Teorema del índice de Atiyah-Singer - Atiyah–Singer index theorem

Teorema del índice de Atiyah-Singer
Campo Geometría diferencial
Primera prueba por Michael Atiyah e Isadore Singer
Primera prueba en 1963
Consecuencias Teorema de Chern-Gauss-Bonnet Teorema de
Grothendieck-Riemann-Roch Teorema de la
firma de Hirzebruch Teorema de
Rokhlin

En geometría diferencial , el teorema del índice de Atiyah-Singer , probado por Michael Atiyah e Isadore Singer (1963), establece que para un operador diferencial elíptico en una variedad compacta , el índice analítico (relacionado con la dimensión del espacio de soluciones) es igual al índice topológico (definido en términos de algunos datos topológicos). Incluye muchos otros teoremas, como el teorema de Chern-Gauss-Bonnet y el teorema de Riemann-Roch , como casos especiales, y tiene aplicaciones a la física teórica .

Historia

Israel Gel'fand planteó el problema del índice para los operadores diferenciales elípticos . Observó la invariancia de homotopía del índice y pidió una fórmula para ello mediante invariantes topológicos . Algunos de los ejemplos motivadores incluyeron el teorema de Riemann-Roch y su generalización, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y el teorema de la firma de Hirzebruch . Friedrich Hirzebruch y Armand Borel habían probado la integralidad del género  de una variedad de espín, y Atiyah sugirió que esta integralidad podría explicarse si fuera el índice del operador de Dirac (que fue redescubierto por Atiyah y Singer en 1961).

El teorema de Atiyah-Singer fue anunciado en 1963. La prueba esbozada en este anuncio nunca fue publicada por ellos, aunque aparece en el libro del Palais. Aparece también en el "Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64" que se celebró en París simultáneamente con el seminario dirigido por Richard Palais en la Universidad de Princeton . La última charla en París fue de Atiyah sobre múltiples con límite. Su primera prueba publicada reemplazó la teoría del cobordismo de la primera prueba con la teoría K , y la usaron para dar pruebas de varias generalizaciones en otra secuencia de artículos.

  • 1965: Sergey P. Novikov publicó sus resultados sobre la invariancia topológica de las clases racionales de Pontryagin en variedades suaves.
  • Los resultados de Robion Kirby y Laurent C. Siebenmann , combinados con el artículo de René Thom , demostraron la existencia de clases Pontryagin racionales en variedades topológicas. Las clases racionales de Pontryagin son ingredientes esenciales del teorema del índice sobre variedades suaves y topológicas.
  • 1969: Michael Atiyah define operadores elípticos abstractos en espacios métricos arbitrarios. Los operadores elípticos abstractos se convirtieron en protagonistas de la teoría de Kasparov y de la geometría diferencial no conmutativa de Connes.
  • 1971: Isadore Singer propone un programa integral para futuras extensiones de la teoría de índices.
  • 1972: Gennadi G. Kasparov publica su trabajo sobre la realización de la homología K por operadores elípticos abstractos.
  • 1973: Atiyah, Raoul Bott y Vijay Patodi dieron una nueva demostración del teorema del índice utilizando la ecuación del calor , descrita en un artículo de Melrose.
  • 1977: Dennis Sullivan establece su teorema sobre la existencia y unicidad de Lipschitz y estructuras cuasiconformales en variedades topológicas de dimensión diferente a 4.
  • 1983: Ezra Getzler, motivado por las ideas de Edward Witten y Luis Alvarez-Gaume , dio una breve prueba del teorema del índice local para operadores que son operadores locales de Dirac ; esto cubre muchos de los casos útiles.
  • 1983: Nicolae Teleman demuestra que los índices analíticos de operadores de firma con valores en paquetes vectoriales son invariantes topológicos.
  • 1984: Teleman establece el teorema del índice en variedades topológicas.
  • 1986: Alain Connes publica su artículo fundamental sobre geometría no conmutativa .
  • 1989: Simon K. Donaldson y Sullivan estudian la teoría de Yang-Mills sobre variedades cuasiconformales de dimensión 4. Introducen el operador de firma S definido en formas diferenciales de grado dos.
  • 1990: Connes y Henri Moscovici prueban la fórmula del índice local en el contexto de la geometría no conmutativa.
  • 1994: Connes, Sullivan y Teleman prueban el teorema del índice para operadores de firma en variedades cuasiconformales.

Notación

  • X es un colector liso compacto (sin límite).
  • E y F son lisas paquetes del vector más de X .
  • D es un operador diferencial elíptica de E a F . Así que en coordenadas locales que actúa como un operador diferencial, tomando secciones lisas de E para suavizar las secciones de F .

Símbolo de un operador diferencial

Si D es un operador diferencial en un espacio euclidiano de orden n en k variables , entonces su símbolo es la función de 2 k variables , dado al eliminar todos los términos de orden menor que ny reemplazar por . Entonces el símbolo es homogéneo en las variables y , de grado n . El símbolo está bien definido aunque no conmuta porque solo mantenemos los términos de orden más alto y los operadores diferenciales conmutan "hasta los términos de orden inferior". El operador se llama elíptico si el símbolo es distinto de cero siempre que al menos una y sea ​​distinta de cero.

Ejemplo: El operador de Laplace en k variables tiene un símbolo , por lo que es elíptico ya que es distinto de cero siempre que cualquiera de las variables sea ​​distinto de cero. El operador de onda tiene un símbolo , que no es elíptico si , ya que el símbolo desaparece para algunos valores distintos de cero de y s.

El símbolo de un operador diferencial de orden n en una variedad uniforme X se define de la misma manera usando gráficos de coordenadas locales, y es una función en el paquete cotangente de X , homogéneo de grado n en cada espacio cotangente. (En general, los operadores diferenciales se transforman de una manera bastante complicada bajo transformaciones de coordenadas (ver haz de chorros ); sin embargo, los términos de orden más alto se transforman como tensores, por lo que obtenemos funciones homogéneas bien definidas en los espacios cotangentes que son independientes de la elección de los gráficos locales. ). Más generalmente, el símbolo de un operador diferencial entre dos vector haces de e y F es una sección de la retirada de la Hom haz ( e , F ) al espacio cotangente de X . El operador diferencial se llama elíptica si el elemento de Hom ( E x , F x ) es invertible para todos los vectores cotangente no cero en cualquier punto x de X .

Una propiedad clave de los operadores elípticos es que son casi invertibles; esto está íntimamente relacionado con el hecho de que sus símbolos son casi invertibles. Más precisamente, un operador elíptico D en un colector compacto tiene un parametrix (no único) (o pseudoinverso ) D ′ tal que DD ′ −1 y D′D −1 son ambos operadores compactos. Una consecuencia importante es que el núcleo de D es de dimensión finita, porque todos los espacios propios de los operadores compactos, distintos del núcleo, son de dimensión finita. (El pseudoinverso de un operador diferencial elíptico casi nunca es un operador diferencial. Sin embargo, es un operador pseudodiferencial elíptico ).

Índice analítico

Como el operador diferencial elíptico D tiene un pseudoinverso, es un operador de Fredholm . Cualquier operador de Fredholm tiene un índice , definido como la diferencia entre la dimensión (finita) del núcleo de D (soluciones de Df = 0) y la dimensión (finita) del núcleo de coquización de D (las restricciones en el lado derecho- lado de una ecuación no homogénea como Df = g , o equivalentemente el núcleo del operador adjunto). En otras palabras,

Índice ( D ) = dim Ker (D) - dim Coker ( D ) = dim Ker (D) - dim Ker ( D * ).

Esto a veces se llama el índice analítico de D .

Ejemplo: suponga que la variedad es el círculo (pensado como R / Z ), y D es el operador d / dx - λ para alguna constante compleja λ. (Este es el ejemplo más simple de un operador elíptico). Entonces el núcleo es el espacio de múltiplos de exp (λ x ) si λ es un múltiplo integral de 2π i y es 0 en caso contrario, y el núcleo del adjunto es un espacio similar con λ reemplazado por su complejo conjugado. Entonces D tiene índice 0. Este ejemplo muestra que el kernel y el cokernel de los operadores elípticos pueden saltar discontinuamente a medida que el operador elíptico varía, por lo que no existe una fórmula agradable para sus dimensiones en términos de datos topológicos continuos. Sin embargo, los saltos en las dimensiones del kernel y del cokernel son los mismos, por lo que el índice, dado por la diferencia de sus dimensiones, sí varía continuamente y puede darse en términos de datos topológicos mediante el teorema del índice.

Índice topológico

El índice topológico de un operador diferencial elíptico entre haces de vectores suaves y en una variedad compacta -dimensional viene dado por

en otras palabras, el valor del componente dimensional superior de la clase de cohomología mixta sobre la clase de homología fundamental de la variedad . Aquí,

  • es la clase de Todd del paquete tangente complexificado de .
  • es igual a , donde
    • es el isomorfismo de Thom para el haz de esferas
    • es el personaje de Chern
    • es el "elemento de diferencia" en asocia a dos paquetes del vector y sobre y un isomorfismo entre ellos en el subespacio .
    • es el símbolo de

También se puede definir el índice topológico utilizando solo la teoría K (y esta definición alternativa es compatible en cierto sentido con la construcción del carácter Chern anterior). Si X es una subvariedad compacta de una variedad Y, entonces hay un mapa de empuje hacia adelante (o "chillido") de K ( TX ) a K ( TY ). El índice topológico de un elemento de K ( TX ) se define como la imagen de esta operación con Y algún espacio euclidiano, para el cual K ( TY ) puede identificarse naturalmente con los enteros Z (como consecuencia de la periodicidad de Bott). Este mapa es independiente de la incrustación de X en el espacio euclidiano. Ahora, un operador diferencial como el anterior define naturalmente un elemento de K ( TX ), y la imagen en Z debajo de este mapa "es" el índice topológico.

Como de costumbre, D es un operador diferencial elíptica entre el vector haces E y F a través de una variedad compacta X .

El problema índice es la siguiente: calcular el índice (analítica) de D usando sólo el símbolo s y topológicos datos derivados del colector y el haz de vector. El teorema del índice de Atiyah-Singer resuelve este problema y establece:

El índice analítico de D es igual a su índice topológico.

A pesar de su formidable definición, el índice topológico suele ser sencillo de evaluar explícitamente. Entonces esto hace posible evaluar el índice analítico. (El cokernel y el kernel de un operador elíptico son, en general, extremadamente difíciles de evaluar individualmente; el teorema del índice muestra que normalmente al menos podemos evaluar su diferencia ). Muchos invariantes importantes de una variedad (como la firma) se pueden dar como índice de operadores diferenciales adecuados, por lo que el teorema del índice nos permite evaluar estos invariantes en términos de datos topológicos.

Aunque el índice analítico suele ser difícil de evaluar directamente, es al menos obviamente un número entero. El índice topológico es por definición un número racional, pero por lo general no es nada obvio a partir de la definición que también sea integral. Entonces, el teorema del índice de Atiyah-Singer implica algunas propiedades de integralidad profunda, ya que implica que el índice topológico es integral.

El índice de un operador diferencial elíptico obviamente desaparece si el operador es autoadjunto. También desaparece si la variedad X tiene una dimensión impar, aunque hay operadores elípticos pseudodiferenciales cuyo índice no desaparece en dimensiones impares.

Relación con Grothendieck – Riemann – Roch

El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch fue una de las principales motivaciones detrás del teorema del índice porque el teorema del índice es la contraparte de este teorema en el establecimiento de variedades reales. Ahora, si hay un mapa de variedades compactas, estables, casi complejas, entonces hay un diagrama conmutativo

Índice-teorema-relativo-a-Grothendieck-Riemann-Roch.png

si es un punto, recuperamos la declaración anterior. Aquí está el grupo de Grothendieck de paquetes de vectores complejos. Este diagrama conmutativo es formalmente muy similar al teorema GRR porque los grupos de cohomología de la derecha se reemplazan por el anillo de Chow de una variedad suave, y el grupo de Grothendieck de la izquierda está dado por el grupo de Grothendieck de paquetes de vectores algebraicos.

Extensiones del teorema del índice de Atiyah-Singer

Teorema del índice Teleman

Debido a ( Teleman 1983 ), ( Teleman 1984 ):

Para cualquier operador elíptico abstracto ( Atiyah 1970 ) en una variedad topológica cerrada, orientada, el índice analítico es igual al índice topológico.

La prueba de este resultado pasa por consideraciones específicas, incluida la extensión de la teoría de Hodge sobre las variedades combinatoria y de Lipschitz ( Teleman 1980 ), ( Teleman 1983 ), la extensión del operador característico de Atiyah-Singer a las variedades de Lipschitz ( Teleman 1983 ), la K- de Kasparov. homología ( Kasparov 1972 ) y cobordismo topológico ( Kirby y Siebenmann 1977 ).

Este resultado muestra que el teorema del índice no es simplemente un enunciado de diferenciabilidad, sino más bien un enunciado topológico.

Teorema del índice de Connes-Donaldson-Sullivan-Teleman

Debido a ( Donaldson & Sullivan 1989 ), ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ):

Para cualquier variedad cuasiconformal existe una construcción local de las clases características de Hirzebruch-Thom.

Esta teoría se basa en un operador de firma S , definido en formas diferenciales de grado medio en variedades cuasiconformales de dimensión uniforme (comparar ( Donaldson y Sullivan 1989 )).

Utilizando el cobordismo topológico y la homología K, se puede proporcionar una declaración completa de un teorema de índice sobre variedades cuasiconformales (véase la página 678 de ( Connes, Sullivan y Teleman 1994 )). El trabajo ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ) "proporciona construcciones locales para clases características basadas en parientes dimensionales superiores del mapeo de Riemann medible en la dimensión dos y la teoría de Yang-Mills en la dimensión cuatro".

Estos resultados constituyen avances significativos en la línea del programa Prospects in Mathematics de Singer ( Singer 1971 ). Al mismo tiempo, proporcionan también una construcción eficaz de las clases racionales de Pontrjagin sobre variedades topológicas. El artículo ( Teleman 1985 ) proporciona un vínculo entre la construcción original de Thom de las clases racionales de Pontrjagin ( Thom 1956 ) y la teoría de índices.

Es importante mencionar que la fórmula del índice es una declaración topológica. Las teorías de obstrucción debidas a Milnor, Kervaire, Kirby, Siebenmann, Sullivan, Donaldson muestran que solo una minoría de variedades topológicas poseen estructuras diferenciables y estas no son necesariamente únicas. El resultado de Sullivan sobre Lipschitz y estructuras cuasiconformales ( Sullivan 1979 ) muestra que cualquier variedad topológica en dimensión diferente de 4 posee una estructura que es única (hasta isotopía cercana a la identidad).

Las estructuras cuasiconformales ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ) y más generalmente las estructuras L p , p > n (n + 1) / 2 , introducidas por M. Hilsum ( Hilsum 1999 ), son las estructuras analíticas más débiles en las variedades topológicas de dimensión n para la que se sabe que se cumple el teorema del índice.

Otras extensiones

  • El teorema de Atiyah-Singer se aplica a los operadores pseudodiferenciales elípticos de la misma manera que a los operadores diferenciales elípticos. De hecho, por razones técnicas, la mayoría de las primeras pruebas trabajaban con operadores pseudodiferenciales en lugar de diferenciales: su flexibilidad adicional facilitó algunos pasos de las pruebas.
  • En lugar de trabajar con un operador elíptico entre dos paquetes de vectores, a veces es más conveniente trabajar con un complejo elíptico
de paquetes de vectores. La diferencia es que los símbolos ahora forman una secuencia exacta (fuera de la sección cero). En el caso de que solo haya dos paquetes distintos de cero en el complejo, esto implica que el símbolo es un isomorfismo de la sección cero, por lo que un complejo elíptico con 2 términos es esencialmente lo mismo que un operador elíptico entre dos paquetes vectoriales. A la inversa, el teorema del índice para un complejo elíptico se puede reducir fácilmente al caso de un operador elíptico: los dos paquetes vectoriales están dados por las sumas de los términos pares o impares del complejo, y el operador elíptico es la suma de los operadores de el complejo elíptico y sus adjuntos, restringidos a la suma de los haces pares.
  • Si se permite que la variedad tenga un límite, entonces se deben poner algunas restricciones en el dominio del operador elíptico para asegurar un índice finito. Estas condiciones pueden ser locales (como exigir que las secciones del dominio desaparezcan en el límite) o condiciones globales más complicadas (como exigir que las secciones del dominio resuelvan alguna ecuación diferencial). El caso local fue elaborado por Atiyah y Bott, pero demostraron que muchos operadores interesantes (p. Ej., El operador de firma ) no admiten las condiciones de los límites locales. Para manejar estos operadores, Atiyah , Patodi y Singer introdujeron condiciones de contorno globales equivalentes a unir un cilindro al colector a lo largo del límite y luego restringir el dominio a aquellas secciones que son cuadradas integrables a lo largo del cilindro. Este punto de vista se adopta en la demostración de Melrose (1993) del teorema del índice de Atiyah-Patodi-Singer .
  • En lugar de un solo operador elíptica, se puede considerar una familia de operadores elípticos parametrizado por un poco de espacio Y . En este caso, el índice es un elemento de la teoría K de Y , en lugar de un número entero. Si los operadores de la familia son reales, entonces el índice se encuentra en el K-teoría real de Y . Esto proporciona un poco de información adicional, ya que el mapa de la teoría K real de Y a la teoría K compleja no siempre es inyectivo.
  • Si hay una acción de grupo de un grupo G sobre la variedad compacta X , conmutando con el operador elíptico, entonces se reemplaza la teoría K ordinaria por la teoría K equivariante . Por otra parte, uno obtiene generalizaciones de la Lefschetz teorema del punto fijo , con términos procedentes de subvariedades de punto fijo del grupo G . Ver también: teorema del índice equivariante .
  • Atiyah (1976) mostró cómo extender el teorema del índice a algunas variedades no compactas, sobre las que actúa un grupo discreto con cociente compacto. El núcleo del operador elíptico es en general de dimensión infinita en este caso, pero es posible obtener un índice finito usando la dimensión de un módulo sobre un álgebra de von Neumann ; este índice es, en general, real en lugar de un valor entero. Esta versión se denomina teorema del índice L 2 y fue utilizada por Atiyah y Schmid (1977) para derivar las propiedades de las representaciones en series discretas de grupos de Lie semisimple .
  • El teorema del índice de Callias es un teorema del índice para un operador de Dirac en un espacio de dimensiones impares no compacto. El índice Atiyah-Singer solo se define en espacios compactos y desaparece cuando su dimensión es impar. En 1978 Constantine Callias , por sugerencia de su Ph.D. El asesor Roman Jackiw , utilizó la anomalía axial para derivar este teorema del índice en espacios equipados con una matriz hermitiana llamada campo de Higgs . El índice del operador de Dirac es un invariante topológico que mide el devanado del campo de Higgs en una esfera en el infinito. Si U es la matriz unitaria en la dirección del campo de Higgs, entonces el índice es proporcional a la integral de U ( dU ) n −1 sobre la ( n −1) -esfera en el infinito. Si n es par, siempre es cero.

Ejemplos de

Característica de Euler

Suponga que M es una variedad orientada compacta. Si tomamos E a ser la suma de las potencias, incluso exteriores del fibrado cotangente, y F que es la suma de las potencias impares, definir D = d + d * , considerado como un mapa de E a F . Entonces el índice topológico de D es la característica de Euler de la cohomología de Hodge de M , y el índice analítico es la clase de Euler de la variedad. La fórmula del índice para este operador produce el teorema de Chern-Gauss-Bonnet .

Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch

Tome X a ser un colector de complejo con un holomorphic del paquete del vector V . Dejamos que los paquetes vectoriales E y F sean las sumas de los paquetes de formas diferenciales con coeficientes en V de tipo (0, i ) con i par o impar, y dejamos que el operador diferencial D sea ​​la suma

restringido a E . Entonces, el índice analítico de D es la característica de Euler holomórfica de V :

El índice topológico de D viene dado por

,

el producto del carácter de Chern del V y la clase de Todd X evaluado en la clase fundamental de X . Al equiparar los índices topológicos y analíticos obtenemos el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch . De hecho, obtenemos una generalización a todas las variedades complejas: la demostración de Hirzebruch solo funcionó para las variedades X complejas proyectivas .

Esta derivación del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es más natural si usamos el teorema del índice para complejos elípticos en lugar de operadores elípticos. Podemos tomar el complejo para ser

con el diferencial dado por . Entonces el i ' grupo de cohomología es solo el grupo de cohomología coherente H i ( X , V ), por lo que el índice analítico de este complejo es la característica holomórfica de Euler Σ (−1) i dim (H i ( X , V )). Como antes, el índice topológico es ch ( V ) Td ( X ) [ X ].

Teorema de la firma de Hirzebruch

El teorema de la firma de Hirzebruch establece que la firma de una variedad X orientada compacta de dimensión 4 k viene dada por el género L de la variedad. Esto se deriva del teorema del índice de Atiyah-Singer aplicado al siguiente operador de firma .

Los paquetes E y F están dados por los espacios propios +1 y -1 del operador en el paquete de formas diferenciales de X , que actúa sobre las formas k como

veces el operador Hodge * . El operador D es el Hodge Laplacian

restringido a E , donde d es el derivado exterior de Cartan y d * es su adjunto.

El índice analítico de D es la firma de la variedad X , y su índice topológico es el género L de X , por lo que estos son iguales.

 género y teorema de Rochlin

El género  es un número racional definido para cualquier variedad, pero en general no es un número entero. Borel y Hirzebruch demostraron que es integral para las variedades de espín, y un entero par si además la dimensión es 4 mod 8. Esto se puede deducir del teorema del índice, que implica que el género  para las variedades de espín es el índice de Dirac. operador. El factor extra de 2 en las dimensiones 4 mod 8 proviene del hecho de que en este caso el kernel y el cokernel del operador de Dirac tienen una estructura cuaterniónica, por lo que los espacios vectoriales complejos tienen dimensiones pares, por lo que el índice es par.

En la dimensión 4, este resultado implica el teorema de Rochlin de que la firma de una variedad de espín de 4 dimensiones es divisible por 16: esto se sigue porque en la dimensión 4 el género  es menos un octavo de la firma.

Técnicas de prueba

Operadores pseudodiferenciales

Los operadores pseudodiferenciales se pueden explicar fácilmente en el caso de operadores de coeficientes constantes en el espacio euclidiano. En este caso, los operadores diferenciales de coeficiente constante son solo las transformadas de Fourier de la multiplicación por polinomios, y los operadores pseudodiferenciales de coeficiente constante son solo las transformadas de Fourier de la multiplicación por funciones más generales.

Muchas pruebas del teorema del índice utilizan operadores pseudodiferenciales en lugar de operadores diferenciales. La razón de esto es que para muchos propósitos no hay suficientes operadores diferenciales. Por ejemplo, un pseudoinverso de un operador diferencial elíptico de orden positivo no es un operador diferencial, pero es un operador pseudodiferencial. Además, existe una correspondencia directa entre los datos que representan elementos de K (B ( X ), S ( X )) (funciones de agarre) y los símbolos de los operadores pseudodiferenciales elípticos.

Los operadores pseudodiferenciales tienen un orden, que puede ser cualquier número real o incluso −∞, y tienen símbolos (que ya no son polinomios en el espacio cotangente), y los operadores diferenciales elípticos son aquellos cuyos símbolos son invertibles para vectores cotangentes suficientemente grandes. La mayoría de las versiones del teorema del índice pueden extenderse desde operadores diferenciales elípticos hasta operadores pseudodiferenciales elípticos.

Cobordismo

La demostración inicial se basó en la del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch (1954), e incluyó la teoría del cobordismo y operadores pseudodiferenciales .

La idea de esta primera prueba es aproximadamente la siguiente. Considere el anillo generado por pares ( X , V ) donde V es un conjunto de vectores lisos en el colector X compacto de orientación suave , con relaciones de que la suma y el producto del anillo en estos generadores están dados por la unión disjunta y el producto de colectores (con las operaciones obvias en los paquetes de vectores), y cualquier límite de una variedad con un paquete de vectores es 0. Esto es similar al anillo de cobordismo de las variedades orientadas, excepto que las variedades también tienen un paquete de vectores. Los índices topológicos y analíticos se reinterpretan como funciones de este anillo a los números enteros. Luego, se comprueba que estas dos funciones son, de hecho, ambos homomorfismos de anillo. Para demostrar que son iguales, solo es necesario comprobar que son iguales en un conjunto de generadores de este anillo. La teoría del cobordismo de Thom da un conjunto de generadores; por ejemplo, espacios vectoriales complejos con el paquete trivial junto con ciertos paquetes sobre esferas de dimensión uniforme. Por tanto, el teorema del índice se puede demostrar comprobándolo en estos casos particularmente sencillos.

K-teoría

La primera prueba publicada de Atiyah y Singer utilizó la teoría K en lugar del cobordismo. Si i es cualquier inclusión de colectores compactos de X a Y , definieron una operación de 'empuje hacia adelante' i ! de operadores elípticos de X a operadores elípticos de Y que conserva el índice. Al tomar Y como una esfera en la que X se incrusta, esto reduce el teorema del índice al caso de las esferas. Si Y es una esfera y X es algún punto incrustado en Y , ¡entonces cualquier operador elíptico en Y es la imagen debajo de i ! de algún operador elíptico en el punto. Esto reduce el teorema del índice al caso de un punto, donde es trivial.

Ecuación de calor

Atiyah, Bott y Patodi  ( 1973 ) dieron una nueva demostración del teorema del índice usando la ecuación de calor , ver, por ejemplo , Berline, Getzler y Vergne (1992) . La prueba también se publica en ( Melrose 1993 ) y ( Gilkey 1994 ).

Si D es un operador diferencial con adjunto D * , entonces D * D y DD * son operadores autoadjuntos cuyos valores propios distintos de cero tienen las mismas multiplicidades. Sin embargo, sus espacios propios cero pueden tener diferentes multiplicidades, ya que estas multiplicidades son las dimensiones de los núcleos de D y D * . Por tanto, el índice de D viene dado por

para cualquier t positivo . El lado derecho viene dado por la traza de la diferencia de los granos de dos operadores de calor. Estos tienen una expansión asintótica para t positiva pequeña , que se puede usar para evaluar el límite cuando t tiende a 0, lo que da una prueba del teorema del índice de Atiyah-Singer. Las expansiones asintóticas para t pequeña parecen muy complicadas, pero la teoría invariante muestra que hay grandes cancelaciones entre los términos, lo que hace posible encontrar los términos principales explícitamente. Estas cancelaciones se explicaron posteriormente mediante supersimetría.

Citas

Referencias

Los artículos de Atiyah se reimprimen en los volúmenes 3 y 4 de sus obras completas (Atiyah  1988a , 1988b )

enlaces externos

Enlaces sobre la teoría

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