Ecuación diferencial homogénea - Homogeneous differential equation
Una ecuación diferencial puede ser homogénea en cualquiera de dos aspectos.
Se dice que una ecuación diferencial de primer orden es homogénea si se puede escribir
donde f y g son funciones homogéneas del mismo grado de x y y . En este caso, el cambio de variable y = ux conduce a una ecuación de la forma
que es fácil de resolver mediante la integración de los dos miembros.
De lo contrario, una ecuación diferencial es homogénea si es una función homogénea de la función desconocida y sus derivadas. En el caso de ecuaciones diferenciales lineales , esto significa que no hay términos constantes. Las soluciones de cualquier ecuación diferencial ordinaria lineal de cualquier orden pueden deducirse mediante la integración de la solución de la ecuación homogénea obtenida eliminando el término constante.
Historia
El término homogéneo fue aplicado por primera vez a las ecuaciones diferenciales por Johann Bernoulli en la sección 9 de su artículo de 1726 De integraionibus aequationum diferencialium (Sobre la integración de ecuaciones diferenciales).
Ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden
Ecuaciones diferenciales |
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Clasificación |
Solución |
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden en la forma:
es un tipo homogéneo si ambas funciones M ( x , y ) y N ( x , y ) son funciones homogéneas del mismo grado n . Es decir, multiplicando cada variable por un parámetro λ , encontramos
Por lo tanto,
Método de solución
En el cociente , podemos dejar t = 1 / X para simplificar este cociente a una función f de la variable única y / X :
Eso es
Introducir el cambio de variables y = ux ; diferenciar usando la regla del producto :
Esto transforma la ecuación diferencial original en la forma separable
o
que ahora se puede integrar directamente: ln x es igual a la antiderivada del lado derecho (ver ecuación diferencial ordinaria ).
Caso especial
Una ecuación diferencial de primer orden de la forma ( a , b , c , e , f , g son todas constantes)
donde af ≠ be puede transformarse en un tipo homogéneo mediante una transformación lineal de ambas variables ( α y β son constantes):
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
Una ecuación diferencial lineal es homogénea si es una ecuación lineal homogénea en la función desconocida y sus derivadas. De ello se deduce que, si φ ( x ) es una solución, también lo es cφ ( x ) , para cualquier constante (distinta de cero) c . Para que se cumpla esta condición, cada término distinto de cero de la ecuación diferencial lineal debe depender de la función desconocida o de cualquier derivada de ella. Una ecuación diferencial lineal que no cumple esta condición se llama no homogénea.
Una ecuación diferencial lineal se puede representar como un operador lineal que actúa sobre y ( x ), donde x suele ser la variable independiente e y es la variable dependiente. Por lo tanto, la forma general de una ecuación diferencial lineal homogénea es
donde L es un operador diferencial , una suma de derivadas (que define la "derivada 0" como la función original no diferenciada), cada una multiplicada por una función f i de x :
donde f i pueden ser constantes, pero no todo f i puede ser cero.
Por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial lineal es homogénea:
mientras que los dos siguientes no son homogéneos:
La existencia de un término constante es una condición suficiente para que una ecuación no sea homogénea, como en el ejemplo anterior.
Ver también
Notas
Referencias
- Boyce, William E .; DiPrima, Richard C. (2012), Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (10a ed.), Wiley, ISBN 978-0470458310 . (Esta es una buena referencia introductoria sobre ecuaciones diferenciales).
- Ince, EL (1956), Ecuaciones diferenciales ordinarias , Nueva York: Publicaciones de Dover, ISBN 0486603490 . (Esta es una referencia clásica sobre las EDO, publicada por primera vez en 1926).
- Andrei D. Polyanin; Valentin F. Zaitsev (15 de noviembre de 2017). Manual de ecuaciones diferenciales ordinarias: soluciones, métodos y problemas exactos . Prensa CRC. ISBN 978-1-4665-6940-9 .
- Matthew R. Boelkins; Jack L. Goldberg; Merle C. Potter (5 de noviembre de 2009). Ecuaciones diferenciales con álgebra lineal . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 274–. ISBN 978-0-19-973666-9 .