Desplazamiento al rojo gravitacional - Gravitational redshift

El desplazamiento al rojo gravitacional de una onda de luz cuando se mueve hacia arriba contra un campo gravitacional (producido por la estrella amarilla de abajo). El efecto se exagera mucho en este diagrama.

En física y relatividad general , el desplazamiento al rojo gravitacional (conocido como desplazamiento de Einstein en la literatura más antigua) es el fenómeno por el cual las ondas electromagnéticas o los fotones que salen de un pozo gravitacional (parecen) perder energía . Esta pérdida de energía corresponde a una disminución de la frecuencia de onda y un aumento de la longitud de onda , lo que se conoce como corrimiento al rojo . El efecto opuesto, por el cual los fotones (parecen) ganar energía cuando viajan hacia un pozo gravitacional, se conoce como desplazamiento hacia el azul gravitacional . El efecto fue descrito por primera vez por Einstein en 1907, ocho años antes de su publicación de la teoría de la relatividad completa .

El corrimiento al rojo gravitacional se puede interpretar como una consecuencia del principio de equivalencia (que la gravedad y la aceleración son equivalentes y el corrimiento al rojo es causado por el efecto Doppler ) o como una consecuencia de la equivalencia masa-energía (los fotones en 'caída' ganan energía), aunque hay Son numerosas las sutilezas que complican una derivación rigurosa. Un desplazamiento al rojo gravitacional también se puede interpretar de manera equivalente como una dilatación del tiempo gravitacional en la fuente de la radiación: si dos osciladores (que producen radiación electromagnética) están operando a diferentes potenciales gravitacionales , el oscilador en el potencial gravitacional más alto (más lejos del cuerpo atrayente) parecerá para hacer tictac más rápido; es decir, cuando se observa desde la misma ubicación, tendrá una frecuencia medida más alta que el oscilador en el potencial gravitacional más bajo (más cerca del cuerpo atrayente).

En una primera aproximación, el desplazamiento al rojo gravitacional es proporcional a la diferencia en el potencial gravitacional dividido por la velocidad de la luz al cuadrado , lo que resulta en un efecto muy pequeño. Einstein predijo en 1911 que la luz que escapaba de la superficie del sol se desplazaría al rojo en aproximadamente 2 ppm o 2 × 10 −6 . Las señales de navegación de los satélites GPS que orbitan a una altitud de 20.000 km se perciben desplazadas al azul en aproximadamente 0,5 ppb o 5 × 10 −10 , lo que corresponde a un aumento (insignificante) de menos de 1 Hz en la frecuencia de una señal de radio GPS de 1,5 GHz (sin embargo, el La dilatación del tiempo gravitacional que acompaña al reloj atómico del satélite es de vital importancia para una navegación precisa). En la superficie de la Tierra, el potencial gravitacional es proporcional a la altura, y el corrimiento al rojo correspondiente es de aproximadamente 10-16 (0,1 partes por cuatrillón ) por metro de cambio de elevación y / o altitud .

En astronomía , la magnitud de un corrimiento al rojo gravitacional a menudo se expresa como la velocidad que crearía un cambio equivalente a través del efecto Doppler relativista . En tales unidades, el corrimiento al rojo de la luz solar de 2 ppm corresponde a una velocidad de retroceso de 633 m / s, aproximadamente de la misma magnitud que los movimientos convectivos en el sol, lo que complica la medición. La velocidad de desplazamiento azul gravitacional del satélite GPS equivalente es inferior a 0,2 m / s, lo que es insignificante en comparación con el desplazamiento Doppler real resultante de su velocidad orbital. En objetos astronómicos con fuertes campos gravitacionales, el corrimiento al rojo puede ser mucho mayor; por ejemplo, la luz de la superficie de una enana blanca se desplaza gravitacionalmente al rojo en promedio alrededor de 50 km / s / c (alrededor de 170 ppm).

Observar el corrimiento al rojo gravitacional en el sistema solar es una de las pruebas clásicas de la relatividad general . Medir el corrimiento al rojo gravitacional con alta precisión con relojes atómicos puede servir como una prueba de la simetría de Lorentz y guiar las búsquedas de materia oscura .

Predicción por el principio de equivalencia y la relatividad general.

Campo gravitacional uniforme o aceleración

La teoría de la relatividad general de Einstein incorpora el principio de equivalencia , que puede enunciarse de diversas formas. Una de esas afirmaciones es que los efectos gravitacionales son localmente indetectables para un observador en caída libre. Por lo tanto, en un experimento de laboratorio en la superficie de la tierra, todos los efectos gravitacionales deberían ser equivalentes a los efectos que se habrían observado si el laboratorio hubiera estado acelerando a través del espacio exterior en g . Una consecuencia es un efecto Doppler gravitacional . Si se emite un pulso de luz en el piso del laboratorio, entonces un observador en caída libre dice que cuando llega al techo, el techo se ha alejado de él y, por lo tanto, cuando lo observa un detector fijado al techo, se observará que se ha desplazado Doppler hacia el extremo rojo del espectro. Este desplazamiento, que el observador en caída libre considera un desplazamiento Doppler cinemático, es considerado por el observador de laboratorio como un desplazamiento al rojo gravitacional. Este efecto se verificó en el experimento Pound-Rebka de 1959 . En un caso como este, donde el campo gravitacional es uniforme, el cambio en la longitud de onda viene dado por

donde esta el cambio de altura. Dado que esta predicción surge directamente del principio de equivalencia, no requiere ninguno de los aparatos matemáticos de la relatividad general, y su verificación no respalda específicamente la relatividad general sobre cualquier otra teoría que incorpore el principio de equivalencia.

En la superficie de la Tierra (o en una nave espacial que acelera a 1 g), el corrimiento al rojo gravitacional es aproximadamente 1.1 × 10 −16 , el equivalente a un corrimiento Doppler de 3.3 × 10 −8 m / s, por cada metro de diferencia de altura.

Campo gravitacional esféricamente simétrico

Cuando el campo no es uniforme, el caso más simple y útil a considerar es el de un campo esféricamente simétrico. Por el teorema de Birkhoff , campo de un tipo se describe en la relatividad general por la métrica de Schwarzschild , , donde es la hora del reloj de un observador a una distancia R del centro, es el tiempo medido por un observador en el infinito, es el radio Schwarzschild ". .. "representa términos que desaparecen si el observador está en reposo, es la constante gravitacional de Newton , la masa del cuerpo gravitante y la velocidad de la luz . El resultado es que las frecuencias y longitudes de onda se desplazan de acuerdo con la relación

dónde

  • es la longitud de onda de la luz medida por el observador en el infinito,
  • es la longitud de onda medida en la fuente de emisión, y
  • es el radio en el que se emite el fotón.

Esto puede estar relacionado con el parámetro de desplazamiento al rojo definido convencionalmente como .

En el caso de que ni el emisor ni el observador estén en el infinito, la transitividad de los desplazamientos Doppler nos permite generalizar el resultado a . La fórmula de desplazamiento al rojo para la frecuencia es . Cuando es pequeño, estos resultados son consistentes con la ecuación dada anteriormente basada en el principio de equivalencia.

La relación de desplazamiento al rojo también se puede expresar en términos de una velocidad de escape (newtoniana) en , lo que da como resultado el factor de Lorentz correspondiente :

.

Para un objeto lo suficientemente compacto como para tener un horizonte de eventos , el corrimiento al rojo no se define para los fotones emitidos dentro del radio de Schwarzschild, tanto porque las señales no pueden escapar desde el interior del horizonte como porque un objeto como el emisor no puede estar estacionario dentro del horizonte, como era asumido anteriormente. Por lo tanto, esta fórmula solo se aplica cuando es mayor que . Cuando el fotón se emite a una distancia igual al radio de Schwarzschild, el corrimiento al rojo será infinitamente grande y no escapará a ninguna distancia finita de la esfera de Schwarzschild. Cuando el fotón se emite a una distancia infinitamente grande, no hay corrimiento al rojo.

Límite newtoniano

En el límite newtoniano, es decir, cuando es suficientemente grande en comparación con el radio de Schwarzschild , el corrimiento al rojo se puede aproximar como

donde está la aceleración gravitacional en . Para la superficie de la Tierra con respecto al infinito, z es aproximadamente 7 × 10 −10 (el equivalente a un desplazamiento Doppler radial de 0,2 m / s); para la Luna es aproximadamente 3 × 10 −11 (aproximadamente 1 cm / s). El valor de la superficie del sol es de aproximadamente 2 × 10 −6 , lo que corresponde a 0,64 km / s. (Para velocidades no relativistas, la velocidad radial equivalente Doppler se puede aproximar multiplicando z por la velocidad de la luz).

El valor z se puede expresar de manera sucinta en términos de la velocidad de escape en , ya que el potencial gravitacional es igual a la mitad del cuadrado de la velocidad de escape , así:

donde está la velocidad de escape en .

También se puede relacionar con la velocidad de la órbita circular en , que es igual , por lo tanto

.

Por ejemplo, el desplazamiento hacia el azul gravitacional de la luz de las estrellas distantes debido a la gravedad del sol, que la Tierra está orbitando a unos 30 km / s, sería aproximadamente 1 × 10 −8 o el equivalente a un desplazamiento Doppler radial de 3 m / s. Sin embargo, la Tierra está en caída libre alrededor del sol y, por lo tanto, es un observador inercial, por lo que el efecto no es visible.

Para un objeto en una órbita (circular), el corrimiento al rojo gravitacional es de magnitud comparable al efecto Doppler transversal , donde β = v / c , mientras que ambos son mucho más pequeños que el efecto Doppler radial , para el cual .

Verificación experimental

Observaciones astronómicas

Varios experimentadores afirmaron inicialmente haber identificado el efecto utilizando medidas astronómicas, y se consideró que el efecto había sido finalmente identificado en las líneas espectrales de la estrella Sirio B por WS Adams en 1925. Sin embargo, las medidas de Adams han sido criticadas por ser demasiado bajo y estas observaciones ahora se consideran mediciones de espectros que son inutilizables debido a la luz dispersa del primario, Sirio A. La primera medición precisa del corrimiento al rojo gravitacional de una enana blanca fue realizada por Popper en 1954, midiendo 21 km / s desplazamiento al rojo gravitacional de 40 Eridani B. El desplazamiento al rojo de Sirio B fue finalmente medido por Greenstein et al. en 1971, obteniendo el valor del corrimiento al rojo gravitacional de 89 ± 19 km / s, con medidas más precisas por el Telescopio Espacial Hubble, mostrando 80,4 ± 4,8 km / s.

James W. Brault , un estudiante graduado de Robert Dicke en la Universidad de Princeton , midió el corrimiento al rojo gravitacional del sol utilizando métodos ópticos en 1962. En 2020, un equipo de científicos publicó la medición más precisa del corrimiento al rojo gravitacional solar hasta el momento, realizada por analizar las líneas espectrales de Fe en la luz solar reflejada por la luna; su medida de un desplazamiento de línea global medio de 638 ± 6 m / s está de acuerdo con el valor teórico de 633,1 m / s. La medición del corrimiento al rojo solar es complicada por el corrimiento Doppler causado por el movimiento de la superficie del sol, que es de magnitud similar al efecto gravitacional.

En 2011, el grupo de Radek Wojtak del Instituto Niels Bohr de la Universidad de Copenhague recopiló datos de 8000 cúmulos de galaxias y descubrió que la luz procedente de los centros de los cúmulos tendía a desplazarse hacia el rojo en comparación con los bordes del cúmulo, lo que confirma la pérdida de energía debida a la gravedad.

En 2018, la estrella S2 hizo su acercamiento más cercano a Sgr A * , el agujero negro supermasivo de 4 millones de masas solares en el centro de la Vía Láctea , alcanzando 7650 km / so aproximadamente el 2,5% de la velocidad de la luz mientras pasa el agujero negro a una distancia de solo 120 AU , o 1400 radios de Schwarzschild . Los análisis independientes de la colaboración GRAVITY (dirigida por Reinhard Genzel ) y el Grupo del Centro Galáctico KECK / UCLA (dirigido por Andrea Ghez ) revelaron un Doppler transversal combinado y un corrimiento al rojo gravitacional de hasta 200 km / s / c, de acuerdo con las predicciones de la relatividad general.

En 2021, Mediavilla ( IAC , España) y Jiménez-Vicente ( UGR , España) pudieron utilizar medidas del corrimiento al rojo gravitacional en cuásares hasta un corrimiento al rojo cosmológico de z ~ 3 para confirmar las predicciones del Principio de Equivalencia de Einstein y la falta de cosmología. evolución dentro del 13%.

Pruebas terrestres

Ahora se considera que el efecto ha sido definitivamente verificado por los experimentos de Pound , Rebka y Snider entre 1959 y 1965. El experimento de Pound-Rebka de 1959 midió el corrimiento al rojo gravitacional en líneas espectrales utilizando una fuente terrestre de 57 Fe gamma sobre una altura vertical de 22,5 metros. Este trabajo fue la primera determinación del corrimiento al rojo gravitacional que utilizó medidas del cambio en la longitud de onda de los fotones de rayos gamma generados con el efecto Mössbauer , que genera radiación con un ancho de línea muy estrecho. La precisión de las mediciones de rayos gamma fue típicamente del 1%.

Pound y Snider realizaron un experimento mejorado en 1965, con una precisión mejor que el nivel del 1%.

En 1976 se realizó un experimento de desplazamiento al rojo gravitacional muy preciso, en el que se lanzó un reloj máser de hidrógeno en un cohete a una altura de 10.000 km, y su velocidad se comparó con un reloj idéntico en el suelo. Probó el desplazamiento al rojo gravitacional al 0,007%.

Se pueden realizar pruebas posteriores con el Sistema de posicionamiento global (GPS), que debe tener en cuenta el desplazamiento al rojo gravitacional en su sistema de cronometraje, y los físicos han analizado los datos de cronometraje del GPS para confirmar otras pruebas. Cuando se lanzó el primer satélite, mostró el cambio previsto de 38 microsegundos por día. Esta tasa de discrepancia es suficiente para perjudicar sustancialmente la función del GPS en cuestión de horas si no se tiene en cuenta. En Ashby 2003 se puede encontrar una descripción excelente del papel desempeñado por la relatividad general en el diseño del GPS.

En 2020, un grupo de la Universidad de Tokio midió el corrimiento al rojo gravitacional de dos relojes de celosía óptica de estroncio-87 . La medición tuvo lugar en la Torre de Tokio, donde los relojes estaban separados por aproximadamente 450 my conectados por fibras de telecomunicaciones. El corrimiento al rojo gravitacional se puede expresar como

,

donde es el corrimiento al rojo gravitacional, es la frecuencia de transición del reloj óptico, es la diferencia en el potencial gravitacional y denota la violación de la relatividad general. Mediante espectroscopía Ramsey de la transición del reloj óptico de estroncio-87 (429 THz, 698 nm), el grupo determinó que el desplazamiento al rojo gravitacional entre los dos relojes ópticos era de 21,18 Hz, correspondiente a un valor z de aproximadamente 5 × 10-14 . Su valor medido de , es un acuerdo con mediciones recientes realizadas con máseres de hidrógeno en órbitas elípticas.

Desarrollo histórico temprano de la teoría

El debilitamiento gravitacional de la luz de las estrellas de alta gravedad fue predicho por John Michell en 1783 y Pierre-Simon Laplace en 1796, utilizando el concepto de Isaac Newton de los corpúsculos de luz (ver: teoría de la emisión ) y quien predijo que algunas estrellas tendrían gravedad. tan fuerte que la luz no podría escapar. El efecto de la gravedad sobre la luz fue luego explorado por Johann Georg von Soldner (1801), quien calculó la cantidad de desviación de un rayo de luz por el sol, llegando a la respuesta newtoniana que es la mitad del valor predicho por la relatividad general . Todo este trabajo inicial asumió que la luz podría ralentizarse y caer, lo que es incompatible con la comprensión moderna de las ondas de luz.

Una vez que se aceptó que la luz era una onda electromagnética, quedó claro que la frecuencia de la luz no debería cambiar de un lugar a otro, ya que las ondas de una fuente con una frecuencia fija mantienen la misma frecuencia en todas partes. Una forma de evitar esta conclusión sería si se modificara el tiempo mismo, si los relojes en diferentes puntos tuvieran diferentes velocidades.

Ésta fue precisamente la conclusión de Einstein en 1911. Consideró una caja de aceleración y señaló que, según la teoría especial de la relatividad , la frecuencia del reloj en la "parte inferior" de la caja (el lado alejado de la dirección de aceleración) era más lenta que la de la frecuencia de reloj en la "parte superior" (el lado hacia la dirección de aceleración). Hoy en día, esto se puede mostrar fácilmente en coordenadas aceleradas . El tensor métrico en unidades donde la velocidad de la luz es uno es:

y para un observador a un valor constante de r, la velocidad a la que un reloj hace tictac, R (r), es la raíz cuadrada del coeficiente de tiempo, R (r) = r. La aceleración en la posición r es igual a la curvatura de la hipérbola en r fijo, y al igual que la curvatura de los círculos anidados en coordenadas polares, es igual a 1 / r.

Entonces, a un valor fijo de g, la tasa fraccional de cambio de la frecuencia del reloj, el cambio porcentual en el tic-tac en la parte superior de una casilla de aceleración frente a la parte inferior, es:

La velocidad es más rápida con valores mayores de R, lejos de la dirección aparente de aceleración. La tasa es cero en r = 0, que es la ubicación del horizonte de aceleración .

Utilizando el principio de equivalencia, Einstein concluyó que lo mismo es válido en cualquier campo gravitacional, que la velocidad de los relojes R a diferentes alturas se alteró de acuerdo con el campo gravitacional g. Cuando g varía lentamente, da la tasa fraccional de cambio de la tasa de tic-tac. Si la tasa de tic-tac es en todas partes casi igual, la tasa de cambio fraccional es la misma que la tasa de cambio absoluta, de modo que:

Dado que la velocidad de los relojes y el potencial gravitacional tienen la misma derivada, son iguales hasta una constante. La constante se elige para hacer que la frecuencia del reloj en el infinito sea igual a 1. Dado que el potencial gravitacional es cero en el infinito:

donde la velocidad de la luz ha sido restaurada para hacer adimensional el potencial gravitacional.

El coeficiente de en el tensor métrico es el cuadrado de la frecuencia de reloj, que para valores pequeños del potencial se obtiene manteniendo solo el término lineal:

y el tensor métrico completo es:

donde nuevamente las C's han sido restauradas. Esta expresión es correcta en toda la teoría de la relatividad general, al orden más bajo en el campo gravitacional, e ignorando la variación de los componentes espacio-espacio y espacio-tiempo del tensor métrico, que solo afectan a los objetos que se mueven rápidamente.

Usando esta aproximación, Einstein reprodujo el valor newtoniano incorrecto para la desviación de la luz en 1909. Pero como un haz de luz es un objeto que se mueve rápidamente, los componentes espacio-espacio también contribuyen. Después de construir la teoría completa de la relatividad general en 1916, Einstein resolvió los componentes espacio-espacio en una aproximación post-newtoniana y calculó la cantidad correcta de desviación de la luz: el doble del valor newtoniano. La predicción de Einstein fue confirmada por muchos experimentos, comenzando con la expedición del eclipse solar de Arthur Eddington en 1919.

Las tasas cambiantes de los relojes permitieron a Einstein concluir que las ondas de luz cambian de frecuencia a medida que se mueven, y la relación frecuencia / energía de los fotones le permitió ver que esto se interpretó mejor como el efecto del campo gravitacional sobre la masa-energía del fotón. . Para calcular los cambios de frecuencia en un campo gravitacional casi estático, solo es importante el componente de tiempo del tensor métrico, y la aproximación de orden más bajo es lo suficientemente precisa para estrellas y planetas ordinarios, que son mucho más grandes que su radio de Schwarzschild .

Ver también

Citas

Referencias

Fuentes primarias

  • Laplace, Pierre-Simon (1796). El sistema del mundo . 2 (traducción inglesa de 1809 ed.). Londres: Richard Phillips. págs. 366–368.

Otras fuentes

  • Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (15 de septiembre de 1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman . ISBN 978-0-7167-0344-0.