Parámetro gravitacional estándar - Standard gravitational parameter

Cuerpo μ [m 3 s −2 ]
sol 1,327 124 400 18 (9) × 10 20
Mercurio 2.2032 (9) × 10 13
Venus 3,248 59 (9) × 10 14
tierra 3.986 004 418 (8) × 10 14
Luna 4.904 8695 (9) × 10 12
Marte 4.282 837 (2) × 10 13
Ceres 6.263 25 × 10 10
Júpiter 1.266 865 34 (9) × 10 17
Saturno 3.793 1187 (9) × 10 16
Urano 5.793 939 (9) × 10 15
Neptuno 6,836 529 (9) × 10 15
Plutón 8,71 (9) × 10 11
Eris 1,108 (9) × 10 12

En mecánica celeste , el parámetro gravitacional estándar μ de un cuerpo celeste es el producto de la constante gravitacional G y la masa M del cuerpo.

Durante varios objetos en el sistema solar , el valor de μ se sabe que una mayor precisión que sea G o M . Las unidades SI del parámetro gravitacional estándar son m 3 s −2 . Sin embargo, las unidades de km 3 s −2 se utilizan con frecuencia en la literatura científica y en la navegación de naves espaciales.

Definición

Cuerpo pequeño orbitando un cuerpo central

Gráfico logarítmico del período T frente al semieje mayor a (promedio de afelio y perihelio) de algunas órbitas del Sistema Solar (cruces que denotan los valores de Kepler) que muestra que a ³ / T ² es constante (línea verde)

El cuerpo central en un sistema orbital se puede definir como aquel cuya masa ( M ) es mucho mayor que la masa del cuerpo en órbita ( m ), o Mm . Esta aproximación es estándar para los planetas que orbitan alrededor del Sol o la mayoría de las lunas y simplifica enormemente las ecuaciones. Según la ley de Newton de la gravitación universal , si la distancia entre los cuerpos es r , la fuerza ejercida sobre el cuerpo más pequeño es:

Por lo tanto, solo se necesita el producto de G y M para predecir el movimiento del cuerpo más pequeño. Por el contrario, las mediciones de la órbita del cuerpo más pequeño solo proporcionan información sobre el producto, μ, no G y M por separado. La constante gravitacional, G, es difícil de medir con alta precisión, mientras que las órbitas, al menos en el sistema solar, pueden medirse con gran precisión y usarse para determinar μ con precisión similar.

Para una órbita circular alrededor de un cuerpo central:

donde r es el radio de la órbita , v es la velocidad orbital , ω es la velocidad angular y T es el período orbital .

Esto se puede generalizar para órbitas elípticas :

donde a es el semieje mayor , que es la tercera ley de Kepler .

Para trayectorias parabólicas, rv 2 es constante e igual a 2 μ . Para órbitas elípticas e hiperbólicas μ = 2 a | ε | , donde ε es la energía orbital específica .

Caso general

En el caso más general donde los cuerpos no necesitan ser grandes y pequeños, por ejemplo, un sistema estelar binario , definimos:

  • el vector r es la posición de un cuerpo con respecto al otro
  • r , v , y en el caso de una órbita elíptica , el semieje mayor a , se definen en consecuencia (por lo tanto, r es la distancia)
  • μ = Gm 1 + Gm 2 = μ 1 + μ 2 , donde m 1 y m 2 son las masas de los dos cuerpos.

Luego:

  • para órbitas circulares , rv 2 = r 3 ω 2 = 4π 2 r 3 / T 2 = μ
  • para órbitas elípticas , 2 a 3 / T 2 = μ (con a expresado en AU; T en años y M la masa total relativa a la del Sol, obtenemos a 3 / T 2 = M )
  • para trayectorias parabólicas , rv 2 es constante e igual a 2 μ
  • para las órbitas elípticas e hiperbólicas, μ es el doble del semieje mayor multiplicado por el negativo de la energía orbital específica , donde esta última se define como la energía total del sistema dividida por la masa reducida .

En un péndulo

El parámetro gravitacional estándar se puede determinar utilizando un péndulo que oscila sobre la superficie de un cuerpo como:

donde r es el radio del cuerpo gravitante, L es la longitud del péndulo y T es el período del péndulo (para el motivo de la aproximación, consulte Péndulo en mecánica ).

Sistema solar

Constante gravitacional geocéntrica

G M 🜨 , el parámetro gravitacional de la Tierra como cuerpo central, se denomina constante gravitacional geocéntrica . Es igual(3.986 004 418 ± 0,000 000 008 ) × 10 14  m 3 s −2 .

El valor de esta constante se volvió importante con el comienzo de los vuelos espaciales en la década de 1950, y se dedicó un gran esfuerzo a determinarlo con la mayor precisión posible durante la década de 1960. Sagitov (1969) cita un rango de valores reportados a partir de mediciones de alta precisión de la década de 1960, con una incertidumbre relativa del orden de 10 −6 .

Durante las décadas de 1970 a 1980, el creciente número de satélites artificiales en órbita terrestre facilitó aún más las mediciones de alta precisión, y la incertidumbre relativa se redujo en otros tres órdenes de magnitud, a aproximadamente2 × 10 −9 (1 en 500 millones) a partir de 1992. La medición implica observaciones de las distancias desde el satélite a las estaciones terrestres en diferentes momentos, que pueden obtenerse con gran precisión mediante el uso de radar o láser.

Constante gravitacional heliocéntrica

G M , el parámetro gravitacional del Sol como cuerpo central, se llama constante gravitacional heliocéntrica o geopotencial del Sol y es igual a(1,327 124 400 42 ± 0,000 000 0001 ) × 10 20  m 3 s −2 .

La incertidumbre relativa en G M , citada por debajo de 10 −10 a partir de 2015, es menor que la incertidumbre en G M 🜨 porque G M se deriva del alcance de las sondas interplanetarias y el error absoluto de las medidas de distancia a ellas. es aproximadamente lo mismo que las medidas de alcance de los satélites terrestres, mientras que las distancias absolutas involucradas son mucho mayores.

Ver también

Referencias