Regla de inferencia - Rule of inference

En la filosofía de la lógica , una regla de inferencia , regla de inferencia o regla de transformación es una forma lógica que consiste en una función que toma locales, analiza su sintaxis , y vuelve a una conclusión (o conclusiones ). Por ejemplo, la regla de inferencia llamada modus ponens toma dos premisas, una en la forma "Si p entonces q" y otra en la forma "p", y devuelve la conclusión "q". La regla es válida con respecto a la semántica de la lógica clásica (así como a la semántica de muchas otras lógicas no clásicas ), en el sentido de que si las premisas son verdaderas (bajo una interpretación), entonces también lo es la conclusión.

Normalmente, una regla de inferencia preserva la verdad, una propiedad semántica. En la lógica de muchos valores , conserva una designación general. Pero la acción de una regla de inferencia es puramente sintáctica y no necesita preservar ninguna propiedad semántica: cualquier función, desde conjuntos de fórmulas hasta fórmulas, cuenta como regla de inferencia. Por lo general, solo las reglas que son recursivas son importantes; es decir, reglas tales que exista un procedimiento eficaz para determinar si una fórmula dada es la conclusión de un conjunto dado de fórmulas de acuerdo con la regla. Un ejemplo de una regla que no es eficaz en este sentido es la regla ω infinitaria .

Las reglas populares de inferencia en la lógica proposicional incluyen modus ponens , modus tollens y contraposición . La lógica de predicados de primer orden utiliza reglas de inferencia para tratar con cuantificadores lógicos .

Forma estándar

En lógica formal (y muchas áreas relacionadas), las reglas de inferencia generalmente se dan en la siguiente forma estándar:

  Premisa n. ° 1
  Premisa n. ° 2
        ...
  Premisa n. ° n   
  Conclusión

Esta expresión establece que siempre que en el curso de alguna derivación lógica se hayan obtenido las premisas dadas, la conclusión especificada también se puede dar por sentada. El lenguaje formal exacto que se utiliza para describir tanto las premisas como las conclusiones depende del contexto real de las derivaciones. En un caso simple, se pueden usar fórmulas lógicas, como en:

Ésta es la regla del modus ponens de la lógica proposicional . Las reglas de inferencia a menudo se formulan como esquemas que emplean metavariables . En la regla (esquema) anterior, las metavariables A y B pueden instanciarse a cualquier elemento del universo (o, a veces, por convención, un subconjunto restringido como proposiciones ) para formar un conjunto infinito de reglas de inferencia.

Un sistema de prueba se forma a partir de un conjunto de reglas encadenadas para formar pruebas, también llamadas derivaciones . Cualquier derivación tiene solo una conclusión final, que es el enunciado probado o derivado. Si las premisas quedan insatisfechas en la derivación, entonces la derivación es una prueba de un enunciado hipotético : " si las premisas son válidas, entonces la conclusión es válida".

Ejemplo: sistemas de Hilbert para dos lógicas proposicionales

En un sistema de Hilbert , las premisas y la conclusión de las reglas de inferencia son simplemente fórmulas de algún lenguaje, generalmente empleando metavariables. Para la compacidad gráfica de la presentación y para enfatizar la distinción entre axiomas y reglas de inferencia, esta sección usa la notación secuencial ( ) en lugar de una presentación vertical de reglas. En esta notación,

está escrito como .

El lenguaje formal para la lógica proposicional clásica se puede expresar usando solo negación (¬), implicación (→) y símbolos proposicionales. Una axiomatización bien conocida, que comprende tres esquemas de axioma y una regla de inferencia ( modus ponens ), es:

(CA1) ⊢ A → (BA)
(CA2) ⊢ (A → (BC)) → ((AB) → (AC))
(CA3) ⊢ (¬A → ¬B) → (BA)
(MP) A, ABB

Puede parecer redundante tener dos nociones de inferencia en este caso, ⊢ y →. En la lógica proposicional clásica, de hecho coinciden; las teorema de deducción de los estados que unB si y sólo si ⊢ AB . Sin embargo, hay una distinción que vale la pena enfatizar incluso en este caso: la primera notación describe una deducción , que es una actividad de pasar de oraciones a oraciones, mientras que AB es simplemente una fórmula hecha con una implicación conectiva lógica en este caso. Sin una regla de inferencia (como modus ponens en este caso), no hay deducción ni inferencia. Este punto se ilustra en el diálogo de Lewis Carroll llamado " Lo que la tortuga le dijo a Aquiles ", así como en los intentos posteriores de Bertrand Russell y Peter Winch de resolver la paradoja introducida en el diálogo.

Para algunas lógicas no clásicas, el teorema de la deducción no se cumple. Por ejemplo, la lógica de tres valores de Łukasiewicz se puede axiomatizar como:

(CA1) ⊢ A → (BA)
(LA2) ⊢ (AB) → ((BC) → (AC))
(CA3) ⊢ (¬A → ¬B) → (BA)
(LA4) ⊢ ((A → ¬A) → A) → A
(MP) A, ABB

Esta secuencia difiere de la lógica clásica por el cambio en el axioma 2 y la adición del axioma 4. El teorema de deducción clásico no es válido para esta lógica, sin embargo, una forma modificada sí es válida, a saber, AB si y solo si ⊢ A → ( AB ).

Admisibilidad y derivabilidad

En un conjunto de reglas, una regla de inferencia podría ser redundante en el sentido de que es admisible o derivable . Una regla derivable es aquella cuya conclusión puede derivarse de sus premisas utilizando las otras reglas. Una regla admisible es aquella cuya conclusión se cumple siempre que se cumplen las premisas. Todas las reglas derivables son admisibles. Para apreciar la diferencia, considere el siguiente conjunto de reglas para definir los números naturales (el juicio afirma el hecho de que es un número natural):

La primera regla establece que 0 es un número natural y la segunda establece que s ( n ) es un número natural si n lo es. En este sistema de prueba, la siguiente regla, que demuestra que el segundo sucesor de un número natural también es un número natural, es derivable:

Su derivación es la composición de dos usos de la regla sucesora anterior. La siguiente regla para afirmar la existencia de un predecesor para cualquier número distinto de cero es simplemente admisible:

Este es un hecho cierto de los números naturales, como puede demostrarse por inducción . (Para probar que esta regla es admisible, suponga una derivación de la premisa e induzca sobre ella para producir una derivación de ). Sin embargo, no es derivable, porque depende de la estructura de la derivación de la premisa. Debido a esto, la derivabilidad es estable bajo adiciones al sistema de prueba, mientras que la admisibilidad no lo es. Para ver la diferencia, suponga que se agregó la siguiente regla sin sentido al sistema de prueba:

En este nuevo sistema, la regla del doble sucesor todavía se puede derivar. Sin embargo, la regla para encontrar al predecesor ya no es admisible, porque no hay forma de derivar . La fragilidad de la admisibilidad proviene de la forma en que se prueba: dado que la prueba puede inducir a la estructura de las derivaciones de las premisas, las extensiones del sistema añaden nuevos casos a esta prueba, que puede que ya no se cumplan.

Las reglas admisibles se pueden considerar como teoremas de un sistema de prueba. Por ejemplo, en un cálculo posterior en el que se mantiene la eliminación de cortes , la regla de corte es admisible.

Ver también

Referencias