Función holomórfica - Holomorphic function

Una cuadrícula rectangular (arriba) y su imagen debajo de un mapa conforme f (abajo).

En matemáticas, una función holomórfica es una función de valor complejo de una o más variables complejas que es complejamente diferenciable en una vecindad de cada punto en un dominio en el espacio de coordenadas complejo C n . La existencia de una derivada compleja en una vecindad es una condición muy fuerte: implica que una función holomórfica es infinitamente diferenciable y localmente igual a su propia serie de Taylor ( analítica ). Las funciones holomorfas son los objetos centrales de estudio en el análisis complejo .

Aunque el término función analítica a menudo se usa indistintamente con "función holomórfica", la palabra "analítica" se define en un sentido más amplio para denotar cualquier función (real, compleja o de tipo más general) que pueda escribirse como una serie de potencia convergente. en una vecindad de cada punto en su dominio . Que todas las funciones holomórficas son funciones analíticas complejas, y viceversa, es un teorema importante en el análisis complejo .

Las funciones holomórficas también se denominan a veces funciones regulares . Una función holomórfica cuyo dominio es todo el plano complejo se denomina función completa . La frase "holomórfico en un punto z 0 " significa no solo diferenciable en z 0 , sino diferenciable en todas partes dentro de alguna vecindad de z 0 en el plano complejo.

Definición

La función f ( z ) = no es complejamente diferenciable en cero, porque como se muestra arriba, el valor de f ( z ) - f (0) / z - 0 varía dependiendo de la dirección desde la cual se aproxima a cero. A lo largo del eje real, f es igual a la función g ( z ) = z y el límite es 1 , mientras que a lo largo del eje imaginario, f es igual a h ( z ) = - z y el límite es −1 . Otras direcciones dan lugar a otros límites.

Dada una función de valor complejo f de una sola variable compleja, la derivada de f en un punto z 0 en su dominio está definida por el límite

Esta es la misma que la definición de la derivada para funciones reales , excepto que todas las cantidades son complejas. En particular, el límite se toma cuando el número complejo z se acerca a z 0 , y debe tener el mismo valor para cualquier secuencia de valores complejos para z que se acerque a z 0 en el plano complejo. Si el límite existe, decimos que f es complejo diferenciable en el punto z 0 . Este concepto de diferenciabilidad compleja comparte varias propiedades con la diferenciabilidad real : es lineal y obedece a la regla del producto , la regla del cociente y la regla de la cadena .

Si f es diferenciable compleja en cada punto z 0 en un conjunto abierto U , decimos que f es holomorfa en U . Decimos que f es holomórfica en el punto z 0 si f es complejamente diferenciable en alguna vecindad de z 0 . Decimos que f es holomorfa en algún conjunto no abierta Un si es holomorfa en un barrio de A . Como no-ejemplo patológico, la función dada por f ( z ) = | z  | 2 es compleja diferenciable en exactamente un punto ( z 0 = 0 ), y por esta razón, es no holomorphic a 0 , porque no existe un conjunto abierto alrededor de 0 en la que f es diferenciable complejo.

La relación entre diferenciabilidad real y diferenciabilidad compleja es la siguiente: Si una función compleja f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) es holomórfica, entonces u y v tienen primeras derivadas parciales con respecto a x y y , y satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann :

o, de manera equivalente, la derivada de Wirtinger de f con respecto a , el complejo conjugado de z , es cero:

lo que quiere decir que, a grandes rasgos, f es funcionalmente independiente de el complejo conjugado de z .

Si no se da continuidad, lo contrario no es necesariamente cierto. A converse simple es que si u y v tienen continuas primeras derivadas parciales y satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f es holomorfa. A converse más satisfactorio, que es mucho más difícil de probar, es el teorema Looman-Menchoff : si f es continua, u y v tienen derivadas primera parciales (pero no necesariamente continua), y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f es decir holomórfico.

Terminología

El término holomorfo fue introducido en 1875 por Charles Briot y Jean-Claude Bouquet , dos de los estudiantes de Augustin-Louis Cauchy , y deriva del griego ὅλος ( hólos ) que significa "todo", y μορφή ( morphḗ ) que significa "forma" o "apariencia" o "tipo", en contraste con el término meromorfo derivado de μέρος ( méros ) que significa "parte". Una función holomórfica se asemeja a una función completa ("todo") en un dominio del plano complejo, mientras que una función meromórfica (definida como holomórfica excepto en ciertos polos aislados ), se asemeja a una fracción racional ("parte") de funciones completas en un dominio del plano complejo. En cambio, Cauchy había utilizado el término sinéctico .

Hoy en día, el término "función holomórfica" a veces se prefiere a "función analítica". Un resultado importante en el análisis complejo es que toda función holomórfica es analítica compleja, un hecho que no se sigue obviamente de las definiciones. Sin embargo, el término "analítico" también se utiliza ampliamente.

Propiedades

Debido a que la diferenciación compleja es lineal y obedece a las reglas del producto, el cociente y la cadena, las sumas, productos y composiciones de las funciones holomórficas son holomórficas y el cociente de dos funciones holomórficas es holomórfico donde el denominador no es cero. Es decir, si las funciones f y g son holomórficas en un dominio U , entonces también lo son f + g , f - g , f g y f  ∘  g . Además, f  /  g es holomórfica si g no tiene ceros en U , o es meromórfica en caso contrario.

Si se identifica C con el plano real R 2 , entonces las funciones holomorfas coinciden con aquellas funciones de dos variables reales con primeras derivadas continuas que resuelven las ecuaciones de Cauchy-Riemann , un conjunto de dos ecuaciones diferenciales parciales .

Cada función holomórfica se puede separar en sus partes real e imaginaria f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) , y cada una de estas es una función armónica en R 2 (cada una satisface la ecuación de Laplace 2 u = ∇ 2 v = 0 ), con v el conjugado armónico de u . Por el contrario, toda función armónica u ( x , y ) en un dominio simplemente conectado Ω ⊂ R 2 es la parte real de una función holomórfica: si v es el conjugado armónico de u , único hasta una constante, entonces f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) es holomórfico.

El teorema de la integral de Cauchy implica que la integral de contorno de cada función holomórfica a lo largo de un bucle desaparece:

Aquí γ es una ruta rectificable en un dominio complejo simplemente conectado UC cuyo punto de inicio es igual a su punto final, y f  : UC es una función holomórfica.

La fórmula integral de Cauchy establece que cada función holomórfica dentro de un disco está completamente determinada por sus valores en el límite del disco. Además: Suponga que UC es un dominio complejo, f  : UC es una función holomórfica y el disco cerrado D = {  z  : | z - z 0 | ≤ r  } está completamente contenida en U . Let γ ser el círculo que forma el límite de D . Luego, para cada a en el interior de D :

donde la integral del contorno se toma en sentido antihorario .

La derivada f ′ ( a ) se puede escribir como una integral de contorno usando la fórmula de diferenciación de Cauchy :

para cualquier bucle simple que se enrolle positivamente una vez alrededor de a , y

para bucles positivos infinitesimales γ alrededor de a .

En regiones donde la primera derivada no es cero, las funciones holomórficas son conformes : conservan los ángulos y la forma (pero no el tamaño) de las figuras pequeñas.

Toda función holomórfica es analítica . Es decir, una función holomórfica f tiene derivadas de todo orden en cada punto a de su dominio, y coincide con su propia serie de Taylor en a en una vecindad de a . De hecho, f coincide con su serie de Taylor en a en cualquier disco centrado en ese punto y que se encuentre dentro del dominio de la función.

Desde un punto de vista algebraico, el conjunto de funciones holomorfas en un conjunto abierto es un anillo conmutativo y un espacio vectorial complejo . Además, el conjunto de funciones holomórficas en un conjunto abierto U es un dominio integral si y solo si el conjunto abierto U está conectado. De hecho, es un espacio vectorial topológico localmente convexo , donde los seminormas son el supremo en los subconjuntos compactos .

Desde una perspectiva geométrica, una función f es holomórfica en z 0 si y solo si su derivada exterior df en una vecindad U de z 0 es igual af ′ ( z )  dz para alguna función continua f . Se sigue de

que df también es proporcional a dz , lo que implica que la derivada f es en sí misma holomórfica y, por tanto, f es infinitamente diferenciable. Del mismo modo, d ( f dz ) = f ' dzdz = 0 implica que cualquier función f que es holomorphic en la región simplemente conectado U también es integrable en U .

(Para un camino γ de z 0 a z que se encuentra completamente en U , defina a la luz del teorema de la curva de Jordan y el teorema generalizado de Stokes , F γ ( z ) es independiente de la elección particular del camino γ , y por lo tanto F ( z ) es una función bien definida en U que tiene F ( z 0 ) = F 0 y dF = f dz .)

Ejemplos de

Todas las funciones polinomiales en z con coeficientes complejos son funciones completas (holomorfas en todo el plano complejo C ), al igual que la función exponencial exp z y las funciones trigonométricas y (cf. fórmula de Euler ). La rama principal de la función de logaritmo complejo log z es holomórfica en el dominio C \ {  zR  : z ≤ 0}. La función de raíz cuadrada se puede definir como y, por lo tanto, es holomórfica dondequiera que sea el logaritmo log z . La función recíproca 1 /  z es holomórfica en C \ {0}. (La función recíproca, y cualquier otra función racional , es meromórfica en C ).

Como consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann , cualquier función holomórfica de valor real debe ser constante . Por tanto, el valor absoluto | z  | , el argumento arg ( z ) , la parte real Re ( z ) y la parte imaginaria Im ( z ) no son holomorfas. Otro ejemplo típico de una función continua que no es holomórfica es el complejo conjugado . (El conjugado complejo es antiholomórfico ).

Varias variables

La definición de una función holomórfica se generaliza a varias variables complejas de una manera sencilla. Deje que D sea polydisk y también, denotan un subconjunto abierto de C n , y sea f  : DC . La función f es analítica en un punto p en D si existe una vecindad abierta de p en la que f es igual a una serie de potencias convergentes en n variables complejas. Defina f como holomórfico si es analítico en cada punto de su dominio. El lema de Osgood muestra (usando la fórmula integral de Cauchy multivariante) que, para una función continua f , esto es equivalente a que f sea ​​holomórfica en cada variable por separado (lo que significa que si cualquier coordenada n - 1 es fija, entonces la restricción de f es una holomorfa función de la coordenada restante). El teorema de Hartogs, mucho más profundo , demuestra que la hipótesis de la continuidad es innecesaria: f es holomórfica si y solo si es holomórfica en cada variable por separado.

De manera más general, una función de varias variables complejas que es cuadrática integrable sobre cada subconjunto compacto de su dominio es analítica si y solo si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el sentido de distribuciones.

Las funciones de varias variables complejas son, en algunos aspectos básicos, más complicadas que las funciones de una sola variable compleja. Por ejemplo, la región de convergencia de una serie de potencias no es necesariamente una bola abierta; estas regiones son dominios de Reinhardt logarítmicamente convexos , cuyo ejemplo más simple es un polidisco . Sin embargo, también vienen con algunas restricciones fundamentales. A diferencia de las funciones de una sola variable compleja, los posibles dominios en los que hay funciones holomórficas que no pueden extenderse a dominios más grandes son muy limitados. Este conjunto se denomina dominio de holomorfia .

Un diferencial complejo ( p , 0) -forma α es holomorphic si y sólo si su antiholomorphic derivado Dolbeault es cero, α = 0 .

Extensión al análisis funcional

El concepto de función holomórfica puede extenderse a los espacios de dimensión infinita del análisis funcional . Por ejemplo, la derivada de Fréchet o Gateaux se puede utilizar para definir una noción de función holomórfica en un espacio de Banach sobre el campo de números complejos.

Ver también

Referencias

Otras lecturas

  • Blakey, Joseph (1958). Matemáticas Universitarias (2ª ed.). Londres: Blackie and Sons. OCLC  2370110 .

enlaces externos