Integral de Fresnel - Fresnel integral

Gráficas de S ( x ) y C ( x ) . El máximo de C ( x ) es aproximadamente0,977 451 424 . Si los integrandos de S y C se definieran usando π/2t 2 en lugar de t 2 , la imagen se escalaría vertical y horizontalmente (ver más abajo).

Las integrales de Fresnel S ( x ) y C ( x ) son dos funciones trascendentales que llevan el nombre de Augustin-Jean Fresnel que se utilizan en óptica y están estrechamente relacionadas con la función de error ( erf ). Surgen en la descripción de los fenómenos de difracción de Fresnel de campo cercano y se definen a través de las siguientes representaciones integrales :

La gráfica paramétrica simultánea de S ( x ) y C ( x ) es la espiral de Euler (también conocida como espiral de Cornu o clotoide).

Definición

Integrales de Fresnel con argumentos π/2t 2 en lugar de t 2 convergen a1/2 en lugar de 1/2· π/2.

Las integrales de Fresnel admiten las siguientes expansiones de series de potencia que convergen para todo x :

Algunas tablas de uso generalizado utilizan π/2t 2 en lugar de t 2 para el argumento de las integrales que definen S ( x ) y C ( x ) . Esto cambia sus límites en el infinito de1/2· π/2 para 1/2y la longitud del arco para el primer giro en espiral de 2 π a 2 (en t = 2 ). Estas funciones alternativas se conocen generalmente como integrales de Fresnel normalizadas .

Espiral de Euler

Espiral de Euler ( x , y ) = ( C ( t ), S ( t )) . La espiral converge hacia el centro de los agujeros en la imagen cuando t tiende a infinito positivo o negativo.
Animación que representa la evolución de una espiral Cornu con el círculo tangencial con el mismo radio de curvatura que en su punta, también conocido como círculo osculante .

La espiral de Euler , también conocida como espiral de Cornu o clotoide , es la curva generada por una gráfica paramétrica de S ( t ) contra C ( t ) . La espiral Cornu fue creada por Marie Alfred Cornu como un nomograma para cálculos de difracción en ciencia e ingeniería.

De las definiciones de las integrales de Fresnel, los infinitesimales dx y dy son así:

Por lo tanto, la longitud de la espiral medida desde el origen se puede expresar como

Es decir, el parámetro t es la longitud de la curva medida desde el origen (0, 0) y la espiral de Euler tiene una longitud infinita . El vector (cos ( t 2 ), sin ( t 2 )) también expresa el vector unitario tangente a lo largo de la espiral, dando θ = t 2 . Dado que t es la longitud de la curva, la curvatura κ se puede expresar como

Por tanto, la tasa de cambio de curvatura con respecto a la longitud de la curva es

Una espiral de Euler tiene la propiedad de que su curvatura en cualquier punto es proporcional a la distancia a lo largo de la espiral, medida desde el origen. Esta propiedad la hace útil como curva de transición en la ingeniería de carreteras y ferrocarriles: si un vehículo sigue la espiral a una velocidad unitaria, el parámetro t en las derivadas anteriores también representa el tiempo. En consecuencia, un vehículo que sigue la espiral a velocidad constante tendrá una tasa constante de aceleración angular .

Las secciones de espirales de Euler se incorporan comúnmente en forma de bucles de montaña rusa para hacer lo que se conoce como bucles de clotoide .

Propiedades

  • C ( x ) y S ( x ) son funciones impares de x .
  • Las asintóticas de las integrales de Fresnel cuando x → ∞ vienen dadas por las fórmulas:
Integral de Fresnel compleja S ( z )
Integral de Fresnel compleja C ( z )
o

Límites cuando x se acerca al infinito

Las integrales que definen C ( x ) y S ( x ) no pueden evaluarse en forma cerrada en términos de funciones elementales , excepto en casos especiales. Se conocen los límites de estas funciones cuando x llega al infinito:

El contorno del sector utilizado para calcular los límites de las integrales de Fresnel.

Los límites de C ( x ) y S ( x ) cuando el argumento x tiende a infinito se pueden encontrar utilizando varios métodos. Uno de ellos usa una integral de contorno de la función

alrededor del límite de la región en forma de sector en el plano complejo formado por el eje x positivo , la bisectriz del primer cuadrante y = x con x ≥ 0 , y un arco circular de radio R centrado en el origen.

A medida que R va al infinito, la integral a lo largo del arco circular γ 2 tiende a 0

donde se utilizaron coordenadas polares z = Re y se utilizó la desigualdad de Jordan para la segunda desigualdad. La integral a lo largo del eje real γ 1 tiende a la mitad de la integral gaussiana

Tenga en cuenta también que debido a que el integrando es una función completa en el plano complejo, su integral a lo largo de todo el contorno es cero. En general, debemos tener

donde γ 3 denota la bisectriz del primer cuadrante, como en el diagrama. Para evaluar el lado izquierdo, parametrice la bisectriz como

donde t varía de 0 a + ∞ . Tenga en cuenta que el cuadrado de esta expresión es solo + it 2 . Por lo tanto, la sustitución da al lado izquierdo como

Utilizando la fórmula de Euler para tomar partes real e imaginaria de e - que 2 da esto como

donde hemos escrito 0 i para enfatizar que el valor de la integral gaussiana original es completamente real con una parte imaginaria cero. Dejando

y luego igualar las partes reales e imaginarias produce el siguiente sistema de dos ecuaciones en las dos incógnitas I C e I S :

Resolver esto para I C e I S da el resultado deseado.

Generalización

La integral

es una función hipergeométrica confluente y también una función gamma incompleta

que se reduce a integrales de Fresnel si se toman partes reales o imaginarias:

.

El término principal en la expansión asintótica es

y por lo tanto

Para m = 0 , la parte imaginaria de esta ecuación en particular es

con el lado izquierdo convergiendo para a > 1 y el lado derecho siendo su extensión analítica a todo el plano menos donde se encuentran los polos de Γ ( a −1 ) .

La transformación de Kummer de la función hipergeométrica confluente es

con

Aproximación numérica

Para cálculos con precisión arbitraria, la serie de potencias es adecuada para pequeños argumentos. Para grandes argumentos, las expansiones asintóticas convergen más rápido. También se pueden utilizar métodos de fracción continua.

Para el cálculo con precisión de objetivo particular, se han desarrollado otras aproximaciones. Cody desarrolló un conjunto de aproximaciones eficientes basadas en funciones racionales que dan errores relativos hasta2 × 10 −19 . Van Snyder publicó una implementación FORTRAN de la aproximación Cody que incluye los valores de los coeficientes necesarios para la implementación en otros idiomas. Boersma desarrolló una aproximación con un error menor que1,6 × 10 −9 .

Aplicaciones

Las integrales de Fresnel se utilizaron originalmente en el cálculo de la intensidad del campo electromagnético en un entorno donde la luz se curva alrededor de objetos opacos. Más recientemente, se han utilizado en el diseño de carreteras y ferrocarriles, específicamente sus zonas de transición de curvatura, ver curva de transición de vía . Otras aplicaciones son las montañas rusas o el cálculo de las transiciones en una pista de velódromo para permitir una entrada rápida a las curvas y una salida gradual.

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos