Argumento del agujero - Hole argument

En la relatividad general , el argumento del agujero es una aparente paradoja que inquietó mucho a Albert Einstein mientras desarrollaba sus famosas ecuaciones de campo .

Algunos filósofos de la física toman el argumento para plantear un problema para el sustancialismo múltiple , una doctrina de que la multiplicidad de eventos en el espacio-tiempo es una "sustancia" que existe independientemente del campo métrico definido en él o de la materia dentro de él. Otros filósofos y físicos no están de acuerdo con esta interpretación y ven el argumento como una confusión sobre la invariancia de calibre y la fijación de calibre en su lugar.

El argumento del agujero de Einstein

En una ecuación de campo habitual, conocer la fuente del campo y las condiciones de contorno determina el campo en todas partes. Por ejemplo, si se nos da la densidad de carga y corriente y las condiciones de contorno adecuadas, las ecuaciones de Maxwell determinan los campos eléctrico y magnético. Sin embargo, no determinan el potencial vectorial, porque el potencial vectorial depende de una elección arbitraria de calibre.

Einstein notó que si las ecuaciones de la gravedad son generalmente covariantes , entonces la métrica no puede ser determinada únicamente por sus fuentes en función de las coordenadas del espacio-tiempo. Como ejemplo: considere una fuente gravitacional, como el sol. Luego hay un campo gravitacional descrito por una métrica g (r). Ahora realice una transformación de coordenadas r r 'donde r' es lo mismo que r para puntos que están dentro del sol pero r 'es diferente de r fuera del sol. La descripción de coordenadas del interior del sol no se ve afectada por la transformación, pero se cambia la forma funcional de la métrica g 'para los nuevos valores de coordenadas fuera del sol. Debido a la covarianza general de las ecuaciones de campo, esta métrica transformada g 'también es una solución en el sistema de coordenadas no transformado. ${\ Displaystyle \ to}$

Esto significa que una fuente, el sol, puede ser la fuente de muchas métricas aparentemente diferentes. La resolución es inmediata: dos campos cualesquiera que solo difieran por tal transformación de "agujero" son físicamente equivalentes, al igual que dos potenciales vectoriales diferentes que difieren por una transformación de calibre son físicamente equivalentes. Entonces, todas estas soluciones matemáticamente distintas no son físicamente distinguibles: representan una y la misma solución física de las ecuaciones de campo.

Hay muchas variaciones sobre esta aparente paradoja. En una versión, considera una superficie de valor inicial con algunos datos y encuentra la métrica en función del tiempo. Luego, realiza una transformación de coordenadas que mueve puntos en el futuro de la superficie de valor inicial, pero que no afecta la superficie inicial ni ningún punto en el infinito. Entonces puede concluir que las ecuaciones de campo generalmente covariantes no determinan el futuro de manera única, ya que esta nueva métrica transformada de coordenadas es una solución igualmente válida de las mismas ecuaciones de campo en el sistema de coordenadas original. Entonces, el problema del valor inicial no tiene una solución única en la relatividad general. Esto también es cierto en la electrodinámica, ya que puede hacer una transformación de calibre que solo afectará el potencial del vector mañana. La resolución en ambos casos es usar condiciones adicionales para arreglar un medidor.

Disputando la versión anterior del argumento del agujero de Einstein

La derivación de Einstein de las ecuaciones del campo gravitacional se retrasó debido al argumento del agujero que creó en 1913. Sin embargo, el problema no era como se indica en la sección anterior. En 1912, cuando Einstein comenzó lo que llamó su "lucha con el significado de las coordenadas", ya sabía cómo buscar ecuaciones tensoriales, ya que estas no se ven afectadas por el cambio de coordenadas. Ya había encontrado la forma del campo gravitacional (es decir, como una tétrada o campo marco o métrica ), y las ecuaciones de movimiento de la materia en un campo gravitacional dado (que se derivan de maximizar el tiempo adecuado dado por ). Es evidente que esto es invariante bajo transformaciones de coordenadas. ${\ Displaystyle e _ {\ mu} ^ {I} (x)}$${\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu} (x)}$${\ Displaystyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} (x) dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}}$

Lo que le molestó fue una consecuencia de su principio de covarianza general y surge de lo siguiente. La covarianza general establece que las leyes de la física deben tomar la misma forma matemática en todos los marcos de referencia y, por lo tanto, en todos los sistemas de coordenadas y, por lo tanto, la ecuación diferencial que son las ecuaciones de campo del campo gravitacional debe tomar la misma forma matemática en todos los sistemas de coordenadas. En otras palabras, dados dos sistemas de coordenadas, digamos coordenadas y coordenadas, uno tiene exactamente la misma ecuación diferencial para resolver en ambos, excepto que en uno la variable independiente es y en el otro la variable independiente es . Esto implica que tan pronto como uno encuentra una función métrica en el sistema de coordenadas que resuelve las ecuaciones de campo, uno puede simplemente escribir la misma función pero reemplazar todas las 'por ', lo que resuelve las ecuaciones de campo en el sistema de coordenadas. Como estas dos soluciones tienen la misma forma funcional pero pertenecen a diferentes sistemas de coordenadas, imponen diferentes geometrías espaciotemporales. Tenga en cuenta que esta segunda solución no está relacionada con la primera a través de una transformación de coordenadas, pero es una solución de todos modos. Aquí está el problema que tanto perturbó a Einstein: si estos sistemas de coordenadas difieren sólo después de que haya dos soluciones; tienen las mismas condiciones iniciales pero imponen diferentes geometrías después . Sobre la base de esta observación, Einstein pasó tres años buscando ecuaciones de campo no generalmente covariantes en una carrera frenética contra Hilbert . ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle t = 0}$${\ Displaystyle t = 0}$

Para ser más exactos, Einstein concibió una situación en la que la distribución de la materia se conoce en todas partes fuera de alguna región cerrada del espacio-tiempo desprovista de materia, el agujero. Entonces, las ecuaciones de campo junto con las condiciones de contorno permiten supuestamente determinar el campo métrico dentro del agujero. Uno toma las coordenadas y para diferir dentro del agujero pero concuerda fuera de él. El argumento procede entonces como en el párrafo anterior. ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

Como estas dos soluciones tienen la misma forma funcional, asumen los mismos valores; simplemente los asumen en diferentes lugares. Por lo tanto, una solución se obtiene de la otra arrastrando activamente la función métrica sobre la variedad de espacio-tiempo a la nueva configuración. Esto se conoce como difeomorfismo , a veces llamado difeomorfismo activo por los físicos para distinguirlo de las transformaciones coordinadas (difeomorfismos pasivos). Einstein no pudo encontrar ecuaciones de campo no generalmente covariantes solo para volver al argumento del agujero y resolverlo. Básicamente implicó aceptar que estas dos soluciones son físicamente equivalentes al afirmar que la forma en que se localiza la métrica sobre la variedad del espacio-tiempo es físicamente irrelevante y que los puntos individuales del espacio-tiempo definidos en términos de coordenadas del espacio-tiempo no tienen un significado físico en sí mismos (esta es la fuente del problema del sustancialismo múltiple). Para dar significado a "ubicación", Einstein generalizó la situación dada en los párrafos anteriores al introducir dos partículas; entonces los puntos físicos (dentro del agujero) pueden definirse en términos de sus líneas de mundo coincidentes. Esto funciona porque la materia se arrastra junto con la métrica bajo difeomorfismos activos. Sin la introducción de estas partículas, uno no podría definir puntos físicos del espacio-tiempo (dentro del agujero); vea las citas de Einstein que se dan a continuación en la sección 'La resolución de Einstein'.

Significado de la invariancia de coordenadas

Para los inclinados a la filosofía, todavía hay algo de sutileza. Si los componentes métricos se consideran las variables dinámicas de la Relatividad General , la condición de que las ecuaciones sean invariantes de coordenadas no tiene ningún contenido por sí misma. Todas las teorías físicas son invariantes bajo transformaciones de coordenadas si se formulan correctamente. Es posible escribir las ecuaciones de Maxwell en cualquier sistema de coordenadas y predecir el futuro de la misma manera.

Pero para formular el electromagnetismo en un sistema de coordenadas arbitrario, se debe introducir una descripción de la geometría del espacio-tiempo que no esté ligada a un sistema de coordenadas especial. Esta descripción es un tensor métrico en cada punto, o una conexión que define qué vectores cercanos son paralelos. El objeto matemático introducido, la métrica de Minkowski, cambia de forma de un sistema de coordenadas a otro, pero no forma parte de la dinámica, no obedece a ecuaciones de movimiento. Pase lo que pase con el campo electromagnético, siempre es lo mismo. Actúa sin que se actúe sobre ella.

En la relatividad general, cada cantidad local separada que se usa para describir la geometría es en sí misma un campo dinámico local, con su propia ecuación de movimiento. Esto produce severas restricciones, porque la ecuación de movimiento tiene que ser sensata. Debe determinar el futuro a partir de las condiciones iniciales, no debe tener inestabilidades descontroladas para pequeñas perturbaciones, debe definir una energía definida positiva para pequeñas desviaciones. Si se adopta el punto de vista de que la invariancia de coordenadas es trivialmente cierta, el principio de invariancia de coordenadas simplemente establece que la métrica en sí es dinámica y su ecuación de movimiento no implica una geometría de fondo fija.

La resolución de Einstein

En 1915, Einstein se dio cuenta de que el argumento del agujero supone una suposición sobre la naturaleza del espacio-tiempo: supone que tiene sentido hablar sobre el valor del campo gravitacional (hasta meras transformaciones de coordenadas) en un punto del espacio-tiempo definido por una coordenada del espacio-tiempo: más precisamente, supone que tiene sentido hablar de propiedades físicas del campo gravitacional, por ejemplo, si es plano o curvo (esta es una propiedad independiente de coordenadas del campo gravitacional), en un punto del espacio-tiempo. Al abandonar este supuesto, la covarianza general se volvió compatible con el determinismo. Mientras que dos campos gravitacionales que se diferencian por un difeomorfismo activo se ven diferentes geométricamente, después de que se recalculan las trayectorias de todas las partículas, sus interacciones definen manifiestamente ubicaciones 'físicas' con respecto a las cuales el campo gravitacional toma el mismo valor bajo todos los difeomorfismos activos. (Tenga en cuenta que si las dos métricas estuvieran relacionadas entre sí mediante una mera transformación de coordenadas, las líneas del mundo de las partículas no se transpondrían; esto se debe a que ambas métricas imponen la misma geometría espaciotemporal y a que las líneas del mundo se definen geométricamente como trayectorias de máximo tiempo adecuado - es sólo con un difeomorfismo activo que se cambia la geometría y se alteran las trayectorias). Esta fue la primera declaración clara del principio de invariancia de gauge en la ley física.

Einstein creía que el argumento del agujero implica que la única definición significativa de ubicación y tiempo es a través de la materia. Un punto en el espacio-tiempo no tiene sentido en sí mismo, porque la etiqueta que se le da a tal punto es indeterminada. Los puntos del espacio-tiempo solo adquieren su significado físico porque la materia se mueve a través de ellos. En sus palabras:

Todas nuestras verificaciones de espacio-tiempo equivalen invariablemente a una determinación de coincidencias de espacio-tiempo. Si, por ejemplo, los eventos consistieran simplemente en el movimiento de puntos materiales, entonces, en última instancia, nada sería observable excepto el encuentro de dos o más de estos puntos. "

Consideraba que esta era la visión más profunda de la relatividad general. Según esta idea, el contenido físico de cualquier teoría se agota con el catálogo de coincidencias espaciotemporales que autoriza. John Stachel llamó a este principio, el argumento de coincidencia de puntos .

Generalmente, lo que es invariante bajo difeomorfismos activos y, por lo tanto, invariante de calibre, son las coincidencias entre el valor del campo gravitacional y el valor que tiene el campo de materia en el mismo 'lugar' porque el campo gravitacional y el campo de materia se arrastran juntos entre sí. bajo un difeomorfismo activo. A partir de estas coincidencias, se puede formar una noción de que la materia está ubicada con respecto al campo gravitacional. Como dice Carlo Rovelli : "No más campos en el espacio-tiempo: solo campos en los campos". Este es el verdadero significado del dicho "El escenario desaparece y se convierte en uno de los actores"; el espacio-tiempo como un "contenedor" sobre el que tiene lugar la física no tiene un significado físico objetivo y, en cambio, la interacción gravitacional se representa como uno de los campos que forman el mundo.

Einstein se refirió a su resolución como "más allá de mis expectativas más locas".

Implicaciones de la independencia de fondo para algunas teorías de la gravedad cuántica

La gravedad cuántica de bucle es un enfoque de la gravedad cuántica que intenta casar los principios fundamentales de la GR clásica con las características esenciales mínimas de la mecánica cuántica y sin exigir ninguna hipótesis nueva. Los físicos de la gravedad cuántica de bucles consideran la independencia del fondo como un principio central en su enfoque para cuantificar la gravedad, una simetría clásica que debería ser preservada por la teoría cuántica si queremos realmente cuantificar la geometría (= gravedad). Una consecuencia inmediata es que LQG es finito en UV porque las distancias pequeñas y grandes son equivalentes en cuanto a calibre, ya que se puede reemplazar una función métrica por otra relacionada con la primera por un difeomorfismo activo. Se puede dar un argumento más preciso. Thiemann ha proporcionado la prueba directa de la finitud del LQG canónico en presencia de todas las formas de materia. Sin embargo, se ha sugerido que la gravedad cuántica de bucles viola la independencia de fondo al introducir un marco de referencia preferido (" espumas de espín ").

La teoría de cuerdas perturbativas (además de una serie de formulaciones no perturbativas) no es `` obviamente '' independiente del fondo, porque depende de las condiciones de contorno en el infinito, de manera similar a cómo la relatividad general perturbativa no es `` obviamente '' dependiente del fondo. Sin embargo, algunos sectores de la teoría de cuerdas admiten formulaciones en las que se manifiesta la independencia de fondo, incluida la más notable de las AdS / CFT . Se cree que la teoría de cuerdas es independiente del trasfondo en general, incluso si muchas formulaciones útiles no la ponen de manifiesto. Para una opinión contraria, véase Smolin.

Ver también

• Erich Kretschmann
• Filosofía del espacio y el tiempo

Referencias

Fuentes

• Albert Einstein , HA Lorentz, H. Weyl y H. Minkowski, El principio de la relatividad (1952): Einstein, Albert (1916) "El fundamento de la teoría general de la relatividad", págs. 111-164.
• Carlo Rovelli , Quantum Gravity , publicado por Cambridge University Press (2004) ISBN  0-521-83733-2 . Se puede descargar una versión preliminar de forma gratuita en http://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/book.pdf .
• Norton, John, The Hole Argument , The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Edición de primavera de 2004), Edward N. Zalta (ed.)
• d'Inverno, Ray (1992). Presentación de la relatividad de Einstein . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-859686-3. Consulte la sección 13.6 .
• La física se encuentra con la filosofía en la escala de Planck (Cambridge University Press).
• Joy Christian , Por qué el Quantum debe ceder a la gravedad , impresión electrónica disponible como gr-qc / 9810078 . Aparece en Physics Meets Philosophy en la escala de Planck (Cambridge University Press).
• Carlo Rovelli y Marcus Gaul , Loop Quantum Gravity and the Meaning of Diffeomorphism Invariance , impresión electrónica disponible como gr-qc / 9910079 .
• Robert Rynasiewicz : Las lecciones del argumento del agujero , Brit.J.Phil.Sci. vol. 45, no. 2 (1994), págs. 407–437.
• Alan Macdonald, El argumento del vacío de Einstein American Journal of Physics (febrero de 2001) Vol 69, Número 2, págs. 223-225.

enlaces externos

• Stachel, John, "El argumento del agujero y algunas implicaciones físicas y filosóficas" , Rev. Relativ viviente. 17 (1) (2014).