Paradoja de Hausdorff - Hausdorff paradox

La paradoja de Hausdorff es una paradoja en matemáticas que lleva el nombre de Felix Hausdorff . Implica la esfera (una esfera bidimensional en ). Establece que si se elimina un cierto subconjunto contable , entonces el resto se puede dividir en tres subconjuntos disjuntos y de tal manera que y sean todos congruentes . En particular, se deduce que en que no hay un número finito de medida aditivo definido en todos los subconjuntos de tal manera que la medida de conjuntos congruentes es igual (porque esto implicaría que la medida de es al mismo tiempo , y de la no-cero medida de toda la esfera ). ${\ Displaystyle {S ^ {2}}}$${\ Displaystyle {\ mathbb {R} ^ {3}}}$${\ Displaystyle {S ^ {2}}}$${\ displaystyle {A, B}}$${\ Displaystyle {C}}$${\ Displaystyle {A, B, C}}$${\ displaystyle {B \ cup C}}$${\ Displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle {B \ cup C}}$${\ Displaystyle 1/3}$${\ Displaystyle 1/2}$${\ Displaystyle 2/3}$

La paradoja se publicó en Mathematische Annalen en 1914 y también en el libro de Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre , el mismo año. La prueba de la paradoja de Banach-Tarski, mucho más famosa , utiliza las ideas de Hausdorff. La prueba de esta paradoja se basa en el axioma de elección .

Esta paradoja muestra que no existe una medida finitamente aditiva en una esfera definida en todos los subconjuntos que sea igual en piezas congruentes. (Hausdorff mostró por primera vez en el mismo artículo el resultado más fácil de que no hay una medida aditiva contable definida en todos los subconjuntos). La estructura del grupo de rotaciones en la esfera juega un papel crucial aquí: el enunciado no es verdadero en el plano o en el línea. De hecho, como fue demostrado más tarde por Banach , es posible definir un "área" para todos los subconjuntos acotados en el plano euclidiano (así como la "longitud" en la línea real) de tal manera que los conjuntos congruentes tengan igual " área". (Esta medida de Banach , sin embargo, es solo finitamente aditiva, por lo que no es una medida en el sentido completo, pero es igual a la medida de Lebesgue en conjuntos para los que existe esta última). Esto implica que si dos subconjuntos abiertos del plano (o la línea real) son equi-descomponibles, entonces tienen el mismo área.

Ver también

• Paradoja de Banach-Tarski
• La paradoja de Hausdorff en ProofWiki

Referencias

Otras lecturas

• Hausdorff, Felix (1914). "Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen" . Mathematische Annalen . 75 : 428–434. doi : 10.1007 / bf01563735 . (Artículo original; en alemán)
• Hausdorff, Felix (1914). Grundzüge der Mengenlehre (en alemán).