Ecuaciones de Kirchhoff - Kirchhoff equations

En dinámica de fluidos , las ecuaciones de Kirchhoff , nombradas en honor a Gustav Kirchhoff , describen el movimiento de un cuerpo rígido en un fluido ideal .

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {d \ sobre {dt}} {{\ parcial T} \ sobre {\ parcial {\ vec {\ omega}}}} & = {{\ parcial T} \ sobre {\ parcial {\ vec {\ omega}}}} \ veces {\ vec {\ omega}} + {{\ parcial T} \ sobre {\ parcial {\ vec {v}}}} \ veces {\ vec {v} } + {\ vec {Q}} _ {h} + {\ vec {Q}}, \\ [10pt] {d \ sobre {dt}} {{\ parcial T} \ sobre {\ parcial {\ vec { v}}}} & = {{\ parcial T} \ sobre {\ parcial {\ vec {v}}}} \ veces {\ vec {\ omega}} + {\ vec {F}} _ {h} + {\ vec {F}}, \\ [10pt] T & = {1 \ over 2} \ left ({\ vec {\ omega}} ^ {T} {\ tilde {I}} {\ vec {\ omega} } + mv ^ {2} \ right) \\ [10pt] {\ vec {Q}} _ {h} & ​​= - \ int p {\ vec {x}} \ times {\ hat {n}} \, d \ sigma, \\ [10pt] {\ vec {F}} _ {h} & ​​= - \ int p {\ hat {n}} \, d \ sigma \ end {alineado}}}$

donde y son los vectores de velocidad angular y lineal en el punto , respectivamente; es el momento de inercia tensor, es la masa del cuerpo; es una unidad normal a la superficie del cuerpo en el punto ; es una presión en este punto; y son el par y la fuerza hidrodinámicos que actúan sobre el cuerpo, respectivamente; e igualmente denotar todos los demás momentos de torsión y fuerzas que actúan sobre el cuerpo. La integración se realiza sobre la parte de la superficie del cuerpo expuesta al líquido. ${\ Displaystyle {\ vec {\ omega}}}$${\ Displaystyle {\ vec {v}}}$${\ Displaystyle {\ vec {x}}}$${\ Displaystyle {\ tilde {I}}}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle {\ hat {n}}}$${\ Displaystyle {\ vec {x}}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle {\ vec {Q}} _ {h}}$${\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {h}}$${\ Displaystyle {\ vec {Q}}}$${\ Displaystyle {\ vec {F}}}$

Si el cuerpo está completamente sumergido en un volumen infinitamente grande de fluido irrotante, incompresible, no viscoso, que está en reposo en el infinito, entonces los vectores y se pueden encontrar a través de la integración explícita, y la dinámica del cuerpo es descrita por Kirchhoff : Ecuaciones de Clebsch : ${\ Displaystyle {\ vec {Q}} _ {h}}$${\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {h}}$

${\ Displaystyle {d \ over {dt}} {{\ Particular L} \ over {\ Partical {\ vec {\ omega}}}} = {{\ Particular L} \ over {\ Particular {\ vec {\ omega }}}} \ veces {\ vec {\ omega}} + {{\ L parcial} \ sobre {\ parcial {\ vec {v}}}} \ veces {\ vec {v}}, \ quad {d \ sobre {dt}} {{\ L parcial} \ sobre {\ Parcial {\ vec {v}}}} = {{\ L parcial} \ sobre {\ Parcial {\ vec {v}}}} \ veces {\ vec {\ omega}},}$

${\ Displaystyle L ({\ vec {\ omega}}, {\ vec {v}}) = {1 \ over 2} (A {\ vec {\ omega}}, {\ vec {\ omega}}) + (B {\ vec {\ omega}}, {\ vec {v}}) + {1 \ sobre 2} (C {\ vec {v}}, {\ vec {v}}) + ({\ vec { k}}, {\ vec {\ omega}}) + ({\ vec {l}}, {\ vec {v}}).}$

Sus primeras integrales leen

${\ Displaystyle J_ {0} = \ izquierda ({{\ L parcial} \ sobre {\ parcial {\ vec {\ omega}}}}, {\ vec {\ omega}} \ derecha) + \ izquierda ({{ \ parcial L} \ sobre {\ parcial {\ vec {v}}}}, {\ vec {v}} \ derecha) -L, \ quad J_ {1} = \ izquierda ({{\ parcial L} \ sobre {\ parcial {\ vec {\ omega}}}}, {{\ parcial L} \ sobre {\ parcial {\ vec {v}}}} \ derecha), \ quad J_ {2} = \ izquierda ({{ \ L parcial} \ sobre {\ parcial {\ vec {v}}}}, {{\ L parcial} \ sobre {\ parcial {\ vec {v}}}} \ derecha)}$ .

Una mayor integración produce expresiones explícitas para la posición y las velocidades.

Referencias

• Kirchhoff GR Vorlesungen ueber Mathematische Physik, Mechanik . Conferencia 19. Leipzig: Teubner. 1877.
• Lamb, H., hidrodinámica . Sexta edición Cambridge (Reino Unido): Cambridge University Press. 1932.

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