Misa de Komar - Komar mass

La masa de Komar (llamada así por Arthur Komar) de un sistema es uno de los varios conceptos formales de masa que se utilizan en la relatividad general . La masa de Komar se puede definir en cualquier espaciotiempo estacionario , que es un espaciotiempo en el que todos los componentes métricos se pueden escribir para que sean independientes del tiempo. Alternativamente, un espaciotiempo estacionario se puede definir como un espaciotiempo que posee un campo vectorial Killing similar al tiempo .

La siguiente discusión es una versión ampliada y simplificada del tratamiento motivacional en (Wald, 1984, pág. 288).

Motivación

Considere la métrica de Schwarzschild . Usando la base de Schwarzschild, un campo de marco para la métrica de Schwarzschild, se puede encontrar que la aceleración radial requerida para mantener una masa de prueba estacionaria en una coordenada de Schwarzschild de r es:

${\ Displaystyle a ^ {\ hat {r}} = {\ frac {m} {r ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {2m} {rc ^ {2}}}}}}}}$

Debido a que la métrica es estática, existe un significado bien definido para "mantener una partícula estacionaria".

Al interpretar esta aceleración como debida a una "fuerza gravitacional", podemos calcular la integral de la aceleración normal multiplicada por el área para obtener una integral de la "ley de Gauss" de:

${\ Displaystyle {\ frac {4 \ pi m} {\ sqrt {1 - {\ frac {2m} {rc ^ {2}}}}}}}$

Si bien esto se aproxima a una constante cuando r se acerca al infinito, no es una constante independiente de r . Por lo tanto, estamos motivados para introducir un factor de corrección para hacer que la integral anterior sea independiente del radio r del caparazón circundante. Para la métrica de Schwarzschild, este factor de corrección es el factor de "desplazamiento al rojo" o "dilatación del tiempo" a la distancia r . También se puede ver este factor como "corregir" la fuerza local a la "fuerza en el infinito", la fuerza que un observador en el infinito necesitaría aplicar a través de una cuerda para mantener la partícula estacionaria. (Wald, 1984). ${\ Displaystyle {\ sqrt {g_ {tt}}}}$

Para continuar, escribiremos un elemento de línea para una métrica estática.

${\ Displaystyle ds ^ {2} = g_ {tt} \, dt ^ {2} + \ mathrm {cuadrática \ forma} (dx \, dy \, dz)}$

donde g _tt y la forma cuadrática son funciones solo de las coordenadas espaciales x , y , zy no son funciones del tiempo. A pesar de nuestras elecciones de nombres de variables, no se debe suponer que nuestro sistema de coordenadas es cartesiano. El hecho de que ninguno de los coeficientes métricos sea función del tiempo hace que la métrica sea estacionaria: el hecho adicional de que no hay "términos cruzados" que involucren componentes de tiempo y espacio (como dx dt ) la hace estática.

Debido al supuesto simplificador de que algunos de los coeficientes métricos son cero, algunos de nuestros resultados en este tratamiento motivacional no serán tan generales como podrían ser.

En el espacio-tiempo plano, la aceleración adecuada requerida para mantener la estación es , donde u es la velocidad 4 de nuestra partícula flotante y tau es el tiempo adecuado. En el espacio-tiempo curvo, debemos tomar la derivada covariante. Por lo tanto, calculamos el vector de aceleración como: ${\ Displaystyle du / d \ tau}$

${\ Displaystyle a ^ {b} = \ nabla _ {u} u ^ {b} = u ^ {c} \ nabla _ {c} u ^ {b}}$

${\ Displaystyle a_ {b} = u ^ {c} \ nabla _ {c} u_ {b}}$

donde u ^b es un vector unitario similar al tiempo tal que u ^b u _b = -1.

La componente del vector de aceleración normal a la superficie es

${\ Displaystyle a _ {\ mathrm {norma}} = N ^ {b} a_ {b}}$

donde N ^b es un vector unitario normal a la superficie.

En un sistema de coordenadas de Schwarzschild, por ejemplo, encontramos que

${\ Displaystyle N ^ {b} a_ {b} = {\ frac {{\ frac {\ parcial g_ {tt}} {\ parcial r}} c ^ {2}} {2g_ {tt} {\ sqrt {g_ {rr}}}}} = {\ frac {m} {r ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {2m} {rc ^ {2}}}}}}}}$

como se esperaba, simplemente hemos vuelto a derivar los resultados anteriores presentados en un campo de marco en una base de coordenadas.

Definimos

${\ Displaystyle a \ inf = {\ sqrt {g_ {tt}}} a}$

de modo que en nuestro ejemplo de Schwarzschild: ${\ Displaystyle N ^ {b} a \ inf _ {b} = m / r ^ {2}.}$

Podemos, si lo deseamos, derivar las aceleraciones a _by la "aceleración en el infinito" a inf _b ajustada a partir de un potencial escalar Z, aunque no hay necesariamente ninguna ventaja particular al hacerlo. (Wald 1984, pág.158, problema 4)

${\ Displaystyle a_ {b} = \ nabla _ {b} Z_ {1} \ qquad Z_ {1} = \ ln {g_ {tt}}}$

${\ Displaystyle a \ inf _ {b} = \ nabla _ {b} Z_ {2} \ qquad Z_ {2} = {\ sqrt {g_ {tt}}}}$

Demostraremos que la integración de la componente normal de la "aceleración en el infinito" a inf sobre una superficie delimitante nos dará una cantidad que no depende de la forma de la esfera circundante, de modo que podamos calcular la masa encerrada por una esfera por la integral

${\ Displaystyle m = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {A} N ^ {b} a \ inf _ {b} dA}$

Para hacer esta demostración, necesitamos expresar esta integral de superficie como una integral de volumen. En el espacio-tiempo plano, usaríamos el teorema de Stokes e integraríamos sobre el volumen. En el espacio-tiempo curvo, este enfoque debe modificarse ligeramente. ${\ Displaystyle - \ nabla \ cdot a \ inf}$

Utilizando las fórmulas del electromagnetismo en el espacio-tiempo curvo como guía, escribimos en su lugar.

${\ Displaystyle F_ {ab} = a \ inf _ {a} \, u_ {b} -a \ inf _ {b} \, u_ {a}}$

donde F juega un papel similar al "tensor de Faraday", en el que podemos encontrar el valor de la "carga gravitacional", es decir, la masa, evaluándola e integrándola sobre el volumen de nuestra esfera. ${\ Displaystyle a \ inf _ {a} = F_ {ab} u ^ {b}}$${\ Displaystyle \ nabla ^ {a} F_ {ab} u ^ {b}}$

Un enfoque alternativo sería utilizar formas diferenciales , pero el enfoque anterior es computacionalmente más conveniente y no requiere que el lector comprenda las formas diferenciales.

Un cálculo extenso, pero sencillo (con álgebra computarizada) de nuestro elemento de línea asumido nos muestra que

${\ Displaystyle -u ^ {b} \ nabla ^ {a} F_ {ab} = {\ sqrt {g_ {tt}}} R_ {00} u ^ {a} u ^ {b} = {\ sqrt {g_ {tt}}} R_ {ab} u ^ {a} u ^ {b}}$

Así podemos escribir

${\ Displaystyle m = {\ frac {\ sqrt {g_ {tt}}} {4 \ pi}} \ int _ {V} R_ {ab} u ^ {a} u ^ {b}}$

En cualquier región de vacío del espacio-tiempo, todos los componentes del tensor de Ricci deben ser cero. Esto demuestra que encerrar cualquier cantidad de vacío no cambiará nuestra integral de volumen. También significa que nuestra integral de volumen será constante para cualquier superficie circundante, siempre que encerremos toda la masa gravitante dentro de nuestra superficie. Debido a que el teorema de Stokes garantiza que nuestra integral de superficie es igual a la integral de volumen anterior, nuestra integral de superficie también será independiente de la superficie envolvente siempre que la superficie envuelva toda la masa gravitante.

Usando las ecuaciones de campo de Einstein

${\ Displaystyle G ^ {u} {} _ {v} = R ^ {u} {} _ {v} - {\ frac {1} {2}} RI ^ {u} {} _ {v} = 8 \ pi T ^ {u} {} _ {v}}$

dejar que u = v y resumiendo, podemos demostrar que R = -8π T .

Esto nos permite reescribir nuestra fórmula de masa como una integral de volumen del tensor de tensión-energía.

${\ Displaystyle m = \ int _ {V} {\ sqrt {g_ {tt}}} \ left (2T_ {ab} -Tg_ {ab} \ right) u ^ {a} u ^ {b} dV}$

dónde

• V es el volumen sobre el que se integra;
• T _ab es el tensor de estrés-energía ;
• u ^a es un vector similar al tiempo unitario tal que u ^a u _a = -1.

Masa de Komar como integral de volumen - métrica estacionaria general

Para que la fórmula de la masa de Komar funcione para una métrica estacionaria general, independientemente de la elección de coordenadas, debe modificarse ligeramente. Presentaremos el resultado aplicable de (Wald, 1984 eq. 11.2.10) sin una prueba formal.

${\ Displaystyle m = \ int _ {V} \ left (2T_ {ab} -Tg_ {ab} \ right) u ^ {a} \ xi ^ {b} dV,}$

dónde

• V es el volumen que se integra sobre
• T _ab es el tensor de estrés-energía ;
• u ^a es un vector unitario similar al tiempo tal que u ^a u _a = -1;
• ${\ Displaystyle \ xi ^ {b}}$ es un vector de Killing , que expresa la simetría de traslación en el tiempo de cualquier métrica estacionaria . El vector Killing está normalizado para que tenga una unidad de longitud en el infinito, es decir, que en el infinito. ${\ Displaystyle \ xi ^ {a} \ xi _ {a} = - 1}$

Tenga en cuenta que reemplaza en nuestro resultado motivacional. ${\ Displaystyle \ xi ^ {b}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {g_ {tt}}} u ^ {b} \,}$

Si ninguno de los coeficientes métricos es función del tiempo, ${\ Displaystyle g_ {ab}}$${\ Displaystyle \ xi ^ {a} = (1,0,0,0).}$

Si bien no es necesario elegir coordenadas para un espacio-tiempo estacionario de manera que los coeficientes métricos sean independientes del tiempo, a menudo es conveniente .

Cuando elegimos tales coordenadas, el vector Killing similar al tiempo para nuestro sistema se convierte en un múltiplo escalar de un vector de coordenadas unitarias-tiempo, es decir, cuando este es el caso, podemos reescribir nuestra fórmula como ${\ Displaystyle \ xi ^ {a}}$${\ Displaystyle u ^ {a},}$${\ Displaystyle \ xi ^ {a} = Ku ^ {a}.}$

${\ Displaystyle m = \ int _ {V} \ left (2T_ {00} -Tg_ {00} \ right) KdV}$

Dado que, por definición, es un vector unitario, K es solo la longitud de , es decir, K = . ${\ Displaystyle u ^ {a}}$${\ Displaystyle \ xi ^ {b}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {- \ xi ^ {a} \ xi _ {a}}}}$

Al evaluar el factor de "desplazamiento al rojo" K basado en nuestro conocimiento de los componentes de , podemos ver que K = . ${\ Displaystyle \ xi ^ {a}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {g_ {tt}}}}$

Si elegimos nuestras coordenadas espaciales de modo que tengamos una métrica localmente Minkowskiana , sabemos que ${\ Displaystyle g_ {ab} = \ eta _ {ab}}$

${\ Displaystyle g_ {00} = - 1, T = -T_ {00} + T_ {11} + T_ {22} + T_ {33}}$

Con estas opciones de coordenadas, podemos escribir nuestra integral de Komar como

${\ Displaystyle m = \ int _ {V} {\ sqrt {- \ xi ^ {a} \ xi _ {a}}} \ left (T_ {00} + T_ {11} + T_ {22} + T_ { 33} \ derecha) dV}$

Si bien no podemos elegir un sistema de coordenadas para hacer un espacio-tiempo curvo globalmente Minkowskiano, la fórmula anterior proporciona una idea del significado de la fórmula de masa de Komar. Esencialmente, tanto la energía como la presión contribuyen a la masa de Komar. Además, la contribución de la energía y la masa locales a la masa del sistema se multiplica por el factor de "desplazamiento al rojo" local. ${\ Displaystyle K = {\ sqrt {g_ {tt}}} = {\ sqrt {- \ xi ^ {a} \ xi _ {a}}}}$

Masa de Komar como integral de superficie - métrica estacionaria general

También deseamos dar el resultado general para expresar la masa de Komar como una integral de superficie.

La fórmula para la masa de Komar en términos de la métrica y su vector Killing es (Wald, 1984, pág. 289, fórmula 11.2.9)

${\ Displaystyle m = - {\ frac {1} {8 \ pi}} \ int _ {S} \ epsilon _ {abcd} \ nabla ^ {c} \ xi ^ {d}}$

donde están los símbolos de Levi-civita y es el vector Killing de nuestra métrica estacionaria , normalizada de modo que en el infinito. ${\ Displaystyle \ epsilon _ {abcd}}$${\ Displaystyle \ xi ^ {d}}$${\ Displaystyle \ xi ^ {a} \ xi _ {a} = - 1}$

La integral de superficie anterior se interpreta como la integral "natural" de una forma de dos sobre una variedad.

Como se mencionó anteriormente, si ninguno de los coeficientes métricos es función del tiempo, ${\ Displaystyle g_ {ab}}$${\ Displaystyle \ xi ^ {a} = \ left (1,0,0,0 \ right)}$

Ver también

• Superpotencial de Komar
• Masa en relatividad general

Notas

Referencias

• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Prensa de la Universidad de Chicago . ISBN   0-226-87033-2 .
• Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman and Company. ISBN   0-7167-0344-0 . CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )