Estructura de Weaire-Phelan - Weaire–Phelan structure
| Estructura de Weaire-Phelan | |
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Grupo espacial Notación fibrifold Notación Coxeter |
Pm 3 n (223) 2 o [[4,3,4] + ] |
En geometría , la estructura de Weaire-Phelan es una estructura tridimensional que representa una espuma idealizada de burbujas de igual tamaño, con dos formas diferentes. En 1993, Denis Weaire y Robert Phelan descubrieron que esta estructura era una mejor solución del problema de Kelvin de colocar baldosas en el espacio con celdas de igual volumen de superficie mínima que la solución más conocida anterior, la estructura de Kelvin.
Historia y el problema de Kelvin
En dos dimensiones, la subdivisión del plano en celdas de igual área con perímetro promedio mínimo viene dada por el mosaico hexagonal , pero aunque el primer registro de esta conjetura en forma de panal se remonta al antiguo erudito romano Marcus Terentius Varro , no fue probado hasta el trabajo de Thomas C. Hales en 1999. En 1887, Lord Kelvin hizo la pregunta correspondiente para el espacio tridimensional: ¿cómo se puede dividir el espacio en celdas de igual volumen con la menor área de superficie entre ellas? O, en resumen, ¿cuál fue la espuma de pompas de jabón más eficaz ? Desde entonces, este problema se ha denominado problema de Kelvin.
Kelvin propuso una espuma llamada estructura Kelvin . Su espuma se basa en el panal cúbico bitruncado , un panal convexo uniforme formado por el octaedro truncado , un poliedro convexo que llena el espacio con 6 caras cuadradas y 8 caras hexagonales. Sin embargo, este panal no cumple con las leyes de Plateau , formuladas por Joseph Plateau en el siglo XIX, según las cuales superficies de espuma mínimas se encuentran en ángulos en sus bordes, y estos bordes se unen en conjuntos de cuatro con ángulos de . Los ángulos de la estructura poliédrica son diferentes; por ejemplo, sus bordes se encuentran en ángulos de caras cuadradas o caras hexagonales. Por tanto, la estructura propuesta por Kelvin utiliza aristas curvilíneas y superficies mínimas ligeramente deformadas para sus caras, obedeciendo las leyes de Plateau y reduciendo el área de la estructura en un 0,2% en comparación con la estructura poliédrica correspondiente.
Aunque Kelvin no lo expresó explícitamente como una conjetura, la idea de que la espuma del panal cúbico bitruncado es la espuma más eficiente y resuelve el problema de Kelvin, se conoció como la conjetura de Kelvin . Se creía ampliamente y no se conocía ningún contraejemplo durante más de 100 años. Finalmente, en 1993, el físico del Trinity College Dublin Denis Weaire y su alumno Robert Phelan descubrieron la estructura Weaire-Phelan a través de simulaciones de espuma por computadora, y demostraron que era más eficiente, refutando la conjetura de Kelvin.
Desde el descubrimiento de la estructura de Weaire-Phelan, se han encontrado otros contraejemplos de la conjetura de Kelvin, pero la estructura de Weaire-Phelan sigue teniendo la superficie por celda más pequeña conocida de estos contraejemplos. Aunque los experimentos numéricos sugieren que la estructura de Weaire-Phelan es óptima, esto sigue sin estar probado. En general, ha sido muy difícil probar la optimización de estructuras que involucran superficies mínimas . La minimidad de la esfera como superficie que encierra un solo volumen no se demostró hasta el siglo XIX, y el siguiente problema más simple, la conjetura de la doble burbuja de encerrar dos volúmenes, permaneció abierta durante más de 100 años hasta que se probó en 2002.
Descripción
La estructura de Weaire-Phelan se diferencia de la de Kelvin en que utiliza dos tipos de células, aunque tienen el mismo volumen. Como las células en la estructura de Kelvin, estas células son combinatoriamente equivalentes a poliedros convexos . Uno es un piritoedro , una irregular dodecaedro con caras pentagonales, que posee simetría tetraédrica ( T h ). El segundo es una forma de trapezoedro hexagonal truncado , una especie de tetracaidecaedro con dos caras hexagonales y doce pentagonales, en este caso solo posee dos planos de espejo y una simetría de rotorreflexión . Al igual que los hexágonos en la estructura de Kelvin, los pentágonos en ambos tipos de celdas están ligeramente curvados. El área de superficie de la estructura de Weaire-Phelan es 0.3% menor que la de la estructura de Kelvin.
Las células tetracaidecaedro, unidas en cadenas de células cara a cara a lo largo de sus caras hexagonales, forman cadenas en tres direcciones perpendiculares. Se puede hacer una estructura combinatoria equivalente a la estructura de Weaire-Phelan como un mosaico de espacio por unidades de cubos, alineados cara a cara en infinitos prismas cuadrados de la misma manera para formar una estructura de prismas entrelazados llamada tetrastix . Estos prismas rodean huecos cúbicos que forman una cuarta parte de las celdas del mosaico cúbico; las tres cuartas partes restantes de las celdas llenan los prismas, desplazadas por media unidad de la cuadrícula entera alineada con las paredes del prisma. De manera similar, en la propia estructura de Weaire-Phelan, que tiene las mismas simetrías que la estructura del tetrastix, 1/4 de las células son dodecaedros y 3/4 son tetrakaidecaedros.
El panal poliédrico asociado con la estructura de Weaire-Phelan (obtenido al aplanar las caras y enderezar los bordes) también se conoce en general como la estructura de Weaire-Phelan. Se conocía mucho antes de que se descubriera la estructura de Weaire-Phelan, pero se pasó por alto la aplicación al problema de Kelvin.
Aplicaciones
En sistemas físicos
Los experimentos han demostrado que, con condiciones de contorno favorables , las burbujas de igual volumen se autoensamblan espontáneamente en la estructura de Weaire-Phelan.
El panal poliédrico asociado se encuentra en dos geometrías relacionadas de estructura cristalina en química . Cuando los componentes del cristal se encuentran en los centros de los poliedros, se forma una de las fases de Frank-Kasper , la fase A15 .
Cuando los componentes del cristal se encuentran en las esquinas de los poliedros, se conoce como " estructura de clatrato de tipo I ". Los hidratos de gas formados por metano, propano y dióxido de carbono a bajas temperaturas tienen una estructura en la que las moléculas de agua se encuentran en los nodos de la estructura de Weaire-Phelan y están unidas por hidrógeno , y las moléculas de gas más grandes quedan atrapadas en las jaulas poliédricas. Algunos siliciuros y germanuros de metales alcalinos también forman esta estructura, con silicio o germanio en los nudos y metales alcalinos en las jaulas.
En arquitectura
La estructura Weaire-Phelan es la inspiración para el diseño de Tristram Carfrae del Centro Acuático Nacional de Beijing , el "Cubo de Agua", para los Juegos Olímpicos de Verano de 2008 .
Ver también
- The Pursuit of Perfect Packing , un libro de Weaire sobre este y problemas relacionados
Referencias
enlaces externos
- Modelos 3D de las estructuras Weaire-Phelan, Kelvin y P42a
- Página de Weaire – Phelan Bubbles con ilustraciones y 'redes' descargables gratuitamente para imprimir y hacer modelos.
- "Asentamiento espacial modular inteligente Weaire-Phelan" , Alexandru Pintea, 2017, Primer premio individual Concurso de asentamientos espaciales Ames de la NASA: