Frustum - Frustum

Conjunto de troncos piramidales
Ejemplos: tronco pentagonal y cuadrado
Caras	n trapezoides , 2 n- gones
Bordes	3 n
Vértices	2 n
Grupo de simetría	C n v , [1, n ], (* nn )
Propiedades	convexo

En geometría , un tronco de cono (plural: frusta o troncos ) es la porción de un sólido (normalmente un cono o pirámide ) que se encuentra entre uno o dos planos paralelos cortarlo. Un tronco derecho es un truncamiento paralelo de una pirámide o cono recto.

En los gráficos por computadora , el tronco de visualización es la región tridimensional que es visible en la pantalla. Está formado por una pirámide recortada ; en particular, la eliminación de trombos es un método de determinación de superficies ocultas .

En la industria aeroespacial , un truncado es el carenado entre dos etapas de un cohete multietapa (como el Saturno V ), que tiene la forma de un cono truncado .

Si todos los bordes se ven obligados a ser idénticos , un tronco se convierte en un prisma uniforme .

Elementos, casos especiales y conceptos relacionados

Tronco cuadrado

Un octaedro regular se puede aumentar en 3 caras para crear un tronco triangular

El eje de un tronco es el del cono o pirámide original. Un tronco es circular si tiene bases circulares; es correcto si el eje es perpendicular a ambas bases y oblicuo en caso contrario.

La altura de un tronco es la distancia perpendicular entre los planos de las dos bases.

Los conos y las pirámides pueden verse como casos degenerados de frusta, donde uno de los planos de corte pasa por el vértice (de modo que la base correspondiente se reduce a un punto). La frusta piramidal es una subclase de los prismatoides .

Dos frusta unidas en sus bases forman un bifrustum .

Fórmula

Volumen

La fórmula del volumen del tronco de una pirámide cuadrada fue introducida por las matemáticas del antiguo Egipto en lo que se llama el Papiro Matemático de Moscú , escrito en la XIII dinastía ( c.  1850 aC ):

${\ Displaystyle V = {\ tfrac {1} {3}} h \ left (a ^ {2} + ab + b ^ {2} \ right).}$

donde un y b son la base y longitudes de los lados superiores de la pirámide truncada, y h es la altura. Los egipcios conocían la fórmula correcta para obtener el volumen de una pirámide cuadrada truncada, pero en el papiro de Moscú no se da ninguna prueba de esta ecuación.

El volumen de un tronco cónico o piramidal es el volumen del sólido antes de cortar el ápice, menos el volumen del ápice:

${\ Displaystyle V = {\ frac {h_ {1} B_ {1} -h_ {2} B_ {2}} {3}}}$

donde B ₁ es el área de una base, B ₂ es el área de la otra base y h ₁ , h ₂ son las alturas perpendiculares desde el vértice hasta los planos de las dos bases.

Teniendo en cuenta que

${\ Displaystyle {\ frac {B_ {1}} {h_ {1} ^ {2}}} = {\ frac {B_ {2}} {h_ {2} ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {B_ {1} B_ {2}}} {h_ {1} h_ {2}}} = \ alpha}$,

la fórmula para el volumen se puede expresar como un producto de esta proporcionalidad α / 3 y una diferencia de cubos de alturas h ₁ y h ₂ únicamente.

${\ Displaystyle V = {\ frac {h_ {1} \ alpha h_ {1} ^ {2} -h_ {2} \ alpha h_ {2} ^ {2}} {3}} = {\ frac {\ alpha } {3}} (h_ {1} ^ {3} -h_ {2} ^ {3})}$

Al factorizar la diferencia de dos cubos, a ³ - b ³ = (a - b) (a ² + ab + b ² ) , se obtiene h ₁ - h ₂ = h , la altura del tronco y α * ( h ₁ ² + h ₁ h ₂ + h ₂ ²/3) .

Distribuyendo α y sustituyendo de su definición, se obtiene la media heroniana de las áreas B ₁ y B ₂ . Por tanto, la fórmula alternativa es

${\ Displaystyle V = {\ frac {h} {3}} \ left (B_ {1} + {\ sqrt {B_ {1} B_ {2}}} + B_ {2} \ right)}$.

Garza de Alejandría se destaca por derivar esta fórmula y con ella encontrar la unidad imaginaria , la raíz cuadrada del negativo.

En particular, el volumen de un cono truncado circular es

${\ Displaystyle V = {\ frac {\ pi h} {3}} \ left (r_ {1} ^ {2} + r_ {1} r_ {2} + r_ {2} ^ {2} \ right)}$

donde r ₁ , r ₂ son los radios de las dos bases.

El volumen de un tronco piramidal cuyas bases son polígonos regulares de n lados es

${\ Displaystyle V = {\ frac {nh} {12}} \ left (a_ {1} ^ {2} + a_ {1} a_ {2} + a_ {2} ^ {2} \ right) \ cot { \ frac {\ pi} {n}}}$

donde un ₁ y un ₂ son los lados de las dos bases.

Área de superficie

Tronco cónico

Modelo 3D de un tronco cónico.

Para un tronco cónico circular recto

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ text {Área de la superficie lateral}} & = \ pi \ left (r_ {1} + r_ {2} \ right) s \\ & = \ pi \ left (r_ {1 } + r_ {2} \ right) {\ sqrt {\ left (r_ {1} -r_ {2} \ right) ^ {2} + h ^ {2}}} \ end {alineado}}}$

y

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ text {Área de superficie total}} & = \ pi \ left (\ left (r_ {1} + r_ {2} \ right) s + r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} \ right) \\ & = \ pi \ left (\ left (r_ {1} + r_ {2} \ right) {\ sqrt {\ left (r_ {1} -r_ { 2} \ derecha) ^ {2} + h ^ {2}}} + r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} \ derecha) \ end {alineado}}}$

donde r ₁ y r ₂ son los radios base y superior respectivamente, y s es la altura inclinada del tronco.

El área de superficie de un tronco derecho cuyas bases son polígonos regulares de n lados similares es

${\ Displaystyle A = {\ frac {n} {4}} \ left [\ left (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} \ right) \ cot {\ frac {\ pi} {n}} + {\ sqrt {\ left (a_ {1} ^ {2} -a_ {2} ^ {2} \ right) ^ {2} \ sec ^ {2} {\ frac {\ pi} { n}} + 4h ^ {2} \ izquierda (a_ {1} + a_ {2} \ derecha) ^ {2}}} \ derecha]}$

donde un ₁ y un ₂ son los lados de las dos bases.

Ejemplos de

Los chocolates de la marca Rolo se aproximan a un tronco cónico circular recto, aunque no plano en la parte superior.

• En el reverso (reverso) de un billete de un dólar estadounidense , aparece un tronco piramidal en el reverso del Gran Sello de los Estados Unidos , coronado por el Ojo de la Providencia .
• Los zigurats , las pirámides escalonadas y ciertos montículos antiguos nativos americanos también forman el tronco de una o más pirámides, con características adicionales como escaleras agregadas.
• Pirámides chinas .
• El John Hancock Center en Chicago , Illinois es un tronco cuyas bases son rectángulos.
• El Monumento a Washington es un tronco piramidal estrecho de base cuadrada coronado por una pequeña pirámide.
• El tronco de visualización en gráficos por computadora en 3D es un campo de visión utilizable de una cámara fotográfica o de video virtual modelado como un tronco piramidal.
• En la traducción al inglés de la colección de cuentos de Stanislaw Lem La ciberíada , el poema Amor y álgebra tensorial afirma que "todo frustum anhela ser un cono".
• Los cubos y las pantallas de lámparas típicas son ejemplos cotidianos de frustums cónicos.
• Los vasos para beber y algunas cápsulas espaciales también son algunos ejemplos.

Ver también

• Tronco esférico

Notas

Referencias

enlaces externos

• Derivación de fórmula para el volumen de troncos de pirámide y cono (Mathalino.com)
• Weisstein, Eric W. "Tronco piramidal" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Conical frustum" . MathWorld .
• Modelos en papel de troncos (pirámides truncadas)
• Modelo en papel de tronco de árbol (cono truncado)
• Diseño de modelos de papel de tronco cónico (conos truncados)