Constante gravitacional gaussiana - Gaussian gravitational constant

Carl Friedrich Gauss presentó su constante al mundo en su Theoria Motus de 1809 .
El descubrimiento de Ceres por parte de Piazzi , descrito en su libro El descubrimiento de un nuevo planeta Ceres Ferdinandea , demostró la utilidad de la constante de gravitación gaussiana para predecir las posiciones de los objetos dentro del Sistema Solar.

La constante gravitacional de Gauss (símbolo k ) es un parámetro utilizado en la mecánica orbital del sistema solar . Relaciona el período orbital con el semieje mayor de la órbita y la masa del cuerpo en órbita en masas solares .

El valor de k expresa históricamente la velocidad angular media del sistema Tierra + Luna y el Sol considerado como un problema de dos cuerpos , con un valor de alrededor de 0,986 grados por día , o alrededor de 0,0172 radianes por día. Como consecuencia de la ley de la gravitación y la tercera ley de Kepler , k es directamente proporcional a la raíz cuadrada del parámetro gravitacional estándar del Sol , y su valor en radianes por día sigue al establecer el semieje mayor de la Tierra (la unidad astronómica , au ) a la unidad, k : (rad / d) = ( G M ) 0.5 · au −1.5 .

Un valor de k = 0.017 202 098 95 rad / día fue determinado por Carl Friedrich Gauss en su obra de 1809 Theoria Motus Corporum Coelestium en Sectionibus Conicis Solem Ambientum ("Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que se mueven alrededor del Sol en secciones cónicas"). El valor de Gauss fue introducido como un valor fijo definido por la IAU (adoptado en 1938, definido formalmente en 1964), que lo separó de su representación inmediata de la velocidad angular media (observable) del sistema Sol-Tierra. En cambio, la unidad astronómica ahora se convirtió en una cantidad mensurable ligeramente diferente de la unidad. Esto fue útil en la mecánica celeste del siglo XX para evitar la adaptación constante de los parámetros orbitales a los valores medidos actualizados, pero se produjo a expensas de la intuición, ya que la unidad astronómica, aparentemente una unidad de longitud, ahora dependía de la medición de la fuerza de la fuerza gravitacional .

La IAU abandonó el valor definido de k en 2012 a favor de un valor definido de la unidad astronómica de 1.495 978 707 × 10 11  m exactamente, mientras que la fuerza de la fuerza gravitacional ahora se expresará en el parámetro gravitacional estándar separado G M , medido en unidades SI de m 3 ⋅s −2 .

Discusión

La constante de Gauss se deriva de la aplicación de la tercera ley de Kepler al sistema Tierra + Luna y Sol considerado como un problema de dos cuerpos , relacionando el período de revolución ( P ) con el semieje mayor de la órbita ( a ) y la masa total de los cuerpos en órbita ( M ). Su valor numérico se obtuvo estableciendo el semieje mayor y la masa del Sol a la unidad y midiendo el período en días solares medios:

k = 2 π / ( P a M ) ≈ 0.0172021 [rad], donde:
P ≈ 365,256 [días], M = ( M + M + M ) ≈ 1,00000304 [ M ], y a = 1 por definición.

El valor representa el movimiento angular medio del sistema Tierra-Sol, en radianes por día , equivalente a un valor justo por debajo de un grado (la división del círculo en 360 grados en la astronomía babilónica probablemente tenía la intención de aproximarse al número de días en un año solar). La corrección debida a la división por la raíz cuadrada de M refleja el hecho de que el sistema Tierra-Luna no está orbitando al Sol en sí, sino al centro de masa del sistema.

El propio Isaac Newton determinó un valor de esta constante que coincidía con el valor de Gauss en seis dígitos significativos. Gauss (1809) dio el valor con nueve dígitos significativos, como 3548,18761 segundos de arco .

Dado que todos los parámetros involucrados, el período orbital , la relación de masa Tierra-Sol , el semieje mayor y la duración del día solar medio , están sujetos a una medición cada vez más refinada, el valor preciso de la constante debería revisarse. tiempo extraordinario. Pero dado que la constante está involucrada en la determinación de los parámetros orbitales de todos los demás cuerpos del sistema solar, se encontró que era más conveniente establecerlo en un valor fijo, por definición, lo que implica que el valor de a se desviaría de la unidad. El valor fijo de k = 0.01720209895 [rad] se tomó como el establecido por Gauss (convertido de grados a radianes ), de modo que a = 4 π 2 :( k 2 P 2 M ) ≈ 1.

El valor de la constante de Gauss en 1809 se utilizó así como un valor de referencia autorizado para la mecánica orbital del sistema solar durante dos siglos. Desde su introducción hasta 1938 se consideró una cantidad medida, y desde 1938 hasta 2012 se utilizó como una cantidad definida, con la incertidumbre de medida delegada al valor de la unidad astronómica . El valor definido de k fue abandonado por la IAU en 2012, y el uso de k fue desaprobado, para ser reemplazado por un valor fijo de la unidad astronómica y la cantidad (medida) del parámetro gravitacional estándar G M .

Papel como constante definitoria de la dinámica del Sistema Solar

El propio Gauss expresó la constante en segundos de arco , con nueve dígitos significativos, como k = 3548 ″ .187 61 . A finales del siglo 19, se adoptó este valor, y se convierte en radianes , por Simon Newcomb , como k = 0,017 202 098 95 . y la constante aparece de esta forma en sus Tablas del Sol , publicado en 1898.

El trabajo de Newcomb fue ampliamente aceptado como el mejor disponible en ese momento y sus valores de las constantes se incorporaron a una gran cantidad de investigación astronómica. Debido a esto, se hizo difícil separar las constantes de la investigación; nuevos valores de las constantes invalidarían, al menos parcialmente, una gran cantidad de trabajo. Por lo tanto, después de la formación de la Unión Astronómica Internacional en 1919, ciertas constantes llegaron a aceptarse gradualmente como "fundamentales": las constantes definitorias de las que se derivaban todas las demás. En 1938, la VI Asamblea General de la IAU declaró,

Adoptamos para la constante de Gauss, el valor

k = 0,01720 20989 50000

la unidad de tiempo es el día solar medio de 1900.0

Sin embargo, no se hicieron más esfuerzos para establecer un conjunto de constantes hasta 1950. En 1963 se celebró en París un simposio de la IAU sobre el sistema de constantes, en parte como respuesta a los recientes avances en la exploración espacial. Los asistentes finalmente decidieron en ese momento establecer un conjunto consistente de constantes. La Resolución 1 declaró que

El nuevo sistema estará definido por un conjunto no redundante de constantes fundamentales y por relaciones explícitas entre estas y las constantes derivadas de ellas.

Se recomienda la resolución 4

que el grupo de trabajo tratará las siguientes cantidades como constantes fundamentales (en el sentido de la Resolución No. 1).

Incluido en la lista de constantes fundamentales estaba

La constante de gravitación gaussiana, definida por la VI Asamblea General de la IAU en 1938, que tiene el valor 0.017202098950000.

Estas resoluciones fueron retomadas por un grupo de trabajo de la IAU, quien en su informe recomendó dos constantes definitorias, una de las cuales fue

Constante gravitacional gaussiana, que define au       k = 0.01720209895

Por primera vez, se reconoció oficialmente el papel de la constante de Gauss en la escala del Sistema Solar. Las recomendaciones del grupo de trabajo fueron aceptadas en la XII Asamblea General de la IAU en Hamburgo, Alemania, en 1964.

Definición de la unidad astronómica

Gauss pretendía definir su constante utilizando una distancia media de la Tierra al Sol de 1 unidad astronómica con precisión. Con la aceptación de las resoluciones de 1964, la IAU, en efecto, hizo lo contrario: definió la constante como fundamental y la unidad astronómica como derivada, siendo ya fijas las otras variables en la definición: masa (del Sol) y tiempo. (el día de 86 400 segundos). Esto transfirió la incertidumbre de la constante gravitacional a la incertidumbre en el semieje mayor del sistema Tierra-Sol, que ya no era exactamente un au (el au se define como dependiendo del valor de la constante gravitacional). La unidad astronómica se convirtió así en una cantidad medida en lugar de una definida y fija.

En 1976, la UAI reconfirmó el estatus de la constante gaussiana en la XVI Asamblea General en Grenoble, declarando que era una constante definitoria, y que

La unidad astronómica de longitud es la longitud ( A ) para la cual la constante gravitacional de Gauss ( k ) toma el valor 0.017 202 098 95 cuando las unidades de medida son las unidades astronómicas de longitud, masa y tiempo. Las dimensiones de k 2 son las de la constante de gravitación ( G ), es decir, L 3 M −1 T −2 . El término "unidad de distancia" también se utiliza para la longitud ( A ).

A partir de esta definición, la distancia media de la Tierra al Sol resulta en 1.000 000 03  au , pero con perturbaciones de los otros planetas, que no promedian a cero en el tiempo, la distancia promedio es 1.000 0002  au .

Abandono

En 2012, la IAU, como parte de un nuevo conjunto autoconsistente de unidades y estándares numéricos para su uso en la astronomía dinámica moderna, redefinió la unidad astronómica como

una unidad convencional de longitud igual a 149 597 870 700  m exactamente, ... ... teniendo en cuenta que la precisión de las mediciones modernas alcance hace que el uso de relaciones de distancia innecesaria

y por lo tanto abandonó la constante de Gauss como una definición indirecta de escala en el Sistema Solar, recomendando

que la constante gravitacional de Gauss k se elimine del sistema de constantes astronómicas.

El valor de k basado en el valor definido para la unidad astronómica ahora estaría sujeto a la incertidumbre de medición del parámetro gravitacional estándar ,

Unidades y dimensiones

k se da como una fracción sin unidades del orden del 1,7%, pero puede considerarse equivalente a la raíz cuadrada de la constante gravitacional , en cuyo caso tiene las unidades de au 32 ⋅d −1M - 1 / 2 , donde

au es la distancia para la cual k toma su valor según lo definido por Gauss: la distancia de la órbita circular no perturbada de un cuerpo hipotético sin masa cuyo período orbital es / k dias,
d es el día solar medio (86,400 segundos),
M es la masa del Sol .

Por tanto, las dimensiones de k son

longitud 3 / 2 tiempo -1 masa - 1 / 2 o L 3 / 2 T -1 M - 1 / 2 .

A pesar de esto, k se conoce con mucha mayor precisión que G (o la raíz cuadrada de G ). El valor absoluto de G se conoce con una precisión de aproximadamente 10 −4 , pero el producto G M (el parámetro gravitacional del Sol) se conoce con una precisión mejor que 10 −10 .

Derivación

Original de Gauss

Gauss comienza su Theoria Motus presentando sin pruebas varias leyes relativas al movimiento de los cuerpos alrededor del Sol. Más adelante en el texto, menciona que Pierre-Simon Laplace los trata en detalle en su Mécanique Céleste . Las dos últimas leyes de Gauss son las siguientes:

A continuación, define:

  • 2 p como parámetro (es decir, el latus recto ) de la órbita de un cuerpo,
  • μ como la masa del cuerpo, donde la masa del Sol = 1,
  • 1 / 2 g como el área barrida por una línea que une el Sol y el cuerpo,
  • t como el tiempo en el que se barre esta área,

y declara que

es "constante para todos los cuerpos celestes". Continúa, "no tiene importancia qué cuerpo usemos para determinar este número" y, por lo tanto, usa la Tierra, definiendo

  • unidad de distancia = distancia media de la Tierra (es decir, su eje semi-mayor ) del Sol,
  • unidad de tiempo = un día solar .

Afirma que el área barrida por la Tierra en su órbita "será evidentemente" π p , y usa esto para simplificar su constante a

Aquí, él nombra la constante k y reemplaza algunos valores medidos, t = 365,256 3835 días, μ = 1 / 354 710 masas solares, logra el resultado k = 0,017 202 098 95 .

En terminos modernos

Gauss es conocido por omitir detalles, y esta derivación no es una excepción. Aquí se repite en términos modernos, completando algunos de los detalles.

Definir sin prueba

dónde

Siguiente definir

dónde

Tenga en cuenta que cada variable en las ecuaciones anteriores es una constante para el movimiento de dos cuerpos. Combinando estas dos definiciones,

que es lo que describía Gauss con la última de sus leyes. Tomando la raíz cuadrada ,

y resolviendo para G ,

En este punto, definir k G . Deje dA ser todo el área barrida por el cuerpo a medida que orbita, por lo tanto, dA = π ab , el área de una elipse , donde una es el eje semi-mayor y b es el semieje menor . Sea dt = P , el tiempo que tarda el cuerpo en completar una órbita. Por lo tanto,

Aquí, Gauss decide usar la Tierra para resolver k . De la geometría de una elipse , p = b 2 / a . Al establecer el semieje mayor de la Tierra, a = 1 , p se reduce ab 2 y p = b . Sustituyendo, el área de la elipse "es evidentemente" π p , en lugar de π ab . Poniendo esto en el numerador de la ecuación para k y reduciendo,

Tenga en cuenta que Gauss, al normalizar el tamaño de la órbita, lo ha eliminado por completo de la ecuación. Normalizando aún más, establezca la masa del Sol en 1,

donde ahora m está en masas solares . Lo que queda son dos cantidades: P , el período de la órbita de la Tierra o el año sideral , una cantidad conocida con precisión por medición a lo largo de los siglos, ym , la masa del sistema Tierra-Luna. Nuevamente conectando los valores medidos como se conocían en la época de Gauss, P = 365,256 3835 días, m = 1 / 354 710 masas solares, dando el resultado k = 0,017 202 098 95 .

La constante de Gauss y la tercera ley de Kepler

La constante de Gauss está estrechamente relacionada con la tercera ley del movimiento planetario de Kepler , y una se deriva fácilmente de la otra. Comenzando con la definición completa de la constante de Gauss,

dónde

De la geometría de un elipse , el recto semi-latus, p puede ser expresada en términos de una y de b por lo tanto: p = b 2 / a . Por lo tanto,

Sustituyendo y reduciendo, la constante de Gauss se convierte en

De la mecánica orbital , / PAG es simplemente n , el movimiento medio del cuerpo en su órbita. Por eso,

que es la definición de la tercera ley de Kepler. De esta forma, a menudo se ve con G , la constante gravitacional newtoniana en lugar de k 2 .

Establecer a = 1 , M = 1 , m M y n en radianes por día da como resultado k n , también en unidades de radianes por día, sobre lo cual consulte la sección correspondiente del artículo de movimiento medio .

Otras definiciones

El valor de la constante de Gauss, exactamente como lo derivó, se había utilizado desde la época de Gauss porque se consideraba una constante fundamental, como se describió anteriormente. La masa solar , el día solar medio y el año sideral con los que Gauss definió su constante están cambiando lentamente de valor. Si se insertaran valores modernos en la ecuación definitoria, un valor de Se produciría 0,017 202 097 89 .

También es posible establecer la constante gravitacional, la masa del Sol y la unidad astronómica en 1. Esto define una unidad de tiempo con la cual el período de la órbita resultante es igual a . Suelen denominarse unidades canónicas .

Ver también

Notas

Referencias

Otras lecturas

enlaces externos