L p espacio - Lp space

En matemáticas , los espacios L p son espacios funcionales definidos usando una generalización natural de la p -norm para espacios vectoriales de dimensión finita . A veces se llaman espacios de Lebesgue , el nombre de Henri Lebesgue ( Dunford y Schwartz 1958 , III.3), aunque según el Bourbaki grupo ( Bourbaki 1987 ) que se introdujo por primera vez por Frigyes Riesz ( Riesz 1910 ). Los espacios L p forman una clase importante de espacios de Banach en el análisis funcional y de espacios vectoriales topológicos . Debido a su papel clave en el análisis matemático de los espacios de medida y probabilidad, los espacios de Lebesgue se utilizan también en la discusión teórica de problemas en física, estadística, finanzas, ingeniería y otras disciplinas.

Aplicaciones

Estadísticas

En estadística , las medidas de tendencia central y dispersión estadística , como la media , la mediana y la desviación estándar , se definen en términos de métricas L p , y las medidas de tendencia central pueden caracterizarse como soluciones a problemas variacionales .

En la regresión penalizada, "penalización L1" y "penalización L2" se refieren a penalizar la norma L 1 del vector de valores de parámetros de una solución (es decir, la suma de sus valores absolutos) o su norma L 2 (su longitud euclidiana ). Las técnicas que utilizan una penalización L1, como LASSO , fomentan soluciones donde muchos parámetros son cero. Las técnicas que utilizan una penalización L2, como la regresión de crestas , fomentan soluciones en las que la mayoría de los valores de los parámetros son pequeños. La regularización neta elástica utiliza un término de penalización que es una combinación de la norma L 1 y la norma L 2 del vector de parámetros.

Desigualdad de Hausdorff-Young

La transformada de Fourier para la línea real (o, para funciones periódicas , ver series de Fourier ), mapea L p ( R ) a L q ( R ) (o L p ( T ) a q ) respectivamente, donde 1 ≤ p ≤ 2 y 1/pag + 1/q= 1 . Esto es una consecuencia del teorema de interpolación de Riesz-Thorin , y se precisa con la desigualdad de Hausdorff-Young .

Por el contrario, si p > 2 , la transformada de Fourier no se asigna a L q .

Espacios de Hilbert

Los espacios de Hilbert son fundamentales para muchas aplicaciones, desde la mecánica cuántica hasta el cálculo estocástico . Los espacios L 2 y 2 son ambos espacios de Hilbert. De hecho, al elegir una base de Hilbert (es decir, un subconjunto ortonormal máximo de L 2 o cualquier espacio de Hilbert), se ve que todos los espacios de Hilbert son isométricos a 2 ( E ) , donde E es un conjunto con una cardinalidad apropiada.

La p -norm en dimensiones finitas

Ilustraciones de círculos unitarios (ver también superelipse ) en R 2 basadas en diferentes p -normas (cada vector desde el origen hasta el círculo unitario tiene una longitud de uno, la longitud se calcula con la fórmula de longitud de la p correspondiente ).

La longitud de un vector x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) en el espacio vectorial real n- dimensional R n suele estar dada por la norma euclidiana :

La distancia euclidiana entre dos puntos x y y es la longitud || x - y || 2 de la línea recta entre los dos puntos. En muchas situaciones, la distancia euclidiana es insuficiente para capturar las distancias reales en un espacio dado. Una analogía a esto es sugerida por los taxistas en un plano de calles de cuadrícula que deben medir la distancia no en términos de la longitud de la línea recta hasta su destino, sino en términos de la distancia rectilínea , que tiene en cuenta que las calles son ortogonales o bien. paralelos entre sí. La clase de p -norms generaliza estos dos ejemplos y tiene una gran cantidad de aplicaciones en muchas partes de las matemáticas , la física y la informática .

Definición

Para un número real p ≥ 1 , la p -norm o L p -norm de x se define por

Las barras de valor absoluto son innecesarias cuando p es un número racional y, en forma reducida, tiene un numerador par.

La norma euclidiana de arriba cae en esta clase y es la norma 2 , y la norma 1 es la norma que corresponde a la distancia rectilínea .

La L -norma o norma máxima (o norma uniforme) es el límite de los L p -norms para p → ∞ . Resulta que este límite equivale a la siguiente definición:

Ver L -infinito .

Para todo p ≥ 1 , las p -normas y la norma máxima tal como se definieron anteriormente satisfacen las propiedades de una "función de longitud" (o norma ), que son las siguientes:

  • solo el vector cero tiene longitud cero,
  • la longitud del vector es positiva homogénea con respecto a la multiplicación por un escalar ( homogeneidad positiva ), y
  • la longitud de la suma de dos vectores no es mayor que la suma de las longitudes de los vectores ( desigualdad del triángulo ).

Hablando en abstracto, esto significa que R n junto con la p -norm es un espacio de Banach . Este espacio de Banach es el L p -espacio sobre R n .

Relaciones entre p -normas

La distancia de la cuadrícula o distancia rectilínea (a veces llamada " distancia de Manhattan ") entre dos puntos nunca es más corta que la longitud del segmento de línea entre ellos (la distancia euclidiana o "en línea recta"). Formalmente, esto significa que la norma euclidiana de cualquier vector está limitada por su norma 1:

Este hecho se generaliza a p -normas en que la p -norm || x || p de cualquier vector x dado no crece con p :

|| x || p + a ≤ || x || p para cualquier vector x y números reales p ≥ 1 y a ≥ 0 . (De hecho, esto sigue siendo cierto para 0 < p <1 y a ≥ 0 ).

Para la dirección opuesta, se conoce la siguiente relación entre la norma 1 y la norma 2 :

Esta desigualdad depende de la dimensión n del espacio vectorial subyacente y se deriva directamente de la desigualdad de Cauchy-Schwarz .

En general, para vectores en C n donde 0 < r < p :

Esta es una consecuencia de la desigualdad de Hölder .

Cuando 0 < p <1

Astroide , círculo unitario en p =2/3 métrico

En R n para n > 1 , la fórmula

define una función absolutamente homogénea para 0 < p <1 ; sin embargo, la función resultante no define una norma, porque no es subaditiva . Por otro lado, la fórmula

define una función subaditiva a costa de perder la homogeneidad absoluta. Sin embargo, define una norma F que es homogénea de grado p .

Por tanto, la función

define una métrica . El espacio métrico ( R n , d p ) se denota por n p .

Aunque la bola p -unitaria B n p alrededor del origen en esta métrica es "cóncava", la topología definida en R n por la métrica d p es la topología de espacio vectorial habitual de R n , por lo tanto, n p es una topología localmente convexa. espacio vectorial. Más allá de este enunciado cualitativo, una forma cuantitativa de medir la falta de convexidad de n p es denotar por C p ( n ) la constante más pequeña C tal que el múltiplo C B n p de la bola p -unitaria contiene el casco convexo de B n p , igual a B n 1 . El hecho de que para p <1 fijo tenemos

muestra que el espacio secuencial de dimensión infinita p definido a continuación, ya no es localmente convexo.

Cuando p = 0

Hay una norma 0 y otra función llamada "norma" 0 (entre comillas).

La definición matemática de la norma 0 fue establecida por la Teoría de Operaciones Lineales de Banach . El espacio de secuencias tiene una topología métrica completa proporcionada por la norma F

que es discutido por Stefan Rolewicz en Metric Linear Spaces . El espacio con norma 0 se estudia en análisis funcional, teoría de probabilidad y análisis armónico.

Otra función fue denominada 0 "norma" por David Donoho —cuyas comillas advierten que esta función no es una norma propiamente dicha — es el número de entradas distintas de cero del vector x . Muchos autores abusan de la terminología omitiendo las comillas. Definiendo 0 0 = 0 , la "norma" cero de x es igual a

Un gif animado de p-normas 0.1 a 2 con un paso de 0.05.
Un gif animado de p-normas 0.1 a 2 con un paso de 0.05.

Esto no es una norma porque no es homogéneo . Por ejemplo, escalar el vector x por una constante positiva no cambia la "norma". A pesar de estos defectos como norma matemática, la "norma" de conteo diferente de cero tiene usos en la computación científica , la teoría de la información y la estadística , especialmente en la detección comprimida en el procesamiento de señales y el análisis armónico computacional . A pesar de no ser una norma, la métrica asociada, conocida como distancia de Hamming , es una distancia válida, ya que no se requiere homogeneidad para las distancias.

La p -norm en dimensiones infinitas y espacios p

El espacio de secuencia p

La p -norm puede extenderse a vectores que tienen un número infinito de componentes ( secuencias ), lo que produce el espacio p . Este contiene como casos especiales:

El espacio de secuencias tiene una estructura de espacio vectorial natural aplicando suma y multiplicación escalar coordenada por coordenada. Explícitamente, la suma vectorial y la acción escalar para secuencias infinitas de números reales (o complejos ) están dadas por:

Defina la p -norm:

Aquí surge una complicación, a saber, que la serie de la derecha no siempre es convergente, por ejemplo, la secuencia formada solo por unos, (1, 1, 1, ...) , tendrá una p -norm infinita para 1 ≤ p <∞ . El espacio  p se define entonces como el conjunto de todas las secuencias infinitas de números reales (o complejos) tales que la p -norm es finita.

Se puede comprobar que a medida que aumenta p , el conjunto  p aumenta. Por ejemplo, la secuencia

no está en  1 , pero está en  p para p > 1 , ya que la serie

diverge para p = 1 (la serie armónica ), pero es convergente para p > 1 .

También se define la -norm usando el supremum :

y el espacio correspondiente  ∞ de todas las secuencias acotadas. Resulta que

si el lado derecho es finito o el lado izquierdo es infinito. Por lo tanto, consideraremos p espacios para 1 ≤ p ≤ ∞ .

La p -norm así definida en  p es de hecho una norma, y p junto con esta norma es un espacio de Banach . El espacio L p completamente general se obtiene —como se ve a continuación— considerando vectores, no sólo con un número finito o numerable-infinito de componentes, sino con " muchos componentes arbitrariamente "; en otras palabras, funciones . Se usa una integral en lugar de una suma para definir la p -norm.

General ℓ p- espacio

En completa analogía con la definición anterior, se puede definir el espacio sobre un conjunto de índices general (y ) como

,

donde la convergencia a la derecha significa que solo un número numerable de sumandos son distintos de cero (ver también Convergencia incondicional ). Con la norma

el espacio se convierte en un espacio de Banach. En el caso de que sea ​​finito con elementos, esta construcción produce R n con la norma -norm definida anteriormente. Si es infinito numerable, este es exactamente el espacio de secuencia definido anteriormente. Para conjuntos incontables, este es un espacio de Banach no separable que puede verse como el límite directo localmente convexo de los espacios de secuencia.

El conjunto de índices se puede convertir en un espacio de medida dándole el σ-álgebra discreta y la medida de conteo . Entonces el espacio es solo un caso especial del espacio más general (ver más abajo).

Espacios L p e integrales de Lebesgue

Un espacio L p puede definirse como un espacio de funciones medibles para las cuales la -ésima potencia del valor absoluto es integrable de Lebesgue , donde se identifican funciones que concuerdan en casi todas partes. De manera más general, sea 1 ≤ p <∞ y ( S , Σ, μ ) un espacio de medida . Considere el conjunto de todas las funciones medibles de S a C o R cuyo valor absoluto elevado a la p -ésima potencia tiene una integral finita, o equivalentemente, que

El conjunto de tales funciones forma un espacio vectorial , con las siguientes operaciones naturales:

para cada escalar λ .

Que la suma de dos p -ésimas funciones integrables de potencia es nuevamente p -ésima potencia integrable se deduce de la desigualdad

(Esto proviene de la convexidad de para ).

De hecho, más es verdad. La desigualdad de Minkowski dice que la desigualdad del triángulo es válida para || · || p . Por lo tanto, el conjunto de funciones integrables de p -ésima potencia, junto con la función || · || p , es un espacio vectorial seminorizado , que se denota por .

Para p = ∞ , el espacio es el espacio de funciones mensurables limitadas casi en todas partes, con el supremo esencial de su valor absoluto como norma:

Como en el caso discreto, si existe q <∞ tal que f   ∈ L ( S , μ ) ∩ L q ( S , μ ) , entonces

se puede convertir en un espacio vectorial normalizado de forma estándar; uno simplemente toma el espacio del cociente con respecto al núcleo de || · || p . Dado que para cualquier función medible f , tenemos que || f  || p = 0 si y solo si f   = 0 casi en todas partes , el núcleo de || · || p no depende de p ,

En el espacio del cociente, se identifican dos funciones f y g si f   = g casi en todas partes. El espacio vectorial normalizado resultante es, por definición,

En general, este proceso no se puede revertir: no hay una forma coherente de definir un representante "canónico" de cada clase de en . Porque , sin embargo, existe una teoría de ascensores que permite tal recuperación.

Cuando se entiende el espacio de medida subyacente S , L p ( S , μ ) a menudo se abrevia L p ( μ ) , o simplemente L p .

Para 1 ≤ p ≤ ∞, L p ( S , μ ) es un espacio de Banach . El hecho de que L p sea ​​completo a menudo se denomina teorema de Riesz-Fischer y puede demostrarse utilizando los teoremas de convergencia para integrales de Lebesgue .

Las definiciones anteriores se generalizan a los espacios de Bochner .

Casos especiales

Similar a los espacios p , L 2 es el único espacio de Hilbert entre los espacios L p . En el caso complejo, el producto interno en L 2 se define por

La estructura del producto interno adicional permite una teoría más rica, con aplicaciones, por ejemplo, a las series de Fourier y la mecánica cuántica . Las funciones en L 2 a veces se denominan funciones cuadráticamente integrables , funciones cuadráticas integrables o funciones cuadradas sumables , pero a veces estos términos se reservan para funciones que son cuadráticas integrables en algún otro sentido, como en el sentido de una integral de Riemann ( Titchmarsh 1976 ).

Si utilizamos las funciones de valor complejo, el espacio L es un conmutativa C * -algebra con puntual multiplicación y conjugación. Para muchos espacios de medida, incluidos todos los sigma-finitos, es de hecho un álgebra de von Neumann conmutativa . Un elemento de L define un operador acotado en cualquier espacio L p por multiplicación .

Para 1 ≤ p ≤ ∞ la p espacios son un caso especial de L p espacios, cuando S = N , y μ es la medida de recuento en N . De manera más general, si se considera cualquier conjunto S con la medida de conteo, el espacio L p resultante se denota p ( S ) . Por ejemplo, el espacio p ( Z ) es el espacio de todas las secuencias indexadas por los enteros, y cuando se define la p -norm en dicho espacio, uno suma todos los enteros. El espacio p ( n ) , donde n es el conjunto con n elementos, es R n con su p -norm como se definió anteriormente. Como cualquier espacio de Hilbert, cada espacio L 2 es linealmente isométrico a un adecuado 2 ( I ) , donde la cardinalidad del conjunto I es la cardinalidad de una base Hilbertiana arbitraria para este L 2 particular .

Propiedades de los espacios L p

Espacios duales

El espacio dual (el espacio de Banach de todos los funcionales lineales continuos) de L p ( μ ) para 1 < p <∞ tiene un isomorfismo natural con L q ( μ ) , donde q es tal que1/pag + 1/q= 1 (es decir, q =pag/p - 1). Este isomorfismo asocia gL q ( μ ) con el funcional κ p ( g ) ∈ L p ( μ ) definido por

para cada

El hecho de que κ p ( g ) esté bien definido y sea continuo se deriva de la desigualdad de Hölder . κ p  : L q ( μ ) → L p ( μ ) es un mapeo lineal que es una isometría por el caso extremo de la desigualdad de Hölder. También es posible demostrar (por ejemplo, con el teorema de Radon-Nikodym , ver) que cualquier GL p ( μ ) puede expresarse de esta manera: es decir, que κ p está sobre . Dado que κ p es sobre e isométrica, es un isomorfismo de los espacios de Banach . Con este isomorfismo (isométrico) en mente, es habitual decir simplemente que L q es el espacio dual de Banach de L p .

Para 1 < p <∞ , el espacio L p ( μ ) es reflexivo . Sea κ p como arriba y sea κ q  : L p ( μ ) → L q ( μ ) la isometría lineal correspondiente. Considere el mapa de L p ( μ ) a L p ( μ ) ∗∗ , obtenido al componer κ q con la transposición (o adjunto) de la inversa de κ p :

Este mapa coincide con la incrustación canónica J de L p ( μ ) en su bidual. Además, el mapa j p está sobre, como composición de dos sobre isometrías, y esto prueba la reflexividad.

Si la medida μ en S es sigma-finita , entonces el dual de L 1 ( μ ) es isométricamente isomorfo a L ( μ ) (más precisamente, el mapa κ 1 correspondiente ap = 1 es una isometría de L ( μ ) sobre L 1 ( μ ) ).

El dual de L es más sutil. Los elementos de L ( μ ) pueden identificarse con medidas acotadas con signo finitamente aditivo en S que son absolutamente continuas con respecto a μ . Consulte el espacio b para obtener más detalles. Si asumimos el axioma de elección, este espacio es mucho mayor que L 1 ( μ ) excepto en algunos casos triviales. Sin embargo, Saharon Shelah demostró que hay extensiones relativamente consistentes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF + DC + "Cada subconjunto de los números reales tiene la propiedad de Baire ") en las que el dual de es 1 .

Embeddings

Coloquialmente, si 1 ≤ p < q ≤ ∞ , entonces L p ( S , μ ) contiene funciones que son localmente más singulares, mientras que los elementos de L q ( S , μ ) pueden estar más dispersos. Considere la medida de Lebesgue en la mitad de la línea (0, ∞) . Una función continua en L 1 podría explotar cerca de 0 pero debe decaer lo suficientemente rápido hacia el infinito. Por otro lado, las funciones continuas en L no necesitan decaer en absoluto, pero no se permite la explosión. El resultado técnico preciso es el siguiente. Suponga que 0 < p < q ≤ ∞ . Luego:

  1. L q ( S , μ ) ⊂ L p ( S , μ ) si f S no contiene conjuntos de medidas finitas pero arbitrariamente grandes, y
  2. L p ( S , μ ) ⊂ L q ( S , μ ) sif S no contiene conjuntos de medidas distintas de cero pero arbitrariamente pequeñas.

Ninguna condición se cumple para la línea real con la medida de Lebesgue. En ambos casos, la incrustación es continua, ya que el operador de identidad es un mapa lineal acotado de L q a L p en el primer caso, y L p a L q en el segundo. (Esto es una consecuencia del teorema del grafo cerrado y las propiedades de los espacios L p .) De hecho, si el dominio S tiene una medida finita, se puede hacer el siguiente cálculo explícito usando la desigualdad de Hölder

llevando a

.

La constante que aparece en la desigualdad anterior es óptima, en el sentido de que la norma del operador de la identidad I  : L q ( S , μ ) → L p ( S , μ ) es precisamente

el caso de la igualdad se logra exactamente cuando f   = 1 μ -casi-en todas partes.

Subespacios densos

A lo largo de esta sección asumimos que: 1 ≤ p <∞ .

Sea ( S , Σ, μ ) un espacio de medida. Una función simple integrable f en S es una de las formas

donde a j es escalar, A j ∈ Σ tiene medida finita y es la función indicadora del conjunto , para j = 1, ..., n . Por construcción de la integral , el espacio vectorial de funciones simples integrables es denso en L p ( S , Σ, μ ) .

Se puede decir más cuando S es un espacio topológico normal y Σ su Borel σ –álgebra , es decir, el σ –álgebra más pequeño de los subconjuntos de S que contienen los conjuntos abiertos .

Suponga que VS es un conjunto abierto con μ ( V ) <∞ . Se puede demostrar que para cada conjunto de Borel A ∈ Σ contenido en V , y para todo ε > 0 , existe un conjunto cerrado F y un conjunto abierto U tal que

De ello se deduce que existe una función de Urysohn continua 0 ≤ φ ≤ 1 en S que es 1 en F y 0 en SU , con

Si S puede ser cubierto por una secuencia creciente ( V n ) de conjuntos abiertos que tienen medida finita, entonces el espacio de p –funciones continuas integrables es denso en L p ( S , Σ, μ ) . Más precisamente, se pueden utilizar funciones continuas acotadas que desaparecen fuera de uno de los conjuntos abiertos V n .

Esto se aplica en particular cuando S = R d y cuando μ es la medida de Lebesgue. El espacio de funciones continuas y con soporte compacto es denso en L p ( R d ) . De manera similar, el espacio de funciones escalonadas integrables es denso en L p ( R d ) ; este espacio es el intervalo lineal de funciones indicadoras de intervalos acotados cuando d = 1 , de rectángulos acotados cuando d = 2 y más generalmente de productos de intervalos acotados.

Varias propiedades de funciones generales en L p ( R d ) se prueban primero para funciones continuas y con soporte compacto (a veces para funciones escalonadas), luego se extienden por densidad a todas las funciones. Por ejemplo, se demuestra de esta manera que las traslaciones son continuas en L p ( R d ) , en el siguiente sentido:

dónde

L p (0 < p <1)

Sea ( S , Σ, μ ) un espacio de medida. Si 0 < p <1 , entonces L p ( μ ) se puede definir como arriba: es el espacio vectorial de esas funciones medibles f tal que

Como antes, podemos introducir la p -norm || f  || p = N p (  f  ) 1 / p , pero || · || p no satisface la desigualdad del triángulo en este caso y define solo una cuasi norma . La desigualdad ( a + b ) pa  p + b  p , válida para a , b ≥ 0 implica que ( Rudin 1991 , §1.47)

y entonces la función

es una métrica de L p ( μ ) . El espacio métrico resultante está completo ; la verificación es similar al caso familiar cuando p ≥ 1 .

En este escenario, L p satisface una desigualdad de Minkowski inversa , es decir, para u , v en L p

Este resultado puede utilizarse para probar las desigualdades de Clarkson , que a su vez se utilizan para establecer la convexidad uniforme de los espacios L p para 1 < p <∞ ( Adams y Fournier 2003 ).

El espacio L p para 0 < p <1 es un espacio F : admite una métrica invariante de traducción completa con respecto a la cual las operaciones del espacio vectorial son continuas. También está limitado localmente , al igual que en el caso p ≥ 1 . Es el ejemplo prototípico de un espacio F que, para la mayoría de los espacios de medida razonables, no es localmente convexo : en  p o L p ([0, 1]) , todo conjunto convexo abierto que contiene la función 0 es ilimitado para p -cuasi-norma; por lo tanto, el vector 0 no posee un sistema fundamental de vecindades convexas. Específicamente, esto es cierto si el espacio de medida S contiene una familia infinita de conjuntos medibles disjuntos de medida positiva finita.

El único conjunto abierto convexo no vacío en L p ([0, 1]) es el espacio completo ( Rudin 1991 , §1.47). Como consecuencia particular, no hay funcionales lineales distintos de cero en L p ([0, 1]) : el espacio dual es el espacio cero. En el caso de la medida de conteo en los números naturales (que produce el espacio secuencial L p ( μ ) =  p ), los funcionales lineales acotados en  p son exactamente los que están acotados en  1 , es decir, los dados por secuencias en  ∞ . Aunque  p contiene conjuntos abiertos convexos no triviales, no tiene suficientes para proporcionar una base para la topología.

La situación de no tener funcionales lineales es altamente indeseable a los efectos de hacer análisis. En el caso de la medida de Lebesgue en R n , en lugar de trabajar con L p para 0 < p <1 , es común trabajar con el espacio de Hardy H  p siempre que sea posible, ya que tiene bastantes funcionales lineales: suficientes para distinguir puntos el uno del otro. Sin embargo, el teorema de Hahn-Banach todavía falla en H  p para p <1 ( Duren 1970 , §7.5).

L 0 , el espacio de funciones medibles

El espacio vectorial de (clases de equivalencia de) funciones medibles en ( S , Σ, μ ) se denota L 0 ( S , Σ, μ ) ( Kalton, Peck & Roberts 1984 ). Por definición, contiene todos los L p , y está equipado con la topología de convergencia en medida . Cuando μ es una medida de probabilidad (es decir, μ ( S ) = 1 ), este modo de convergencia se denomina convergencia en probabilidad .

La descripción es más fácil cuando μ es finito. Si μ es una medida finita en ( S , Σ) , la función 0 admite para la convergencia en la medida el siguiente sistema fundamental de vecindades

La topología se puede definir mediante cualquier métrica d de la forma

donde φ es cóncava continua acotada y no decreciente en [0, ∞) , con φ (0) = 0 y φ ( t )> 0 cuando t > 0 (por ejemplo, φ ( t ) = min ( t , 1) ) . Tal métrica se llama Lévy -metric para L 0 . Bajo esta métrica, el espacio L 0 está completo (nuevamente es un espacio F). En general, el espacio L 0 no está limitado localmente ni convexo localmente.

Para la medida infinita de Lebesgue λ en R n , la definición del sistema fundamental de vecindades podría modificarse de la siguiente manera

El espacio resultante L 0 ( R n , λ ) coincide como espacio vectorial topológico con L 0 ( R n , g ( x ) d λ (x)) , para cualquier λ positiva - densidad integrable g .

Generalizaciones y extensiones

Débil L p

Let ( S , Σ , μ ) ser un espacio de medida, y f una función medible con los valores reales o complejos en S . La función de distribución de f se define para t ≥ 0 por

Si f está en L p ( S , μ ) para algún p con 1 ≤ p <∞ , entonces por la desigualdad de Markov ,

Se dice que una función f está en el espacio débil L p ( S , μ ) , o L p , w ( S , μ ) , si hay una constante C > 0 tal que, para todo t > 0 ,

La mejor constante C para esta desigualdad es la L p , w -norm de f , y se denota por

Los débiles L p coinciden con los espacios de Lorentz L p , ∞ , por lo que esta notación también se usa para denotarlos.

La L p , w -norm no es una norma verdadera, ya que la desigualdad del triángulo no se cumple. Sin embargo, para f en L p ( S , μ ) ,

y en particular L p ( S , μ ) ⊂ L p , w ( S , μ ) .

De hecho, uno tiene

,

y subir al poder 1 / py tomar el supremo en t uno tiene

Bajo la convención de que dos funciones son iguales si son iguales μ casi en todas partes, entonces los espacios L p , w están completos ( Grafakos 2004 ).

Para cualquier 0 < r < p la expresión

es comparable a la L p , w -norm. Además, en el caso p > 1 , esta expresión define una norma si r = 1 . Por tanto, para p > 1, los espacios L p débiles son espacios de Banach ( Grafakos 2004 ).

Un resultado importante que utiliza los espacios L p , w es el teorema de interpolación de Marcinkiewicz , que tiene amplias aplicaciones para el análisis armónico y el estudio de integrales singulares .

Espacios L p ponderados

Como antes, considere un espacio de medida ( S , Σ, μ ) . Sea w  : S → [0, ∞) una función medible. El w - ponderada L p espacio se define como L p ( S , w  d μ ) , donde w  d μ significa la medida ν define por

o, en términos de la derivada Radon-Nikodym , w =d ν/d μla norma para L p ( S , w  d μ ) es explícitamente

Como L p -espacios, los espacios ponderados no tienen nada especial, ya que L p ( S , w  d μ ) es igual a L p ( S , d ν ) . Pero son el marco natural para varios resultados en el análisis armónico ( Grafakos 2004 ); aparecen por ejemplo en el teorema de Muckenhoupt : para 1 < p <∞ , la transformada clásica de Hilbert se define en L p ( T , λ ) donde T denota el círculo unitario y λ la medida de Lebesgue; el operador máximo (no lineal) de Hardy-Littlewood está acotado en L p ( R n , λ ) . El teorema de Muckenhoupt describe pesos w tales que la transformada de Hilbert permanece acotada en L p ( T , w  d λ ) y el operador máximo en L p ( R n , w  d λ ) .

Espacios L p en colectores

También se pueden definir espacios L p ( M ) en una variedad, llamados espacios L p intrínsecos de la variedad, usando densidades .

Espacios L p con valores vectoriales

Dado un espacio de medida ( X , Σ, μ ) y un espacio E localmente convexo , también se pueden definir espacios de funciones con valores E integrables en p de varias formas. Los más habituales son los espacios de funciones integrables de Bochner y Pettis-integrables . Usando el producto tensorial de espacios localmente convexos, estos pueden definirse respectivamente como y ; donde y respectivamente denotan los productos tensoriales proyectivos e inyectivos de espacios localmente convexos. Cuando E es un espacio nuclear , Grothendieck demostró que estas dos construcciones son indistinguibles.

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos