Órbita de Kepler - Kepler orbit

Una órbita elíptica de Kepler con una excentricidad de 0,7, una órbita parabólica de Kepler y una órbita hiperbólica de Kepler con una excentricidad de 1,3. La distancia al punto focal es una función del ángulo polar con respecto a la línea horizontal como lo da la ecuación ( 13 )

En mecánica celeste , una órbita de Kepler (u órbita de Kepler , llamada así por el astrónomo alemán Johannes Kepler ) es el movimiento de un cuerpo en relación con otro, como una elipse , parábola o hipérbola , que forma un plano orbital bidimensional en tres dimensiones . espacio dimensional. Una órbita de Kepler también puede formar una línea recta . Considera sólo la atracción gravitacional puntual de dos cuerpos, despreciando las perturbaciones debidas a interacciones gravitacionales con otros objetos, el arrastre atmosférico , la presión de la radiación solar , un cuerpo central no esférico , etc. Por tanto, se dice que es una solución de un caso especial del problema de los dos cuerpos , conocido como el problema de Kepler . Como teoría de la mecánica clásica , tampoco tiene en cuenta los efectos de la relatividad general . Las órbitas keplerianas se pueden parametrizar en seis elementos orbitales de varias formas.

En la mayoría de las aplicaciones, existe un cuerpo central grande, cuyo centro de masa se supone que es el centro de masa de todo el sistema. Por descomposición, las órbitas de dos objetos de masa similar se pueden describir como órbitas de Kepler alrededor de su centro de masa común, su baricentro .

Introducción

Desde la antigüedad hasta los siglos XVI y XVII, se creía que los movimientos de los planetas seguían caminos geocéntricos perfectamente circulares como lo enseñaron los antiguos filósofos griegos Aristóteles y Ptolomeo . Las variaciones en los movimientos de los planetas se explicaron por caminos circulares más pequeños superpuestos en el camino más grande (ver epiciclo ). A medida que las mediciones de los planetas se volvieron cada vez más precisas, se propusieron revisiones a la teoría. En 1543, Nicolás Copérnico publicó un modelo heliocéntrico del Sistema Solar , aunque todavía creía que los planetas viajaban en trayectorias perfectamente circulares centradas en el Sol.

Historia de Kepler y el telescopio

Kepler se mudó a Praga y comenzó a trabajar con Tycho Brahe . Tycho le dio la tarea de revisar toda la información que Tycho tenía sobre Marte. Kepler notó que la posición de Marte estaba sujeta a muchos errores y creaba problemas para muchos modelos. Esto llevó a Kepler a configurar 3 leyes del movimiento planetario.

Primera ley: los planetas se mueven en elipses con el Sol en un foco

La ley cambiaría una excentricidad de 0.0. y enfoca más una excentricidad de 0.8. que muestran que las órbitas circular y elíptica tienen el mismo período y foco, pero diferentes barridos de área definida por el Sol.

Esto conduce a la Segunda Ley: el vector de radio describe áreas iguales en tiempos iguales.

Estas dos leyes se publicaron en el libro Astronomia Nova de Kepler en 1609.

Para un círculo, el movimiento es uniforme, sin embargo, para que la elíptica barra el área a una velocidad uniforme, el objeto se mueve rápidamente cuando el vector del radio es corto y se mueve más lento cuando el vector del radio es largo.

Kepler publicó su Tercera Ley del Movimiento Planetario en 1619, en su libro Harmonices Mundi . Newton usó la Tercera Ley para definir sus leyes de gravitación.

La tercera ley: Los cuadrados de los tiempos periódicos son entre sí como los cubos de las distancias medias.

Desarrollo de las leyes

En 1601, Johannes Kepler adquirió las extensas y meticulosas observaciones de los planetas realizadas por Tycho Brahe . Kepler pasaría los próximos cinco años tratando de ajustar las observaciones del planeta Marte a varias curvas. En 1609, Kepler publicó las dos primeras de sus tres leyes del movimiento planetario . La primera ley establece:

"La órbita de cada planeta es una elipse con el sol en el foco ".

De manera más general, la trayectoria de un objeto sometido a movimiento keplerio también puede seguir una parábola o una hipérbola , que, junto con las elipses, pertenecen a un grupo de curvas conocidas como secciones cónicas . Matemáticamente, la distancia entre un cuerpo central y un cuerpo en órbita se puede expresar como:

${\ Displaystyle r (\ theta) = {\ frac {a (1-e ^ {2})} {1 + e \ cos (\ theta)}}}$

donde:

• ${\ Displaystyle r}$ es la distancia
• ${\ Displaystyle a}$es el semieje mayor , que define el tamaño de la órbita
• ${\ Displaystyle e}$es la excentricidad , que define la forma de la órbita
• ${\ Displaystyle \ theta}$es la verdadera anomalía , que es el ángulo entre la posición actual del objeto en órbita y la ubicación en la órbita en la que está más cerca del cuerpo central (llamado periapsis ).

Alternativamente, la ecuación se puede expresar como:

${\ Displaystyle r (\ theta) = {\ frac {p} {1 + e \ cos (\ theta)}}}$

Donde se denomina recto semilato de la curva. Esta forma de la ecuación es particularmente útil cuando se trata de trayectorias parabólicas, para las cuales el semieje mayor es infinito. ${\ Displaystyle p}$

A pesar de desarrollar estas leyes a partir de observaciones, Kepler nunca pudo desarrollar una teoría para explicar estos movimientos.

Isaac Newton

Entre 1665 y 1666, Isaac Newton desarrolló varios conceptos relacionados con el movimiento, la gravitación y el cálculo diferencial. Sin embargo, estos conceptos no se publicaron hasta 1687 en los Principia , en los que esbozó sus leyes de movimiento y su ley de gravitación universal . Su segunda de sus tres leyes del movimiento establece:

La aceleración de un cuerpo es paralela y directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, está en la dirección de la fuerza neta y es inversamente proporcional a la masa del cuerpo:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a} = m {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}}}$

Donde:

• ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ es el vector de fuerza
• ${\ Displaystyle m}$ es la masa del cuerpo sobre la que actúa la fuerza
• ${\ Displaystyle \ mathbf {a}}$ es el vector de aceleración, la segunda derivada temporal del vector de posición ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$

Estrictamente hablando, esta forma de la ecuación solo se aplica a un objeto de masa constante, lo que es cierto según las suposiciones simplificadoras que se hacen a continuación.

Los mecanismos de la ley de gravitación universal de Newton; una masa puntual m ₁ atrae a otra masa puntual m ₂ por una fuerza F ₂ que es proporcional al producto de las dos masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia ( r ) entre ellas. Independientemente de las masas o la distancia, las magnitudes de | F ₁ | y | F ₂ | siempre será igual. G es la constante gravitacional .

La ley de gravitación de Newton establece:

Cada masa puntual atrae a todas las demás masas puntuales mediante una fuerza que apunta a lo largo de la línea que interseca ambos puntos. La fuerza es proporcional al producto de las dos masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las masas puntuales:

${\ Displaystyle F = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}}}$

donde:

• ${\ Displaystyle F}$ es la magnitud de la fuerza gravitacional entre las dos masas puntuales
• ${\ Displaystyle G}$es la constante gravitacional
• ${\ Displaystyle m_ {1}}$ es la masa del primer punto de masa
• ${\ Displaystyle m_ {2}}$ es la masa del segundo punto de masa
• ${\ Displaystyle r}$ es la distancia entre las dos masas puntuales

A partir de las leyes del movimiento y la ley de la gravitación universal, Newton pudo derivar las leyes de Kepler, que son específicas del movimiento orbital en astronomía. Dado que las leyes de Kepler estaban bien respaldadas por datos de observación, esta coherencia proporcionó un fuerte apoyo a la validez de la teoría generalizada de Newton y de la mecánica unificada celeste y ordinaria. Estas leyes del movimiento formaron la base de la mecánica celeste moderna hasta que Albert Einstein introdujo los conceptos de relatividad general y especial a principios del siglo XX. Para la mayoría de las aplicaciones, el movimiento keplerio se aproxima a los movimientos de los planetas y satélites con grados de precisión relativamente altos y se usa ampliamente en astronomía y astrodinámica .

Problema simplificado de dos cuerpos

Ver también análisis de órbita

Para resolver el movimiento de un objeto en un sistema de dos cuerpos , se pueden hacer dos supuestos simplificadores:

1. Los cuerpos son esféricamente simétricos y pueden tratarse como masas puntuales.

2. No hay fuerzas externas o internas que actúen sobre los cuerpos más que su gravitación mutua.

Las formas de los grandes cuerpos celestes están cerca de esferas. Por simetría, la fuerza gravitacional neta que atrae un punto de masa hacia una esfera homogénea debe dirigirse hacia su centro. El teorema de la cáscara (también probado por Isaac Newton) establece que la magnitud de esta fuerza es la misma que si toda la masa estuviera concentrada en el medio de la esfera, incluso si la densidad de la esfera varía con la profundidad (como ocurre con la mayoría de los celestes). cuerpos). De esto se deduce inmediatamente que la atracción entre dos esferas homogéneas es como si ambas tuvieran su masa concentrada en su centro.

Los objetos más pequeños, como los asteroides o las naves espaciales, a menudo tienen una forma que se desvía mucho de una esfera. Pero las fuerzas gravitacionales producidas por estas irregularidades son generalmente pequeñas en comparación con la gravedad del cuerpo central. La diferencia entre una forma irregular y una esfera perfecta también disminuye con las distancias, y la mayoría de las distancias orbitales son muy grandes en comparación con el diámetro de un pequeño cuerpo en órbita. Por lo tanto, para algunas aplicaciones, la irregularidad de la forma se puede ignorar sin un impacto significativo en la precisión. Este efecto es bastante notable para los satélites terrestres artificiales, especialmente aquellos en órbitas bajas.

Los planetas giran a velocidades variables y, por lo tanto, pueden tomar una forma ligeramente achatada debido a la fuerza centrífuga. Con una forma tan achatada, la atracción gravitacional se desviará un poco de la de una esfera homogénea. A mayores distancias, el efecto de esta oblatura se vuelve insignificante. Los movimientos planetarios en el Sistema Solar se pueden calcular con suficiente precisión si se tratan como masas puntuales.

Dos objetos de masa puntual con masas y vectores de posición y relativos a algún sistema de referencia inercial experimentan fuerzas gravitacionales: ${\ Displaystyle m_ {1}}$${\ Displaystyle m_ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {2}}$

${\ Displaystyle m_ {1} {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {1} = {\ frac {-Gm_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} \ mathbf {\ hat {r}}}$

${\ Displaystyle m_ {2} {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {2} = {\ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} \ mathbf {\ hat { r}}}$

donde es el vector de posición relativa de la masa 1 con respecto a la masa 2, expresado como: ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}}$

y es el vector unitario en esa dirección y es la longitud de ese vector. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}}$${\ Displaystyle r}$

Dividiendo por sus respectivas masas y restando la segunda ecuación de la primera, se obtiene la ecuación de movimiento para la aceleración del primer objeto con respecto al segundo:

${\ Displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} = - {\ frac {\ alpha} {r ^ {2}}} \ mathbf {\ hat {r}}}$

( 1 )

donde es el parámetro gravitacional y es igual a ${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle \ alpha = G (m_ {1} + m_ {2})}$

En muchas aplicaciones, se puede hacer un tercer supuesto simplificador:

3. En comparación con el cuerpo central, la masa del cuerpo en órbita es insignificante. Matemáticamente, m ₁ >> m ₂ , entonces α = G ( m ₁  +  m ₂ ) ≈ Gm ₁ .

Esta suposición no es necesaria para resolver el problema simplificado de dos cuerpos, pero simplifica los cálculos, particularmente con satélites en órbita terrestre y planetas en órbita alrededor del Sol. Incluso la masa de Júpiter es menor que la del Sol en un factor de 1047, lo que constituiría un error de 0.096% en el valor de α. Las excepciones notables incluyen el sistema Tierra-Luna (relación de masa de 81,3), el sistema Plutón-Caronte (relación de masa de 8,9) y sistemas estelares binarios.

Bajo estos supuestos, la ecuación diferencial para el caso de dos cuerpos se puede resolver completamente matemáticamente y la órbita resultante que sigue las leyes del movimiento planetario de Kepler se denomina "órbita de Kepler". Las órbitas de todos los planetas son órbitas de Kepler de alta precisión alrededor del Sol. Las pequeñas desviaciones se deben a las atracciones gravitacionales mucho más débiles entre los planetas y, en el caso de Mercurio , a la relatividad general . Las órbitas de los satélites artificiales alrededor de la Tierra son, con bastante aproximación, órbitas de Kepler con pequeñas perturbaciones debido a la atracción gravitacional del Sol, la Luna y el achatamiento de la Tierra. En aplicaciones de alta precisión para las que la ecuación de movimiento debe integrarse numéricamente teniendo en cuenta todas las fuerzas gravitacionales y no gravitacionales (como la presión de la radiación solar y el arrastre atmosférico ), los conceptos de la órbita de Kepler son de suma importancia y se utilizan mucho.

Elementos keplerianos

Elementos orbitales keplerianos .

Cualquier trayectoria kepleriana se puede definir mediante seis parámetros. El movimiento de un objeto que se mueve en un espacio tridimensional se caracteriza por un vector de posición y un vector de velocidad. Cada vector tiene tres componentes, por lo que el número total de valores necesarios para definir una trayectoria a través del espacio es seis. Una órbita se define generalmente por seis elementos (conocidos como elementos keplerianos ) que se pueden calcular a partir de la posición y la velocidad, tres de los cuales ya se han discutido. Estos elementos son convenientes porque de los seis, cinco no cambian para una órbita inmutable (un marcado contraste con dos vectores en constante cambio). Se puede predecir la ubicación futura de un objeto dentro de su órbita y su nueva posición y velocidad se pueden obtener fácilmente a partir de los elementos orbitales.

Dos definen el tamaño y la forma de la trayectoria:

• Semieje mayor ( )${\ Displaystyle a}$
• Excentricidad ( )${\ Displaystyle e}$

Tres definen la orientación del plano orbital :

• Inclinación ( ) define el ángulo entre el plano orbital y el plano de referencia.${\ Displaystyle i}$
• La longitud del nodo ascendente ( ) define el ángulo entre la dirección de referencia y el cruce ascendente de la órbita en el plano de referencia (el nodo ascendente).${\ Displaystyle \ Omega}$
• El argumento de periapsis ( ) define el ángulo entre el nodo ascendente y la periapsis.${\ Displaystyle \ omega}$

Y finalmente:

• La anomalía verdadera ( ) define la posición del cuerpo en órbita a lo largo de la trayectoria, medida desde la periapsis. Se pueden utilizar varios valores alternativos en lugar de la anomalía verdadera, siendo los más comunes la anomalía media y el tiempo transcurrido desde la periapsis.${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle T}$

Porque , y son simplemente medidas angulares que definen la orientación de la trayectoria en el marco de referencia, no son estrictamente necesarias cuando se habla del movimiento del objeto dentro del plano orbital. Se han mencionado aquí para que estén completos, pero no son necesarios para las pruebas a continuación. ${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ omega}$

Solución matemática de la ecuación diferencial ( 1 ) anterior

Para el movimiento bajo cualquier fuerza central, es decir, una fuerza paralela ar , el momento angular relativo específico permanece constante: ${\ Displaystyle \ mathbf {H} = \ mathbf {r} \ times {\ dot {\ mathbf {r}}}}$

${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {H}}} = {\ frac {d} {dt}} \ left (\ mathbf {r} \ times {\ dot {\ mathbf {r}}} \ right) = {\ dot {\ mathbf {r}}} \ times {\ dot {\ mathbf {r}}} + \ mathbf {r} \ times {\ ddot {\ mathbf {r}}} = \ mathbf {0} + \ mathbf {0} = \ mathbf {0}}$

Dado que el producto cruzado del vector de posición y su velocidad permanece constante, deben estar en el mismo plano, ortogonal a . Esto implica que la función vectorial es una curva plana . ${\ Displaystyle \ mathbf {H}}$

Debido a que la ecuación tiene simetría alrededor de su origen, es más fácil de resolver en coordenadas polares. Sin embargo, es importante señalar que la ecuación ( 1 ) se refiere a la aceleración lineal en oposición a la aceleración angular o radial . Por tanto, hay que tener cuidado al transformar la ecuación. Introducción de un sistema de coordenadas cartesianas y vectores unitarios polares en el plano ortogonal a : ${\ Displaystyle \ left ({\ ddot {\ mathbf {r}}} \ right),}$${\ Displaystyle \ left ({\ ddot {\ theta}} \ right)}$${\ Displaystyle \ left ({\ ddot {r}} \ right)}$${\ Displaystyle ({\ hat {\ mathbf {x}}}, {\ hat {\ mathbf {y}}})}$ ${\ Displaystyle ({\ hat {\ mathbf {r}}}, {\ hat {\ mathbf {q}}})}$${\ Displaystyle \ mathbf {H}}$

${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} = \ cos {\ theta} {\ hat {\ mathbf {x}}} + \ sin {\ theta} {\ hat {\ mathbf {y}}} }$

${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {q}}} = - \ sin {\ theta} {\ hat {\ mathbf {x}}} + \ cos {\ theta} {\ hat {\ mathbf {y}} }}$

Ahora podemos reescribir la función vectorial y sus derivadas como: ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = r (\ cos \ theta {\ hat {\ mathbf {x}}} + \ sin \ theta {\ hat {\ mathbf {y}}}) = r {\ hat {\ mathbf {r}}}}$

${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} = {\ dot {r}} {\ hat {\ mathbf {r}}} + r {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ mathbf { q}}}}$

${\ Displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} = ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}) {\ hat {\ mathbf {r}}} + (r {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}}) {\ hat {\ mathbf {q}}}}$

(ver " Cálculo de vectores "). Sustituyendo estos en ( 1 ), encontramos:

${\ Displaystyle ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}) {\ hat {\ mathbf {r}}} + (r {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}}) {\ hat {\ mathbf {q}}} = \ left (- {\ frac {\ alpha} {r ^ {2}}} \ right) {\ hat {\ mathbf {r}}} + (0) {\ hat {\ mathbf {q}}}}$

Esto da la ecuación diferencial polar no ordinaria:

${\ Displaystyle {\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2} = - {\ frac {\ alpha} {r ^ {2}}}}$

( 2 )

Para resolver esta ecuación, se deben eliminar todas las derivadas del tiempo. Esto trae:

${\ Displaystyle H = | \ mathbf {r} \ times {\ dot {\ mathbf {r}}} | = | (r \ cos (\ theta), r \ sin (\ theta), 0) \ times ({ \ dot {r}} \ cos (\ theta) -r \ sin (\ theta) {\ dot {\ theta}}, {\ dot {r}} \ sin (\ theta) + r \ cos (\ theta) {\ dot {\ theta}}, 0) | = | (0,0, r ^ {2} {\ dot {\ theta}}) | = r ^ {2} {\ dot {\ theta}}}$

${\ Displaystyle {\ dot {\ theta}} = {\ frac {H} {r ^ {2}}}}$

( 3 )

Tomando la derivada en el tiempo de ( 3 ) se obtiene

${\ Displaystyle {\ ddot {\ theta}} = - {\ frac {2 \ cdot H \ cdot {\ dot {r}}} {r ^ {3}}}}$

( 4 )

Las ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ) nos permiten eliminar las derivadas de tiempo de . Para eliminar las derivadas de tiempo de , se usa la regla de la cadena para encontrar sustituciones apropiadas: ${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle r}$

${\ Displaystyle {\ dot {r}} = {\ frac {dr} {d \ theta}} \ cdot {\ dot {\ theta}}}$

( 5 )

${\ Displaystyle {\ ddot {r}} = {\ frac {d ^ {2} r} {d \ theta ^ {2}}} \ cdot {\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ frac {dr} {d \ theta}} \ cdot {\ ddot {\ theta}}}$

( 6 )

Usando estas cuatro sustituciones, todas las derivadas de tiempo en ( 2 ) pueden ser eliminadas, produciendo una ecuación diferencial ordinaria para como función de${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle \ theta.}$

${\ Displaystyle {\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2} = - {\ frac {\ alpha} {r ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} r} {d \ theta ^ {2}}} \ cdot {\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ frac {dr} {d \ theta} } \ cdot {\ ddot {\ theta}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2} = - {\ frac {\ alpha} {r ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} r} {d \ theta ^ {2}}} \ cdot \ left ({\ frac {H} {r ^ {2}}} \ right) ^ {2} + {\ frac {dr} {d \ theta}} \ cdot \ left (- {\ frac {2 \ cdot H \ cdot {\ dot {r}}} {r ^ {3}}} \ right) -r \ left ({\ frac {H} {r ^ {2}}} \ right) ^ {2} = - {\ frac {\ alpha} {r ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {H ^ {2}} {r ^ {4}}} \ cdot \ left ({\ frac {d ^ {2} r} {d \ theta ^ {2}}} - 2 \ cdot {\ frac {\ left ({\ frac {dr} {d \ theta}} \ right) ^ {2}} {r}} - r \ right) = - {\ frac {\ alpha} {r ^ { 2}}}}$

( 7 )

La ecuación diferencial ( 7 ) se puede resolver analíticamente mediante la sustitución de variables

${\ Displaystyle r = {\ frac {1} {s}}}$

( 8 )

El uso de la regla de la cadena para la diferenciación obtiene:

${\ Displaystyle {\ frac {dr} {d \ theta}} = - {\ frac {1} {s ^ {2}}} \ cdot {\ frac {ds} {d \ theta}}}$

( 9 )

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} r} {d \ theta ^ {2}}} = {\ frac {2} {s ^ {3}}} \ cdot \ left ({\ frac {ds} {d \ theta}} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {s ^ {2}}} \ cdot {\ frac {d ^ {2} s} {d \ theta ^ {2}} }}$

( 10 )

Usando las expresiones ( 10 ) y ( 9 ) para y obtiene ${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} r} {d \ theta ^ {2}}}}$${\ displaystyle {\ frac {dr} {d \ theta}}}$

${\ Displaystyle H ^ {2} \ cdot \ left ({\ frac {d ^ {2} s} {d \ theta ^ {2}}} + s \ right) = \ alpha}$

( 11 )

con la solución general

${\ Displaystyle s = {\ frac {\ alpha} {H ^ {2}}} \ cdot \ left (1 + e \ cdot \ cos (\ theta - \ theta _ {0}) \ right)}$

( 12 )

donde e y son constantes de integración dependiendo de los valores iniciales para s y${\ Displaystyle \ theta _ {0}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {ds} {d \ theta}}.}$

En lugar de usar la constante de integración explícitamente, se introduce la convención de que los vectores unitarios que definen el sistema de coordenadas en el plano orbital se seleccionan de tal manera que toman el valor cero ye es positivo. Esto significa entonces que es cero en el punto donde es máximo y, por lo tanto, es mínimo. Definiendo el parámetro p como uno tiene que ${\ Displaystyle \ theta _ {0}}$${\ Displaystyle {\ hat {x}}, {\ hat {y}}}$${\ Displaystyle \ theta _ {0}}$${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle r = {\ tfrac {1} {s}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {H ^ {2}} {\ alpha}}}$

${\ Displaystyle r = {\ frac {1} {s}} = {\ frac {p} {1 + e \ cdot \ cos \ theta}}}$

Derivación alternativa

Otra forma de resolver esta ecuación sin el uso de ecuaciones diferenciales polares es la siguiente:

Defina un vector unitario tal que y . Resulta que ${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} = r \ mathbf {u}}$${\ Displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} = - {\ tfrac {\ alpha} {r ^ {2}}} \ mathbf {u}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {H} = \ mathbf {r} \ times {\ dot {\ mathbf {r}}} = r \ mathbf {u} \ times {\ frac {d} {dt}} (r \ mathbf {u}) = r \ mathbf {u} \ times (r {\ dot {\ mathbf {u}}} + {\ dot {r}} \ mathbf {u}) = r ^ {2} (\ mathbf { u} \ times {\ dot {\ mathbf {u}}}) + r {\ dot {r}} (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {u}) = r ^ {2} \ mathbf {u} \ times {\ dot {\ mathbf {u}}}}$

Ahora considera

${\ Displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} \ times \ mathbf {H} = - {\ frac {\ alpha} {r ^ {2}}} \ mathbf {u} \ times (r ^ {2 } \ mathbf {u} \ times {\ dot {\ mathbf {u}}}) = - \ alpha \ mathbf {u} \ times (\ mathbf {u} \ times {\ dot {\ mathbf {u}}} ) = - \ alpha [(\ mathbf {u} \ cdot {\ dot {\ mathbf {u}}}) \ mathbf {u} - (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u}) {\ dot { \ mathbf {u}}}]}$

(ver producto triple de Vector ). Darse cuenta de

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u} = | \ mathbf {u} | ^ {2} = 1}$

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ cdot {\ dot {\ mathbf {u}}} = {\ frac {1} {2}} (\ mathbf {u} \ cdot {\ dot {\ mathbf {u}} } + {\ dot {\ mathbf {u}}} \ cdot \ mathbf {u}) = {\ frac {1} {2}} {\ frac {d} {dt}} (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u}) = 0}$

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior se obtiene:

${\ Displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} \ times \ mathbf {H} = \ alpha {\ dot {\ mathbf {u}}}}$

Integrando ambos lados:

${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} \ times \ mathbf {H} = \ alpha \ mathbf {u} + \ mathbf {c}}$

donde c es un vector constante. Puntear esto con r produce un resultado interesante:

${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ cdot ({\ dot {\ mathbf {r}}} \ times \ mathbf {H}) = \ mathbf {r} \ cdot (\ alpha \ mathbf {u} + \ mathbf { c}) = \ alpha \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {u} + \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {c} = \ alpha r (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u}) + rc \ cos (\ theta) = r (\ alpha + c \ cos (\ theta))}$

donde es el ángulo entre y . Resolviendo para r : ${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$${\ Displaystyle \ mathbf {c}}$

${\ Displaystyle r = {\ frac {\ mathbf {r} \ cdot ({\ dot {\ mathbf {r}}} \ times \ mathbf {H})} {\ alpha + c \ cos (\ theta)}} = {\ frac {(\ mathbf {r} \ times {\ dot {\ mathbf {r}}}) \ cdot \ mathbf {H}} {\ alpha + c \ cos (\ theta)}} = {\ frac {| \ mathbf {H} | ^ {2}} {\ alpha + c \ cos (\ theta)}}.}$

Observe que son efectivamente las coordenadas polares de la función vectorial. Haciendo las sustituciones y , nuevamente llegamos a la ecuación ${\ Displaystyle (r, \ theta)}$${\ Displaystyle p = {\ tfrac {| \ mathbf {H} | ^ {2}} {\ alpha}}}$${\ Displaystyle e = {\ tfrac {c} {\ alpha}}}$

${\ Displaystyle r = {\ frac {p} {1 + e \ cdot \ cos \ theta}}}$

( 13 )

Ésta es la ecuación en coordenadas polares para una sección cónica con origen en un punto focal. El argumento se llama "anomalía verdadera". ${\ Displaystyle \ theta}$

Propiedades de la ecuación de trayectoria

Porque este es un círculo con radio p . ${\ Displaystyle e = 0}$

Porque esta es una elipse con ${\ Displaystyle 0 <e <1,}$

${\ Displaystyle a = {\ frac {p} {1-e ^ {2}}}}$

( 14 )

${\ Displaystyle b = {\ frac {p} {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} = a \ cdot {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}$

( 15 )

Porque esta es una parábola con distancia focal${\ Displaystyle e = 1}$${\ Displaystyle {\ tfrac {p} {2}}}$

Porque esto es una hipérbola con ${\ Displaystyle e> 1}$

${\ Displaystyle a = {\ frac {p} {e ^ {2} -1}}}$

( 16 )

${\ Displaystyle b = {\ frac {p} {\ sqrt {e ^ {2} -1}}} = a \ cdot {\ sqrt {e ^ {2} -1}}}$

( 17 )

La siguiente imagen ilustra un círculo (gris), una elipse (rojo), una parábola (verde) y una hipérbola (azul)

Un diagrama de las diversas formas de la órbita de Kepler y sus excentricidades. El azul es una trayectoria hiperbólica ( e > 1). El verde es una trayectoria parabólica ( e = 1). El rojo es una órbita elíptica (0 < e <1). Gray es una órbita circular ( e = 0).

El punto de la línea horizontal que sale a la derecha del punto focal es el punto en el que la distancia al foco toma el valor mínimo del pericentro. Para la elipse también hay un apocentro para el cual la distancia al foco toma el valor máximo Para la hipérbola el rango para es ${\ Displaystyle \ theta = 0}$${\ Displaystyle {\ tfrac {p} {1 + e}},}$${\ Displaystyle {\ tfrac {p} {1-e}}.}$${\ Displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle \ left [- \ cos ^ {- 1} \ left (- {\ frac {1} {e}} \ right) <\ theta <\ cos ^ {- 1} \ left (- {\ frac { 1} {e}} \ derecha) \ derecha]}$

y para una parábola el rango es

${\ Displaystyle \ left [- \ pi <\ theta <\ pi \ right]}$

Usando la regla de la cadena para la diferenciación ( 5 ), la ecuación ( 2 ) y la definición de p cuando se obtiene que el componente de velocidad radial es ${\ Displaystyle {\ frac {H ^ {2}} {\ alpha}}}$

${\ Displaystyle V_ {r} = {\ dot {r}} = {\ frac {H} {p}} \ cdot e \ cdot \ sin \ theta = {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {p}} } \ cdot e \ cdot \ sin \ theta}$

( 18 )

y que la componente tangencial (componente de velocidad perpendicular a ) es ${\ Displaystyle V_ {r}}$

${\ Displaystyle V_ {t} = r \ cdot {\ dot {\ theta}} = {\ frac {H} {r}} = {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {p}}} \ cdot (1 + e \ cdot \ cos \ theta)}$

( 19 )

La conexión entre el argumento polar y el tiempo t es ligeramente diferente para las órbitas elípticas e hiperbólicas. ${\ Displaystyle \ theta}$

Para una órbita elíptica se cambia a la " anomalía excéntrica " E para la cual

${\ Displaystyle x = a \ cdot \ cos E}$

( 20 )

${\ Displaystyle y = b \ cdot \ sin E}$

( 21 )

y consecuentemente

${\ Displaystyle {\ dot {x}} = - a \ cdot \ sin E \ cdot {\ dot {E}}}$

( 22 )

${\ Displaystyle {\ dot {y}} = b \ cdot \ cos E \ cdot {\ dot {E}}}$

( 23 )

y el momento angular H es

${\ Displaystyle H = x \ cdot {\ dot {y}} - y \ cdot {\ dot {x}} = a \ cdot b \ cdot (1-e \ cdot \ cos E) \ cdot {\ dot {E }}}$

( 24 )

La integración con respecto al tiempo t da

${\ Displaystyle H \ cdot t = a \ cdot b \ cdot (Ee \ cdot \ sin E)}$

( 25 )

bajo el supuesto de que el tiempo se selecciona de manera que la constante de integración sea cero. ${\ Displaystyle t = 0}$

Como por definición de p uno tiene

${\ Displaystyle H = {\ sqrt {\ alpha \ cdot p}}}$

( 26 )

esto se puede escribir

${\ Displaystyle t = a \ cdot {\ sqrt {\ frac {a} {\ alpha}}} (Ee \ cdot \ sin E)}$

( 27 )

Para una órbita hiperbólica se utilizan las funciones hiperbólicas para la parametrización

${\ Displaystyle x = a \ cdot (e- \ cosh E)}$

( 28 )

${\ Displaystyle y = b \ cdot \ sinh E}$

( 29 )

por cual uno tiene

${\ Displaystyle {\ dot {x}} = - a \ cdot \ sinh E \ cdot {\ dot {E}}}$

( 30 )

${\ Displaystyle {\ dot {y}} = b \ cdot \ cosh E \ cdot {\ dot {E}}}$

( 31 )

y el momento angular H es

${\ Displaystyle H = x \ cdot {\ dot {y}} - y \ cdot {\ dot {x}} = a \ cdot b \ cdot (e \ cdot \ cosh E-1) \ cdot {\ dot {E }}}$

( 32 )

Integrando con respecto al tiempo t obtiene

${\ Displaystyle H \ cdot t = a \ cdot b \ cdot (e \ cdot \ sinh EE)}$

( 33 )

es decir

${\ Displaystyle t = a \ cdot {\ sqrt {\ frac {a} {\ alpha}}} (e \ cdot \ sinh EE)}$

( 34 )

Para encontrar el tiempo t que corresponde a una cierta anomalía verdadera, se calcula el parámetro correspondiente E conectado al tiempo con la relación ( 27 ) para una elíptica y con la relación ( 34 ) para una órbita hiperbólica. ${\ Displaystyle \ theta}$

Tenga en cuenta que las relaciones ( 27 ) y ( 34 ) definen un mapeo entre los rangos

${\ Displaystyle \ left [- \ infty <t <\ infty \ right] \ longleftrightarrow \ left [- \ infty <E <\ infty \ right]}$

Algunas fórmulas adicionales

Para una órbita elíptica se obtiene de ( 20 ) y ( 21 ) que

${\ Displaystyle r = a \ cdot (1-e \ cdot \ cos E)}$

( 35 )

y por lo tanto que

${\ Displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {x} {r}} = {\ frac {\ cos Ee} {1-e \ cdot \ cos E}}}$

( 36 )

De ( 36 ) se sigue que

${\ Displaystyle \ tan ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}} = {\ frac {1- \ cos \ theta} {1+ \ cos \ theta}} = {\ frac {1 - {\ frac {\ cos Ee} {1-e \ cdot \ cos E}}} {1 + {\ frac {\ cos Ee} {1-e \ cdot \ cos E}}}} = {\ frac {1-e \ cdot \ cos E- \ cos E + e} {1-e \ cdot \ cos E + \ cos Ee}} = {\ frac {1 + e} {1-e}} \ cdot {\ frac {1- \ cos E} {1+ \ cos E}} = {\ frac {1 + e} {1-e}} \ cdot \ tan ^ {2} {\ frac {E} {2}}}$

A partir de la construcción geométrica que define la anomalía excéntrica , queda claro que los vectores y están en el mismo lado del eje x . De esto se deduce entonces que los vectores y están en el mismo cuadrante. Uno por lo tanto tiene que ${\ Displaystyle (\ cos E, \ sin E)}$${\ Displaystyle (\ cos \ theta, \ sin \ theta)}$${\ Displaystyle \ left (\ cos {\ tfrac {E} {2}}, \ sin {\ tfrac {E} {2}} \ right)}$${\ Displaystyle \ left (\ cos {\ tfrac {\ theta} {2}}, \ sin {\ tfrac {\ theta} {2}} \ right)}$

${\ Displaystyle \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = {\ sqrt {\ frac {1 + e} {1-e}}} \ cdot \ tan {\ frac {E} {2}}}$

( 37 )

y eso

${\ Displaystyle \ theta = 2 \ cdot \ arg \ left ({\ sqrt {1-e}} \ cdot \ cos {\ frac {E} {2}}, {\ sqrt {1 + e}} \ cdot \ sin {\ frac {E} {2}} \ right) + n \ cdot 2 \ pi}$

( 38 )

${\ Displaystyle E = 2 \ cdot \ arg \ left ({\ sqrt {1 + e}} \ cdot \ cos {\ frac {\ theta} {2}}, {\ sqrt {1-e}} \ cdot \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ right) + n \ cdot 2 \ pi}$

( 39 )

donde " " es el argumento polar del vector y n se selecciona de tal manera que${\ Displaystyle \ arg (x, y)}$${\ Displaystyle (x, y)}$${\ Displaystyle | E- \ theta | <\ pi}$

Para el cálculo numérico de la función estándar ATAN2 (y, x) (o en doble precisión DATAN2 (y, x)) disponible, por ejemplo, en el lenguaje de programación FORTRAN se puede utilizar. ${\ Displaystyle \ arg (x, y)}$

Tenga en cuenta que este es un mapeo entre los rangos

${\ Displaystyle \ left [- \ infty <\ theta <\ infty \ right] \ longleftrightarrow \ left [- \ infty <E <\ infty \ right]}$

Para una órbita hiperbólica se obtiene de ( 28 ) y ( 29 ) que

${\ Displaystyle r = a \ cdot (e \ cdot \ cosh E-1)}$

( 40 )

y por lo tanto que

${\ Displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {x} {r}} = {\ frac {e- \ cosh E} {e \ cdot \ cosh E-1}}}$

( 41 )

Como

${\ Displaystyle \ tan ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}} = {\ frac {1- \ cos \ theta} {1+ \ cos \ theta}} = {\ frac {1 - {\ frac {e- \ cosh E} {e \ cdot \ cosh E-1}}} {1 + {\ frac {e- \ cosh E} {e \ cdot \ cosh E-1}}}} = {\ frac {e \ cdot \ cosh E-e + \ cosh E} {e \ cdot \ cosh E + e- \ cosh E}} = {\ frac {e + 1} {e-1}} \ cdot {\ frac {\ cosh E-1} {\ cosh E + 1}} = {\ frac {e + 1} {e-1}} \ cdot \ tanh ^ {2} {\ frac {E} {2}}}$

y como y tienen el mismo signo, se sigue que ${\ Displaystyle \ tan {\ frac {\ theta} {2}}}$${\ Displaystyle \ tanh {\ frac {E} {2}}}$

${\ Displaystyle \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = {\ sqrt {\ frac {e + 1} {e-1}}} \ cdot \ tanh {\ frac {E} {2}}}$

( 42 )

Esta relación es conveniente para pasar entre "anomalía verdadera" y el parámetro E , este último conectado al tiempo a través de la relación ( 34 ). Tenga en cuenta que este es un mapeo entre los rangos

${\ Displaystyle \ left [- \ cos ^ {- 1} \ left (- {\ frac {1} {e}} \ right) <\ theta <\ cos ^ {- 1} \ left (- {\ frac { 1} {e}} \ right) \ right] \ longleftrightarrow \ left [- \ infty <E <\ infty \ right]}$

y eso se puede calcular usando la relación ${\ displaystyle {\ tfrac {E} {2}}}$

${\ Displaystyle \ tanh ^ {- 1} x = {\ frac {1} {2}} \ ln \ left ({\ frac {1 + x} {1-x}} \ right)}$

De la relación ( 27 ) se deduce que el período orbital P para una órbita elíptica es

${\ Displaystyle P = 2 \ pi \ cdot a \ cdot {\ sqrt {\ frac {a} {\ alpha}}}}$

( 43 )

Como la energía potencial correspondiente al campo de fuerza de la relación ( 1 ) es

${\ Displaystyle - {\ frac {\ alpha} {r}}}$

se sigue de ( 13 ), ( 14 ), ( 18 ) y ( 19 ) que la suma de la energía cinética y potencial

${\ Displaystyle {\ frac {{V_ {r}} ^ {2} + {V_ {t}} ^ {2}} {2}} - {\ frac {\ alpha} {r}}}$

para una órbita elíptica es

${\ Displaystyle - {\ frac {\ alpha} {2 \ cdot a}}}$

( 44 )

y de ( 13 ), ( 16 ), ( 18 ) y ( 19 ) que la suma de la energía cinética y potencial para una órbita hiperbólica es

${\ Displaystyle {\ frac {\ alpha} {2 \ cdot a}}}$

( 45 )

Relativo al sistema de coordenadas inercial

${\ Displaystyle {\ hat {x}}, {\ hat {y}}}$

en el plano orbital con hacia el pericentro se obtiene de ( 18 ) y ( 19 ) que las componentes de la velocidad son ${\ Displaystyle {\ hat {x}}}$

${\ Displaystyle V_ {x} = \ cos \ theta \ cdot V_ {r} - \ sin \ theta \ cdot V_ {t} = - {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {p}}} \ cdot \ sin \ theta}$

( 46 )

${\ Displaystyle V_ {y} = \ sin \ theta \ cdot V_ {r} + \ cos \ theta \ cdot V_ {t} = {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {p}}} \ cdot (e + \ cos \ theta)}$

( 47 )

Ver también Ecuación del centro - Expansiones analíticas

La Ecuación del centro relaciona la anomalía media con la anomalía verdadera para órbitas elípticas, para excentricidad numérica pequeña.

Determinación de la órbita de Kepler que corresponde a un estado inicial dado

Este es el " problema de valor inicial " para la ecuación diferencial ( 1 ) que es una ecuación de primer orden para el "vector de estado" de 6 dimensiones cuando se escribe como ${\ displaystyle ({\ bar {r}}, {\ bar {v}})}$

${\ Displaystyle {\ dot {\ bar {v}}} = - \ alpha \ cdot {\ frac {\ hat {r}} {r ^ {2}}}}$

( 48 )

${\ Displaystyle {\ dot {\ bar {r}}} = {\ bar {v}}}$

( 49 )

Para cualquier valor para el "vector de estado" inicial, la órbita de Kepler correspondiente a la solución de este problema de valor inicial se puede encontrar con el siguiente algoritmo: ${\ displaystyle ({\ bar {r_ {0}}}, {\ bar {v_ {0}}})}$

Defina los vectores unitarios ortogonales mediante ${\ displaystyle ({\ hat {r}}, {\ hat {t}})}$

${\ displaystyle {\ bar {r_ {0}}} = r \ cdot {\ hat {r}}}$

( 50 )

${\ Displaystyle {\ bar {v_ {0}}} = V_ {r} \ cdot {\ hat {r}} + V_ {t} \ cdot {\ hat {t}}}$

( 51 )

con y${\ Displaystyle r> 0}$${\ Displaystyle V_ {t}> 0}$

De ( 13 ), ( 18 ) y ( 19 ) se sigue que al establecer

${\ Displaystyle p = {\ frac {{(r \ cdot V_ {t})} ^ {2}} {\ alpha}}}$

( 52 )

y definiendo y tal que ${\ Displaystyle e \ geq 0}$${\ Displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle e \ cdot \ cos \ theta = {\ frac {V_ {t}} {V_ {0}}} - 1}$

( 53 )

${\ Displaystyle e \ cdot \ sin \ theta = {\ frac {V_ {r}} {V_ {0}}}}$

( 54 )

donde

${\ Displaystyle V_ {0} = {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {p}}}}$

( 55 )

se obtiene una órbita de Kepler que para una anomalía verdadera tiene los mismos valores r , y que los definidos por ( 50 ) y ( 51 ). ${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle V_ {r}}$${\ Displaystyle V_ {t}}$

Si esta órbita de Kepler también tiene los mismos vectores para esta anomalía verdadera que los definidos por ( 50 ) y ( 51 ), el vector de estado de la órbita de Kepler toma los valores deseados para la anomalía verdadera . ${\ displaystyle ({\ hat {r}}, {\ hat {t}})}$${\ Displaystyle \ theta}$${\ displaystyle ({\ bar {r}}, {\ bar {v}})}$${\ displaystyle ({\ bar {r_ {0}}}, {\ bar {v_ {0}}})}$${\ Displaystyle \ theta}$

El sistema de coordenadas estándar inercialmente fijo en el plano orbital (con dirigido desde el centro de la esfera homogénea al pericentro) que define la orientación de la sección cónica (elipse, parábola o hipérbola) se puede determinar con la relación ${\ displaystyle ({\ hat {x}}, {\ hat {y}})}$${\ Displaystyle {\ hat {x}}}$

${\ Displaystyle {\ hat {x}} = \ cos \ theta \ cdot {\ hat {r}} - \ sin \ theta \ cdot {\ hat {t}}}$

( 56 )

${\ Displaystyle {\ hat {y}} = \ sin \ theta \ cdot {\ hat {r}} + \ cos \ theta \ cdot {\ hat {t}}}$

( 57 )

Nótese que las relaciones ( 53 ) y ( 54 ) tienen una singularidad cuando y ${\ Displaystyle V_ {r} = 0}$

${\ Displaystyle V_ {t} = V_ {0} = {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {p}}} = {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {\ frac {{(r \ cdot V_ { t})} ^ {2}} {\ alpha}}}}}$

es decir

${\ Displaystyle V_ {t} = {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {r}}}}$

( 58 )

que es el caso de que se trata de una órbita circular que se ajusta al estado inicial ${\ displaystyle ({\ bar {r_ {0}}}, {\ bar {v_ {0}}})}$

La órbita osculante de Kepler

Para cualquier vector de estado, la órbita de Kepler correspondiente a este estado se puede calcular con el algoritmo definido anteriormente. Primero se determinan los parámetros y luego los vectores unitarios ortogonales en el plano orbital usando las relaciones ( 56 ) y ( 57 ). ${\ displaystyle ({\ bar {r}}, {\ bar {v}})}$${\ Displaystyle p, e, \ theta}$${\ Displaystyle r, V_ {r}, V_ {t}}$${\ Displaystyle {\ hat {x}}, {\ hat {y}}}$

Si ahora la ecuación de movimiento es

${\ displaystyle {\ ddot {\ bar {r}}} = \ operatorname {\ bar {F}} ({\ bar {r}}, {\ dot {\ bar {r}}}, t)}$

( 59 )

donde

${\ Displaystyle \ operatorname {\ bar {F}} ({\ bar {r}}, {\ dot {\ bar {r}}}, t)}$

es una función distinta a

${\ Displaystyle - \ alpha \ cdot {\ frac {\ hat {r}} {r ^ {2}}}}$

los parámetros resultantes

${\ Displaystyle p, e, \ theta, {\ hat {x}}, {\ hat {y}}}$

definido por variará con el tiempo a diferencia del caso de una órbita de Kepler para la cual solo variará el parámetro ${\ displaystyle {\ bar {r}}, {\ dot {\ bar {r}}}}$${\ Displaystyle \ theta}$

Se dice que la órbita de Kepler calculada de esta manera que tiene el mismo "vector de estado" que la solución a la "ecuación de movimiento" ( 59 ) en el tiempo t está "osculando" en este momento.

Este concepto es útil, por ejemplo, en caso de

${\ Displaystyle \ operatorname {\ bar {F}} ({\ bar {r}}, {\ dot {\ bar {r}}}, t) = - \ alpha \ cdot {\ frac {\ hat {r} } {r ^ {2}}} + \ operatorname {\ bar {f}} ({\ bar {r}}, {\ dot {\ bar {r}}}, t)}$

donde

${\ Displaystyle \ operatorname {\ bar {f}} ({\ bar {r}}, {\ dot {\ bar {r}}}, t)}$

es una pequeña "fuerza perturbadora" debida, por ejemplo, a un leve tirón gravitacional de otros cuerpos celestes. Los parámetros de la órbita osculante de Kepler cambiarán entonces lentamente y la órbita osculante de Kepler es una buena aproximación a la órbita real durante un período de tiempo considerable antes y después del tiempo de osculación.

Este concepto también puede ser útil para un cohete durante un vuelo motorizado, ya que luego indica en qué órbita de Kepler continuará el cohete en caso de que se apague el impulso.

Para una órbita "cercana a circular", el concepto de " vector de excentricidad " definido como es útil. De ( 53 ), ( 54 ) y ( 56 ) se sigue que ${\ Displaystyle {\ bar {e}} = e \ cdot {\ hat {x}}}$