Rombo de Fresnel - Fresnel rhomb

Fig.1 :  Sección transversal de un rombo de Fresnel (azul) con gráficos que muestran la componente p de vibración ( paralela al plano de incidencia) en el eje vertical, frente a la componente s ( cuadrada al plano de incidencia y paralela a la superficie ) en el eje horizontal. Si la luz entrante está polarizada linealmente , los dos componentes están en fase (gráfico superior). Después de una reflexión en el ángulo apropiado, la componente p avanza 1/8 de un ciclo en relación con la componente s (gráfico central). Después de dos de tales reflexiones, la diferencia de fase es un cuarto de un ciclo (gráfico inferior), de modo que la polarización es elíptica con ejes en los s  y  p direcciones. Si los s  y  p componentes eran inicialmente de igual magnitud, la polarización inicial (gráfico superior) sería a 45 ° con respecto al plano de incidencia y la polarización final (gráfico inferior) sería circular .

Un rombo de Fresnel es un prisma óptico que introduce una diferencia de fase de 90 ° entre dos componentes perpendiculares de polarización, mediante dos reflejos internos totales . Si el haz incidente está polarizado linealmente a 45 ° con respecto al plano de incidencia y reflexión, el haz emergente está polarizado circularmente y viceversa. Si el haz incidente está polarizado linealmente en alguna otra inclinación, el haz emergente está polarizado elípticamente con un eje principal en el plano de reflexión y viceversa.

El rombo generalmente toma la forma de un paralelepípedo recto , es decir, un prisma basado en un paralelogramo recto . Si el rayo incidente es perpendicular a una de las caras rectangulares más pequeñas, el ángulo de incidencia y reflexión en ambas caras más largas es igual al ángulo agudo del paralelogramo. Este ángulo se elige de modo que cada reflexión introduzca una diferencia de fase de 45 ° entre las componentes polarizadas paralelas y perpendiculares al plano de reflexión. Para un índice de refracción dado, suficientemente alto , hay dos ángulos que cumplen este criterio; por ejemplo, un índice de 1,5 requiere un ángulo de 50,2 ° o 53,3 °.

Por el contrario, si el ángulo de incidencia y reflexión es fijo, la diferencia de fase introducida por el rombo depende solo de su índice de refracción, que normalmente varía solo ligeramente en el espectro visible. Así, el rombo funciona como si fuera una placa de cuarto de onda de banda ancha , en contraste con una placa de cuarto de onda birrefringente (doblemente refractiva) convencional , cuya diferencia de fase es más sensible a la frecuencia (color) de la luz. El material del que está hecho el rombo - generalmente de vidrio - es específicamente no birrefringente.

El rombo de Fresnel lleva el nombre de su inventor, el físico francés Augustin-Jean Fresnel , quien desarrolló el dispositivo en etapas entre 1817 y 1823. Durante ese tiempo lo implementó en experimentos cruciales que involucran polarización, birrefringencia y rotación óptica , todos los cuales contribuyeron a la eventual aceptación de su teoría de la luz de ondas transversales .

Operación

Las ondas electromagnéticas incidentes (como la luz) consisten en vibraciones transversales en los campos eléctricos y magnéticos; estos son proporcionales y forman ángulos rectos entre sí y, por lo tanto, pueden estar representados por (digamos) solo el campo eléctrico. Al golpear una interfaz, las oscilaciones del campo eléctrico se pueden resolver en dos componentes perpendiculares, conocidos como los s  y  p componentes, que son paralelas a la superficie y el plano de incidencia, respectivamente; en otras palabras, las s  y  p componentes son, respectivamente, cuadrado y paralelos al plano de incidencia.

La luz que pasa a través de un rombo de Fresnel sufre dos reflejos internos totales en el mismo ángulo de incidencia cuidadosamente elegido. Después de una de esas reflexiones, la componente p avanza 1/8 de un ciclo (45 °; π / 4 radianes ) en relación con la componente s . Con dos de estas reflexiones, se obtiene un desplazamiento de fase relativo de 1/4 de ciclo (90 °; π / 2). La palabra relativa es crítico: como la longitud de onda es muy pequeña en comparación con las dimensiones del aparato típico, los individuales avances de fase sufridos por las s  y  p componentes no son fácilmente observables, pero la diferencia entre ellos es fácilmente observable a través de su efecto sobre el estado de polarización de la luz emergente.

Si la luz entrante es linealmente polarizada (polarizada en un plano), las s  y  p componentes están inicialmente en la fase ; por lo tanto, después de dos reflexiones, "la p componente es 90 ° por delante en fase", de modo que la polarización de la luz emergente es elíptica con ejes principales en las s  y  p direcciones (Fig. 1). Del mismo modo, si la luz incidente está polarizada elípticamente con ejes en los s  y  p direcciones, la luz emergente está polarizada linealmente.

En el caso especial en el que los componentes s  y  p entrantes no solo están en fase sino que también tienen magnitudes iguales, la polarización lineal inicial está a 45 ° con respecto al plano de incidencia y reflexión, y la polarización elíptica final es circular . Si la luz polarizada circularmente se inspecciona a través de un analizador (segundo polarizador), parece haber sido completamente "despolarizada", porque su brillo observado es independiente de la orientación del analizador. Pero si esta luz es procesada por un segundo rombo, se repolariza a 45 ° con respecto al plano de reflexión en ese rombo, una propiedad que no comparte la luz ordinaria (no polarizada).

Dispositivos relacionados

Para una polarización de entrada general, el efecto neto del rombo es idéntico al de una placa de cuarto de onda birrefringente (doblemente refractiva) , excepto que una placa birrefringente simple da la separación deseada de 90 ° en una sola frecuencia, y no (incluso aproximadamente) a frecuencias muy diferentes, mientras que la separación de fases dada por el rombo depende de su índice de refracción , que varía solo ligeramente en un amplio rango de frecuencias (ver Dispersión ). Se pueden usar dos rombos de Fresnel en tándem (generalmente cementados para evitar reflejos en su interfaz) para lograr la función de una placa de media onda . La disposición en tándem, a diferencia de un solo rombo de Fresnel, tiene la característica adicional de que el haz emergente puede ser colineal con el haz incidente original.

Teoría

Para especificar el cambio de fase en la reflexión, debemos elegir una convención de signo para el coeficiente de reflexión , que es la relación entre la amplitud reflejada y la amplitud incidente. En el caso de los componentes s , para los cuales las vibraciones incidente y reflejada son tanto normales (perpendiculares) al plano de incidencia, la elección obvia es decir que un coeficiente de reflexión positivo , correspondiente al desplazamiento de fase cero , es aquel para el que el los campos incidente y reflejado tienen la misma dirección (sin inversión, sin "inversión"). En el caso de los componentes p , este artículo adopta la convención de que un coeficiente de reflexión positivo es aquel en el que los campos incidente y reflejado están inclinados hacia el mismo medio. Entonces podemos cubrir ambos casos diciendo que un coeficiente de reflexión positivo es aquel para el cual la dirección del vector de campo normal al plano de incidencia (el vector eléctrico para la polarización s , o el vector magnético para la polarización p ) no cambia por el reflejo. (Pero se debe advertir al lector que algunos autores usan una convención diferente para los componentes p , con el resultado de que el cambio de fase establecido difiere en 180 ° del valor dado aquí).

Con la convención de signos elegida, los avances de fase en la reflexión interna total, para las componentes s  y  p , están dadas respectivamente por 

 

 

 

 

( 1 )

y

 

 

 

 

( 2 )

donde θ i es el ángulo de incidencia, yn es el índice de refracción del medio interno (ópticamente más denso) en relación con el medio externo (ópticamente más raro). (Algunos autores, sin embargo, utilizan el índice de refracción recíproco, de modo que sus expresiones para los cambios de fase se ven diferentes de las anteriores).

Fig. 2 :  Avance de fase en reflexiones "internas" para índices de refracción de 1,55, 1,5 y 1,45 ("interno" relativo a "externo"). Más allá del ángulo crítico, el p  (rojo) y s  (azul) polarizaciones se someten a cambios de fase desiguales en total de reflexión interna; la diferencia macroscópicamente observable entre estos cambios se traza en negro.

El avance de fase del  componente p con respecto al  componente s viene dado por 

.

Esto se traza en negro en la Fig. 2, para ángulos de incidencia que exceden el ángulo crítico, para tres valores del índice de refracción. Puede verse que un índice de refracción de 1,45 no es suficiente para dar una diferencia de fase de 45 °, mientras que un índice de refracción de 1,5 es suficiente (por un margen estrecho) para dar una diferencia de fase de 45 ° en dos ángulos de incidencia: aproximadamente 50,2 ° y 53,3 °.

Para θ i mayor que el ángulo crítico, los cambios de fase en la reflexión total se deducen de los valores complejos de los coeficientes de reflexión. Para completar, la Fig. 2 también muestra los cambios de fase en la reflexión parcial , para θ i menor que el ángulo crítico. En este último caso, los coeficientes de reflexión para los s  y  p componentes son reales , y se expresan convenientemente por ley de los senos de Fresnel

 

 

 

 

( 3 )

y la ley de la tangente de Fresnel

 

 

 

 

( 4 )

donde θ i es el ángulo de incidencia y θ t es el ángulo de refracción (con el subíndice t para transmitido ), y el signo del último resultado es una función de la convención descrita anteriormente. (Ahora podemos ver una desventaja de esa convención, a saber, que los dos coeficientes tienen signos opuestos cuando nos acercamos a la incidencia normal; la ventaja correspondiente es que tienen los mismos signos en la incidencia de pastoreo).

Según la ley del seno de Fresnel, r s es positivo para todos los ángulos de incidencia con un rayo transmitido (desde θ t > θ i para una incidencia densa a rara), lo que da un cambio de fase δ s de cero. Pero, por su ley tangente, r p es negativo para ángulos pequeños (es decir, cerca de la incidencia normal), y cambia de signo al ángulo de Brewster , donde  θ i y θ t son complementarios. Por lo tanto, el cambio de fase δ p es 180 ° para θ i pequeño, pero cambia a 0 ° en el ángulo de Brewster. La combinación de la complementariedad con la ley de Snell produce θ i = arctan (1 / n ) como el ángulo de Brewster para la incidencia densa a rara.

Esto completa la información necesaria para trama δ s y δ p para todos los ángulos de incidencia en la Fig. 2, en la que δ p está en rojo y δ s en azul. En la escala de ángulo de incidencia (eje horizontal), el ángulo de Brewster es donde δ p (rojo) cae desde 180 ° a 0 °, y el ángulo crítico es donde tanto δ p y δ s (rojo y azul) comienzan a elevarse de nuevo. A la izquierda del ángulo crítico está la región de reflexión parcial ; aquí ambos coeficientes de reflexión son reales (fase 0 ° o 180 °) con magnitudes menores que 1. A la derecha del ángulo crítico está la región de reflexión total ; allí ambos coeficientes de reflexión son complejos con magnitudes iguales a 1.

En la Fig. 2, la diferencia de fase δ se calcula mediante una resta final; pero hay otras formas de expresarlo. El propio Fresnel, en 1823, dio una fórmula para  cos δ . Born y Wolf (1970, p. 50) derivan una expresión para tan ( δ / 2) y encuentran su máximo analíticamente.

(Para las derivaciones de las ecuaciones ( 1 ) a ( 4 ) anteriores, consulte  Reflexión interna total , especialmente § Derivación de onda evanescente y § Desplazamientos de fase ).

Historia

Fondo

Augustin-Jean Fresnel llegó al estudio de la reflexión interna total a través de su investigación sobre la polarización. En 1811, François Arago descubrió que la luz polarizada aparentemente se "despolarizaba" de una manera dependiente de la orientación y dependiente del color cuando pasaba a través de una rebanada de cristal birrefringente : la luz emergente mostraba colores cuando se veía a través de un analizador (segundo polarizador). La polarización cromática , como se llamó a este fenómeno, fue investigada más a fondo en 1812 por Jean-Baptiste Biot . En 1813, Biot estableció que un caso estudiado por Arago, el cuarzo cortado perpendicular a su eje óptico , era en realidad una rotación gradual del plano de polarización con la distancia. Continuó descubriendo que ciertos líquidos, incluida la trementina ( térébenthine ), compartían esta propiedad (ver Rotación óptica ).

En 1816, Fresnel ofreció su primer intento de una teoría de la polarización cromática basada en ondas . Sin (todavía) invocar explícitamente ondas transversales , esta teoría trataba a la luz como si constara de dos componentes polarizados perpendicularmente.

Etapa 1: prismas acoplados (1817)

En 1817, Fresnel notó que la luz polarizada en un plano parecía estar despolarizada en parte por la reflexión interna total, si inicialmente estaba polarizada en un ángulo agudo con el plano de incidencia. Al incluir la reflexión interna total en un experimento de polarización cromática, descubrió que la luz aparentemente despolarizada era una mezcla de componentes polarizados paralelos y perpendiculares al plano de incidencia, y que la reflexión total introducía una diferencia de fase entre ellos. La elección de un ángulo de incidencia apropiado (aún no especificado exactamente) dio una diferencia de fase de 1/8 de ciclo. Dos de tales reflexiones de las "caras paralelas" de "dos prismas acoplados " dieron una diferencia de fase de 1/4 de ciclo. En ese caso, si la luz estaba inicialmente polarizada a 45 ° con respecto al plano de incidencia y reflexión, parecía estar completamente despolarizada después de las dos reflexiones. Estos hallazgos se informaron en una memoria enviada y leída a la Academia de Ciencias de Francia en noviembre de 1817.

En un "suplemento" fechado en enero de 1818, Fresnel informó que la rotación óptica podría emularse pasando la luz polarizada a través de un par de "prismas acoplados", seguido de una lámina birrefringente ordinaria cortada paralela a su eje, con el eje a 45 ° a el plano de reflexión de los prismas, seguido de un segundo par de prismas a 90 ° del primero. Esta fue la primera evidencia experimental de una relación matemática entre la rotación óptica y la birrefringencia.

Etapa 2: Paralelepípedo (1818)

Las memorias de noviembre de 1817 llevan la nota marginal sin fecha: "Desde entonces he reemplazado estos dos prismas acoplados por un paralelepípedo de vidrio". Una  referencia fechada a la forma del paralelepípedo, la forma que ahora reconoceríamos como un rombo de Fresnel, se encuentra en una memoria que Fresnel leyó en la Academia el 30 de marzo de 1818, y que posteriormente se perdió hasta 1846. En esa memoria, Fresnel informó que si la luz polarizada estaba completamente "despolarizada" por un rombo, sus propiedades no se modificaban más por un paso posterior a través de un medio que rotaba ópticamente, ya sea que ese medio fuera un cristal o un líquido o incluso su propio emulador; por ejemplo, la luz conservó su capacidad de ser repolarizada por un segundo rombo.

Interludio (1818–22)

Augustin-Jean Fresnel (1788-1827).

Como ingeniero de puentes y carreteras, y como proponente de la teoría ondulatoria de la luz, Fresnel todavía era un extraño al establecimiento de la física cuando presentó su paralelepípedo en marzo de 1818. Pero era cada vez más difícil ignorarlo. En abril de 1818 reclamó prioridad para las integrales de Fresnel . En julio presentó las grandes memorias sobre difracción que inmortalizó su nombre en los libros de texto de física elemental. En 1819 se anunció el premio a las memorias sobre difracción, la publicación de las leyes Fresnel-Arago y la presentación de la propuesta de Fresnel de instalar "lentes escalonados" en los faros.

En 1821, Fresnel derivó fórmulas equivalentes a sus leyes de seno y tangente ( ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ), arriba ) modelando ondas de luz como ondas elásticas transversales con vibraciones perpendiculares a lo que antes se llamaba plano de polarización . Utilizando datos experimentales antiguos, confirmó rápidamente que las ecuaciones predijeron correctamente la dirección de polarización del haz reflejado cuando el haz incidente se polarizó a 45 ° con respecto al plano de incidencia, para la luz incidente del aire sobre el vidrio o el agua. La confirmación experimental se informó en una "posdata" del trabajo en el que Fresnel expuso su teoría madura de la polarización cromática, introduciendo ondas transversales. Los detalles de la derivación se dieron más tarde, en una memoria leída a la Academia en enero de 1823. La derivación combinó la conservación de la energía con la continuidad de la vibración tangencial en la interfaz, pero no permitió ninguna condición en el componente normal de la vibración. (La primera derivación de los principios electromagnéticos fue dada por Hendrik Lorentz en 1875.)

Mientras tanto, en abril de 1822, Fresnel dio cuenta de las direcciones y polarizaciones de los rayos refractados en cristales birrefringentes de la clase biaxial , una hazaña que ganó la admiración de Pierre-Simon Laplace .

Uso en experimentos (1822-183)

En una memoria sobre la birrefringencia inducida por estrés (ahora llamada fotoelasticidad ) leída en septiembre de 1822, Fresnel informó sobre un experimento que involucraba una fila de prismas de vidrio con sus ángulos de refracción en direcciones alternas y con dos medios prismas en los extremos, haciendo que todo el conjunto rectangular. Cuando los prismas que miraban de la misma manera se comprimían en un tornillo de banco, los objetos vistos a lo largo del conjunto parecían dobles. Al final de estas memorias, propuso una variación del experimento, que involucraba un rombo de Fresnel, con el propósito de verificar que la rotación óptica es una forma de birrefringencia: predijo que si los prismas de vidrio comprimido fueran reemplazados por prismas de cuarzo monocristalinos (sin estrés) con la misma dirección de rotación óptica y con sus ejes ópticos alineados a lo largo de la fila, un objeto visto mirando a lo largo del eje óptico común daría dos imágenes, que parecerían no polarizadas si se vieran únicamente a través de un analizador; pero si se ven a través de un rombo de Fresnel, estarían polarizados a ± 45 ° con respecto al plano de reflexión.

La confirmación de esta predicción se informó en una memoria leída en diciembre de 1822, en la que Fresnel acuñó los términos polarización lineal , polarización circular y polarización elíptica . En el experimento, el rombo de Fresnel reveló que las dos imágenes estaban polarizadas circularmente en direcciones opuestas, y la separación de las imágenes mostró que las diferentes polarizaciones (circulares) se propagaban a diferentes velocidades. Para obtener una separación visible, Fresnel necesitaba solo un prisma de 14 ° -152 ° -14 ° y dos medios prismas. Sin embargo, descubrió que la separación mejoraba si los semiprismas de vidrio se reemplazaban por semiprismas de cuarzo cuya dirección de rotación óptica era opuesta a la del prisma de 14 ° -152 ° -14 °.

Por lo tanto, aunque ahora pensamos en el rombo de Fresnel principalmente como un dispositivo para convertir entre polarización lineal y circular, no fue hasta las memorias de diciembre de 1822 que el propio Fresnel pudo describirlo en esos términos.

En las mismas memorias, Fresnel explicó la rotación óptica al señalar que la luz polarizada linealmente podría resolverse en dos componentes polarizados circularmente que rotan en direcciones opuestas. Si estos componentes se propagaran a velocidades ligeramente diferentes (como había demostrado para el cuarzo), entonces la diferencia de fase entre ellos y, por lo tanto, la orientación de su resultante polarizada linealmente, variaría continuamente con la distancia.

Etapa 3: Cálculo de ángulos (1823)

El concepto de polarización circular fue útil en las memorias de enero de 1823, que contienen las derivaciones detalladas de las leyes del seno y la tangente: en esa misma memoria, Fresnel encontró que para ángulos de incidencia mayores que el ángulo crítico, los coeficientes de reflexión resultantes eran complejos con unidad de magnitud. Al notar que la magnitud representaba la relación de amplitud como de costumbre, supuso que el argumento representaba el cambio de fase y verificó la hipótesis mediante un experimento. La verificación involucrada

  • calcular el ángulo de incidencia que introduciría una diferencia de fase total de 90 ° entre las s  y  p componentes, para diversos números de reflexiones internas totales en ese ángulo (generalmente había dos soluciones),
  • someter la luz a ese número de reflejos internos totales en ese ángulo de incidencia, con una polarización lineal inicial a 45 ° del plano de incidencia, y
  • comprobando que la polarización final sea circular .

Este procedimiento era necesario porque, con la tecnología de las veces, no se podía medir los s  y  p desplazamientos de fase directamente, y no se podía medir un grado arbitrario de ellipticality de polarización, tal como podría ser causada por la diferencia entre la fase de turnos. Pero se pudo verificar que la polarización era circular , porque el brillo de la luz era entonces insensible a la orientación del analizador.

Para vidrio con un índice de refracción de 1,51, Fresnel calculó que una diferencia de fase de 45 ° entre los dos coeficientes de reflexión (por lo tanto, una diferencia de 90 ° después de dos reflexiones) requería un ángulo de incidencia de 48 ° 37 'o 54 ° 37'. Cortó un rombo en el último ángulo y descubrió que funcionaba como se esperaba. Así se completó la especificación del rombo de Fresnel.

De manera similar, Fresnel calculó y verificó el ángulo de incidencia que daría una diferencia de fase de 90 ° después de tres reflejos en el mismo ángulo y cuatro reflejos en el mismo ángulo. En cada caso había dos soluciones, y en cada caso informó que el ángulo de incidencia mayor daba una polarización circular precisa (para una polarización lineal inicial a 45 ° del plano de reflexión). Para el caso de tres reflejos, también probó el ángulo más pequeño, pero descubrió que daba algo de coloración debido a la proximidad del ángulo crítico y su ligera dependencia de la longitud de onda. (Compare la Fig. 2 anterior, que muestra que la diferencia de fase δ es más sensible al índice de refracción para ángulos de incidencia más pequeños).

Para mayor confianza, Fresnel predijo y verificó que cuatro reflejos internos totales a 68 ° 27 'darían una polarización circular precisa si dos de los reflejos tuvieran agua como medio externo mientras que los otros dos tuvieran aire, pero no si las superficies reflectantes fueran todas. mojado o todo seco.

Significado

En resumen, la invención del rombo no fue un evento único en la carrera de Fresnel, sino un proceso que abarca gran parte de él. Podría decirse que el cálculo del cambio de fase en la reflexión interna total marcó no solo la finalización de su teoría del rombo, sino también la finalización esencial de su reconstrucción de la óptica física sobre la hipótesis de la onda transversal (véase Augustin-Jean Fresnel ).

El cálculo del cambio de fase también fue un hito en la aplicación de números complejos. Leonhard Euler fue pionero en el uso de exponentes complejos en soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias , en el entendimiento de que la parte real de la solución era la parte relevante. Pero el tratamiento de Fresnel de la reflexión interna total parece haber sido la primera ocasión en la que se atribuyó un significado físico al argumento de un número complejo. Según Salomon Bochner ,

Creemos que esta fue la primera vez que los números complejos o cualquier otro objeto matemático que son "nada más que símbolos" fueron colocados en el centro de un contexto interpretativo de la "realidad", y es un hecho extraordinario que esta interpretación, aunque el primero de su tipo, resistió tan bien a la verificación mediante el experimento y a la posterior "maxwellización" de toda la teoría. En términos muy laxos, se puede decir que esta fue la primera vez que la "naturaleza" se abstrajo de las matemáticas "puras", es decir, de una matemática que no se había abstraído previamente de la naturaleza misma.

Ver también

Notas

Referencias

Bibliografía

  • S. Bochner (junio de 1963), "La importancia de algunas concepciones matemáticas básicas para la física", Isis , vol. 54, no. 2, págs. 179-205; jstor.org/stable/228537 .
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  • ET Whittaker , 1910, Una historia de las teorías del éter y la electricidad: desde la era de Descartes hasta el fin del siglo XIX , Londres: Longmans, Green, & Co.

enlaces externos

  • Para ver algunas fotografías de rombos de Fresnel (antiguos), consulte TB Greenslade, Jr., "Fresnel's rhomb" , Instruments for Natural Philosophy , Kenyon College (Gambier, OH), consultado el 4 de marzo de 2018; archivado el 28 de agosto de 2017. ( Errata , confirmada por el autor: las palabras "en el ángulo de Brewster" deben eliminarse).