Triángulo de Heronian - Heronian triangle

En geometría , un triángulo de Heronian es un triángulo que tiene lados y áreas que son todos números enteros . Los triángulos heronianos llevan el nombre del héroe de Alejandría . El término a veces se aplica más ampliamente a los triángulos cuyos lados y área son todos números racionales , ya que uno puede cambiar la escala de los lados por un múltiplo común para obtener un triángulo que sea heroniano en el sentido anterior.

Propiedades

Cualquier triángulo rectángulo cuyas longitudes laterales sean un triple pitagórico es un triángulo heroniano, ya que las longitudes de los lados de dicho triángulo son números enteros y su área también es un número entero, siendo la mitad del producto de los dos lados más cortos del triángulo, en al menos uno de los cuales debe ser uniforme.

Un triángulo con longitudes de lados c , e y b  +  d , y altura a .

Un ejemplo de un triángulo heroniano que no es rectángulo es el triángulo isósceles con longitudes de lado 5, 5 y 6, cuya área es 12. Este triángulo se obtiene uniendo dos copias del triángulo rectángulo de lados 3, 4, y 5 a lo largo de los lados de la longitud 4. Este enfoque funciona en general, como se ilustra en la imagen adyacente. Uno toma un triple pitagórico ( a , b , c ), siendo c el más grande, luego otro ( a , d , e ), siendo e el más grande, construye los triángulos con estas longitudes laterales y los une a lo largo de los lados de la longitud. a , para obtener un triángulo con longitudes de lados enteros c , e y b  +  d , y con área

(la mitad de la base por la altura).

Si a es par, entonces el área A es un número entero. De manera menos obvia, si a es impar, entonces A sigue siendo un número entero, ya que b y d deben ser pares, lo que hace que b + d también sea par.

Algunos triángulos de Heronian no se pueden obtener uniendo dos triángulos rectángulos con lados enteros como se describe arriba. Por ejemplo, un triángulo Heroniano de 5, 29, 30 con área 72 no se puede construir a partir de dos triángulos pitagóricos enteros ya que ninguna de sus altitudes son números enteros. Además, ningún triángulo pitagórico primitivo puede construirse a partir de dos triángulos pitagóricos enteros más pequeños. Estos triángulos heronianos se conocen como indecomponibles . Sin embargo, si uno permite triples pitagóricos con valores racionales, no necesariamente números enteros, entonces siempre existe una descomposición en triángulos rectángulos con lados racionales, porque cada altitud de un triángulo heroniano es racional (ya que equivale al doble del área entera dividida por la base entera) . Así que el triángulo de Heronian con lados 5, 29, 30 se puede construir a partir de triángulos pitagóricos racionales con lados 7/5, 24/5, 5 y 143/5, 24/5, 29. Tenga en cuenta que un triple pitagórico con valores racionales es simplemente una versión escalada de un triple con valores enteros.

Otras propiedades de los triángulos heronianos son las siguientes:

  • El perímetro de un triángulo de Heronian es siempre un número par. Así, cada triángulo heroniano tiene un número impar de lados de longitud par, y cada triángulo heroniano primitivo tiene exactamente un lado par.
  • Los semiperímetro s de un triángulo con lados Heronian un , b y c nunca pueden ser primo. Esto se puede ver en el hecho de que s (s − a) (s − b) (s − c) tiene que ser un cuadrado perfecto y si s es un primo, entonces uno de los otros términos debe tener s como factor, pero esto es imposible ya que estos términos son todos menores que s .
  • El área de un triángulo de Heronian siempre es divisible por 6.
  • Todas las altitudes de un triángulo heroniano son racionales. Esto se puede ver en el hecho de que el área de un triángulo es la mitad de un lado por su altitud desde ese lado, y un triángulo heroniano tiene lados y área enteros. Algunos triángulos heronianos tienen tres altitudes no enteras, por ejemplo, el agudo (15, 34, 35) con área 252 y el obtuso (5, 29, 30) con área 72. Cualquier triángulo heroniano con una o más altitudes no enteras puede ser escalado por un factor que iguale el mínimo común múltiplo de los denominadores de las altitudes para obtener un triángulo heroniano similar con tres altitudes enteras.
  • Los triángulos heronianos que no tienen altitud entera ( indecomponibles y no pitagóricos) tienen lados que son todos divisibles por números primos de la forma 4 k +1. Sin embargo, los triángulos heronianos descomponibles deben tener dos lados que son la hipotenusa de los triángulos pitagóricos. Por lo tanto, todos los triángulos heronianos que no son pitagóricos tienen al menos dos lados que son divisibles por números primos de la forma 4 k +1. Todo lo que queda son triángulos pitagóricos. Por lo tanto, todos los triángulos heronianos tienen al menos un lado que es divisible por números primos de la forma 4 k +1. Finalmente, si un triángulo heroniano tiene solo un lado divisible por primos de la forma 4 k +1, debe ser pitagórico con el lado como hipotenusa y la hipotenusa debe ser divisible por 5 .
  • Todas las bisectrices perpendiculares interiores de un triángulo heroniano son racionales: para cualquier triángulo, están dadas por y donde los lados son abcy el área es A ; en un triángulo heroniano, todos a , b , c y A son números enteros.
  • No hay triángulos heronianos equiláteros.
  • No hay triángulos heronianos con una longitud de lado de 1 o 2.
  • Existe un número infinito de triángulos heronianos primitivos con una longitud de lado igual a a siempre que a> 2.
  • No hay triángulos heronianos cuyas longitudes de los lados formen una progresión geométrica .
  • Si dos lados (pero no tres) de un triángulo heroniano tienen un factor común, ese factor debe ser la suma de dos cuadrados.
  • Cada ángulo de un triángulo heroniano tiene un seno racional. Esto se deduce de la fórmula del área Área = (1/2) ab pecado C , en la cual el área y los lados a y b son números enteros, y de forma equivalente para los otros ángulos.
  • Cada ángulo de un triángulo heroniano tiene un coseno racional. Esto se deduce de la ley de los cosenos , c 2 = un 2 + b 2 - 2 ab cos C , en la que los lados a , b , y c son números enteros, y de forma equivalente para los otros ángulos.
  • Dado que todos los triángulos de Heron tienen todos los senos y cosenos de los ángulos racionales, esto implica que cada ángulo oblicuo de un triángulo de Heron tiene una tangente, cotangente, secante y cosecante racionales. Además, la mitad de cada ángulo tiene una tangente racional porque tan C / 2 = sen C / (1 + cos C) , y de manera equivalente para otros ángulos.
  • No hay triángulos heronianos cuyos tres ángulos internos formen una progresión aritmética. Esto se debe a que todos los triángulos planos con ángulos en progresión aritmética deben tener un ángulo de 60 °, que no tiene un seno racional.
  • Cualquier cuadrado inscrito en un triángulo heroniano tiene lados racionales: para un triángulo general, el cuadrado inscrito en el lado de longitud a tiene una longitud donde A es el área del triángulo; en un triángulo heroniano, tanto A como a son números enteros.
  • Cada triángulo heroniano tiene un radio interno racional (radio de su círculo inscrito): para un triángulo general, el radio interno es la relación entre el área y la mitad del perímetro, y ambos son racionales en un triángulo heroniano.
  • Cada triángulo de Heronian tiene un circunradio racional (el radio de su círculo circunscrito): Para un triángulo general, el circunradio es igual a un cuarto del producto de los lados dividido por el área; en un triángulo heroniano los lados y el área son números enteros.
  • En un triángulo heroniano, la distancia desde el centroide a cada lado es racional, porque para todos los triángulos esta distancia es la razón del doble del área por tres veces la longitud del lado. Esto se puede generalizar afirmando que todos los centros asociados con triángulos heronianos cuyas coordenadas baricéntricas son proporciones racionales tienen una distancia racional a cada lado. Estos centros incluyen el circuncentro , ortocentro , centro de nueve puntos , punto simmediano , punto de Gergonne y punto de Nagel .
  • Todos los triángulos de Heronian se pueden colocar en una celosía con cada vértice en un punto de celosía.

Fórmula exacta para todos los triángulos heronianos

El matemático indio Brahmagupta (598-668 d.C.) derivó la solución paramétrica de manera que cada triángulo heroniano tiene lados proporcionales a:

para enteros m , n y k donde:

.

El factor de proporcionalidad es generalmente un pq racional     donde   q = mcd ( a, b, c ) reduce el triángulo heroniano generado a su primitivo y   p   escala este primitivo al tamaño requerido. Por ejemplo, tomando m = 36, n = 4 y k = 3 produce un triángulo con a = 5220, b = 900 yc = 5400, que es similar al triángulo de Heronian de 5, 29, 30 y el factor de proporcionalidad utilizado tiene p = 1 yq = 180.

El obstáculo para un uso computacional de la solución paramétrica de Brahmagupta es el denominador q del factor de proporcionalidad. q solo se puede determinar calculando el máximo común divisor de los tres lados (mcd ( a, b, c )) e introduce un elemento de imprevisibilidad en el proceso de generación. La forma más sencilla de generar listas de triángulos heronianos es generar todos los triángulos enteros hasta una longitud de lado máxima y probar un área integral.

Kurz (2008) ha obtenido algoritmos más rápidos .

Hay infinitos triángulos heronianos no pitagóricos primitivos e indecomponibles con valores enteros para el radio interno y los tres exradios , incluidos los generados por

Hay infinitos triángulos heronianos que se pueden colocar en una celosía de modo que no solo los vértices estén en los puntos de la celosía, como ocurre con todos los triángulos heronianos, sino que además los centros del incírculo y los excirculos estén en los puntos del retículo.

Consulte también las fórmulas para triángulos heronianos con un ángulo igual al doble de otro , triángulos heronianos con lados en progresión aritmética y triángulos heronianos isósceles .

Todos los triángulos heronianos de tangentes de medio ángulo

Un triángulo con las longitudes de los lados y los ángulos interiores etiquetados. Capital A , B y C son los ángulos, y minúsculas- un , b , y c son los lados frente a ellos.

La tangente de la mitad de cualquier ángulo interior de un triángulo heroniano es necesariamente racional; ver propiedades arriba. Estos medios ángulos son positivos y suman 90 ° ( π / 2 radianes) porque los ángulos interiores ( A , B , C ) de cualquier triángulo suman 180 ° ( π radianes). Comenzamos eligiendo r = tan ( A / 2) y s = tan ( B / 2) para que sean números racionales positivos que satisfagan rs <1 . El límite de 1 asegura que el ángulo A / 2 + B / 2 sea ​​menor que 90 ° y, por lo tanto, el ángulo C / 2 será positivo. El valor t = tan ( C / 2) también será un número racional positivo porque

Podemos calcular el seno de cualquier ángulo usando la fórmula , por lo que los senos de son respectivamente. Estos valores son racionales porque los valores de r , s y t son racionales.

Usamos la Ley de los senos para concluir que las longitudes de los lados del triángulo son proporcionales a estos senos. Los valores enteros para las longitudes de los lados se obtienen multiplicando los senos por el mínimo común múltiplo de sus denominadores y luego dividiéndolos por el máximo común divisor de los resultados. Por lo tanto, hemos calculado las longitudes de los lados de un triángulo heroniano primitivo a partir de sus tangentes de medio ángulo.

Cuando también se da el caso de que r , s o t sea igual a 1, entonces el ángulo interior correspondiente será un ángulo recto y los tres lados también definirán un triple pitagórico .

Ejemplos de

La lista de triángulos heronianos enteros primitivos, ordenados por área y, si es la misma, por perímetro , comienza como en la siguiente tabla. "Primitivo" significa que el máximo común divisor de las tres longitudes de los lados es igual a 1.

Zona Perímetro longitud lateral b + d longitud de lado e longitud lateral c
6 12 5 4 3
12 dieciséis 6 5 5
12 18 8 5 5
24 32 15 13 4
30 30 13 12 5
36 36 17 10 9
36 54 26 25 3
42 42 20 15 7
60 36 13 13 10
60 40 17 15 8
60 50 24 13 13
60 60 29 25 6
66 44 20 13 11
72 64 30 29 5
84 42 15 14 13
84 48 21 17 10
84 56 25 24 7
84 72 35 29 8
90 54 25 17 12
90 108 53 51 4
114 76 37 20 19
120 50 17 17 dieciséis
120 64 30 17 17
120 80 39 25 dieciséis
126 54 21 20 13
126 84 41 28 15
126 108 52 51 5
132 66 30 25 11
156 78 37 26 15
156 104 51 40 13
168 64 25 25 14
168 84 39 35 10
168 98 48 25 25
180 80 37 30 13
180 90 41 40 9
198 132 sesenta y cinco 55 12
204 68 26 25 17
210 70 29 21 20
210 70 28 25 17
210 84 39 28 17
210 84 37 35 12
210 140 68 sesenta y cinco 7
210 300 149 148 3
216 162 80 73 9
234 108 52 41 15
240 90 40 37 13
252 84 35 34 15
252 98 45 40 13
252 144 70 sesenta y cinco 9
264 96 44 37 15
264 132 sesenta y cinco 34 33
270 108 52 29 27
288 162 80 sesenta y cinco 17
300 150 74 51 25
300 250 123 122 5
306 108 51 37 20
330 100 44 39 17
330 110 52 33 25
330 132 61 60 11
330 220 109 100 11
336 98 41 40 17
336 112 53 35 24
336 128 61 52 15
336 392 195 193 4
360 90 36 29 25
360 100 41 41 18
360 162 80 41 41
390 156 75 68 13
396 176 87 55 34
396 198 97 90 11
396 242 120 109 13

Las listas de triángulos heronianos primitivos cuyos lados no superan los 6.000.000 se pueden encontrar en "Listas de triángulos heronianos primitivos" . Sascha Kurz, Universidad de Bayreuth, Alemania. Archivado (PDF) desde el original en mayo de 2016 . Consultado el 29 de marzo de 2016 .

Triángulos iguales

Una forma se llama igual si su área es igual a su perímetro. Hay exactamente cinco triángulos heronianos iguales: los que tienen lados de longitud (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) y (9,10 , 17).

Triángulos heronianos casi equiláteros

Dado que el área de un triángulo equilátero con lados racionales es un número irracional , ningún triángulo equilátero es heroniano. Sin embargo, hay una secuencia única de triángulos Heronian que son "casi equilátero" porque los tres lados son de la forma n  - 1, n , n  + 1. Un método para la generación de todas las soluciones a este problema sobre la base de fracciones continuas fue descrito en 1864 por Edward Sang , y en 1880 Reinhold Hoppe dio una expresión de forma cerrada para las soluciones. Los primeros ejemplos de estos triángulos casi equiláteros se enumeran en la siguiente tabla (secuencia A003500 en la OEIS ):

Largo de lado Zona Inradius
n - 1 norte n + 1
3 4 5 6 1
13 14 15 84 4
51 52 53 1170 15
193 194 195 16296 56
723 724 725 226974 209
2701 2702 2703 3161340 780
10083 10084 10085 44031786 2911
37633 37634 37635 613283664 10864

Los valores posteriores de n se pueden encontrar multiplicando el valor anterior por 4, luego restando el valor anterior a ese (52 = 4 × 14 - 4, 194 = 4 × 52 - 14, etc.), así:

donde t denota cualquier fila de la tabla. Esta es una secuencia de Lucas . Alternativamente, la fórmula genera todo n . De manera equivalente, sea A = área ey = en radio, entonces,

donde { n , y } son soluciones an 2  - 12 y 2  = 4. Una pequeña transformación n = 2x produce una ecuación de Pell convencional x 2  - 3 y 2  = 1, cuyas soluciones se pueden derivar de la continuación regular expansión de fracción para 3 .

La variable n tiene la forma , donde k es 7, 97, 1351, 18817,…. Los números de esta secuencia tienen la propiedad de que k números enteros consecutivos tienen desviación estándar integral .

Ver también

Referencias

enlaces externos