Proceso de Gauss-Markov - Gauss–Markov process

Procesos estocásticos de Gauss-Markov (el nombre de Carl Friedrich Gauss y Andrei Markov ) son procesos estocásticos que satisfacen los requisitos para ambos procesos Gaussianos y los procesos de Markov . Un proceso estacionario de Gauss-Markov es único hasta el cambio de escala; este proceso también se conoce como proceso de Ornstein-Uhlenbeck .

Propiedades básicas

Todo proceso de Gauss-Markov X ( t ) posee las tres propiedades siguientes:

1. Si h ( t ) es una función escalar distinta de cero de t , entonces Z ( t ) = h ( t ) X ( t ) también es un proceso de Gauss-Markov
2. Si f ( t ) es una función escalar no decreciente de t , entonces Z ( t ) = X ( f ( t )) también es un proceso de Gauss-Markov
3. Si el proceso es no degenerado y medio cuadrático continuo, entonces existe una función escalar distinta de cero h ( t ) y una función escalar estrictamente creciente f ( t ) tal que X ( t ) = h ( t ) W ( f ( t )), donde W ( t ) es el proceso estándar de Wiener .

La propiedad (3) significa que todo proceso de Gauss-Markov continuo de media cuadrática no degenerada se puede sintetizar a partir del proceso estándar de Wiener (SWP).

Otras propiedades

Un proceso estacionario de Gauss-Markov con varianza y constante de tiempo tiene las siguientes propiedades. ${\ Displaystyle {\ textbf {E}} (X ^ {2} (t)) = \ sigma ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ beta ^ {- 1}}$

• Autocorrelación exponencial :
  $${\ Displaystyle {\ textbf {R}} _ {x} (\ tau) = \ sigma ^ {2} e ^ {- \ beta | \ tau |}.}$$

  
• Una función de densidad espectral de potencia (PSD) que tiene la misma forma que la distribución de Cauchy :
  $${\ Displaystyle {\ textbf {S}} _ {x} (j \ omega) = {\ frac {2 \ sigma ^ {2} \ beta} {\ omega ^ {2} + \ beta ^ {2}}} .}$$

  
  (Tenga en cuenta que la distribución de Cauchy y este espectro difieren según los factores de escala).
• Lo anterior produce la siguiente factorización espectral:
  $${\ Displaystyle {\ textbf {S}} _ {x} (s) = {\ frac {2 \ sigma ^ {2} \ beta} {- s ^ {2} + \ beta ^ {2}}} = { \ frac {{\ sqrt {2 \ beta}} \, \ sigma} {(s + \ beta)}} \ cdot {\ frac {{\ sqrt {2 \ beta}} \, \ sigma} {(- s + \ beta)}}.}$$

  
  que es importante en el filtrado de Wiener y otras áreas.

También hay algunas excepciones triviales a todo lo anterior.

Referencias