace para un operador diferencial parcial lineal bivariado (LPDO) de orden 2 y de tipo hiperbólico. Son un caso particular de invariantes generalizados que pueden construirse para un LPDO bivariado de orden arbitrario y tipo arbitrario; consulte Factorización invariable de LPDO .

Ver también

• Derivada parcial
• Invariante (matemáticas)
• Teoría invariante

Referencias

• G. Darboux, "Leçons sur la théorie général des surface", Gauthier-Villars (1912) (Edición: Segunda)
• G. Tzitzeica G., "Sur un teorema de M. Darboux". Comptes Rendu de l'Academie des Sciences 150 (1910), págs. 955–956; 971–974
• L. Bianchi, "Lezioni di geometria differenziale", Zanichelli, Bolonia, (1924)
• AB Shabat, "Sobre la teoría de las transformaciones de Laplace-Darboux". J. Theor. Matemáticas. Phys. Vol. 103, N.1, págs. 170-175 (1995) [1]
• AN Leznov, diputado Saveliev. "Métodos teóricos de grupo para la integración en sistemas dinámicos no lineales" (ruso), Moscú, Nauka (1985). Traducción al inglés: Progress in Physics, 15. Birkhauser Verlag, Basel (1992)