Ecuaciones de Fresnel - Fresnel equations

Transmisión y reflexión parciales de un pulso que viaja de un medio de índice de refracción bajo a alto.
Con una incidencia cercana al roce, las interfaces de los medios se parecen a un espejo, especialmente debido al reflejo de la polarización s , a pesar de ser reflectores deficientes en una incidencia normal. Las gafas de sol polarizadas bloquean la polarización s , lo que reduce en gran medida el deslumbramiento de las superficies horizontales.

Las ecuaciones de Fresnel (o coeficientes de Fresnel ) describen la reflexión y transmisión de la luz (o radiación electromagnética en general) cuando incide en una interfaz entre diferentes medios ópticos . Ellos se dedujeron por Augustin-Jean Fresnel ( / f r n ɛ l / ) que fue el primero que entender que la luz es una onda transversal , a pesar de que no se dio cuenta de que las "vibraciones" de la onda eran campos eléctricos y magnéticos . Por primera vez, la polarización podría entenderse cuantitativamente, como las ecuaciones de Fresnel predijo correctamente el diferente comportamiento de las ondas de la s y p incidente polarizaciones sobre una interfaz de material.

Visión general

Cuando la luz incide en la interfaz entre un medio con índice de refracción n 1 y un segundo medio con índice de refracción n 2 , pueden producirse tanto la reflexión como la refracción de la luz. Las ecuaciones de Fresnel dan la relación entre el campo eléctrico de la onda reflejada y el campo eléctrico de la onda incidente, y la relación entre el campo eléctrico de la onda transmitida y el campo eléctrico de la onda incidente, para cada uno de los dos componentes de polarización. (Los campos magnéticos también se pueden relacionar usando coeficientes similares.) Estas relaciones son generalmente complejas, y describen no solo las amplitudes relativas sino también los cambios de fase en la interfaz.

Las ecuaciones asumen que la interfaz entre los medios es plana y que los medios son homogéneos e isotrópicos . Se asume que la luz incidente es una onda plana , lo que es suficiente para resolver cualquier problema ya que cualquier campo de luz incidente puede descomponerse en ondas planas y polarizaciones.

Polarizaciones S y P

El plano de incidencia está definido por el vector de propagación de la radiación entrante y el vector normal de la superficie.

Hay dos conjuntos de coeficientes de Fresnel para dos componentes de polarización lineal diferentes de la onda incidente. Dado que cualquier estado de polarización puede resolverse en una combinación de dos polarizaciones lineales ortogonales, esto es suficiente para cualquier problema. Asimismo, la luz no polarizada (o "polarizada aleatoriamente") tiene una cantidad igual de potencia en cada una de las dos polarizaciones lineales.

La polarización s se refiere a la polarización del campo eléctrico de una onda normal al plano de incidencia (la dirección z en la siguiente derivación); entonces el campo magnético está en el plano de incidencia. La polarización p se refiere a la polarización del campo eléctrico en el plano de incidencia (el plano xy en la siguiente derivación); entonces el campo magnético es normal al plano de incidencia.

Aunque la reflectividad y la transmisión dependen de la polarización, a incidencia normal ( θ  = 0) no hay distinción entre ellos, por lo que todos los estados de polarización se rigen por un solo conjunto de coeficientes de Fresnel (y a continuación se menciona otro caso especial en el que eso es cierto ).

Coeficientes de transmisión y reflexión de potencia (intensidad)

Variables utilizadas en las ecuaciones de Fresnel
Coeficientes de potencia: aire a vidrio
Coeficientes de potencia: vidrio a aire

En el diagrama de la derecha, un incidente de onda plana en la dirección del rayo IO golpea la interfaz entre dos medios de índices de refracción n 1 y n 2 en el punto O . Parte de la onda se refleja en la dirección OR y parte se refracta en la dirección OT . Los ángulos que forman los rayos incidentes, reflejados y refractados con respecto a la normal de la interfaz se dan como θ i , θ r y θ t , respectivamente.

La relación entre estos ángulos viene dada por la ley de reflexión :

y la ley de Snell :

El comportamiento de la luz que incide en la interfaz se resuelve considerando los campos eléctricos y magnéticos que constituyen una onda electromagnética y las leyes del electromagnetismo , como se muestra a continuación . Se obtiene la relación de amplitudes del campo eléctrico (o campo magnético) de las ondas, pero en la práctica uno está más interesado en fórmulas que determinan coeficientes de potencia , ya que la potencia (o irradiancia ) es lo que se puede medir directamente a frecuencias ópticas. La potencia de una onda es generalmente proporcional al cuadrado de la amplitud del campo eléctrico (o magnético).

A la fracción de la potencia incidente que se refleja en la interfaz la llamamos reflectancia (o "reflectividad" o "coeficiente de reflexión de potencia") R , y la fracción que se refracta en el segundo medio se llama transmitancia (o "transmisividad" , o "coeficiente de transmisión de potencia") T . Tenga en cuenta que estos son los que se medirían a cada lado de una interfaz y no tienen en cuenta la atenuación de una onda en un medio absorbente después de la transmisión o reflexión.

La reflectancia de la luz polarizada en S es

mientras que la reflectancia de la luz p-polarizada es

donde Z 1 y Z 2 son las impedancias de onda de los medios 1 y 2, respectivamente.

Suponemos que los medios no son magnéticos (es decir, μ 1 = μ 2 = μ 0 ), lo que suele ser una buena aproximación en frecuencias ópticas (y para medios transparentes en otras frecuencias). Entonces, las impedancias de onda están determinadas únicamente por los índices de refracción n 1 y n 2 :

donde Z 0 es la impedancia del espacio libre e i  = 1, 2. Haciendo esta sustitución, obtenemos ecuaciones usando los índices de refracción:

La segunda forma de cada ecuación se deriva de la primera eliminando θ t utilizando la ley de Snell y las identidades trigonométricas .

Como consecuencia de la conservación de la energía , se puede encontrar la potencia transmitida (o más correctamente, irradiancia : potencia por unidad de área) simplemente como la parte de la potencia incidente que no se refleja: 

y

Tenga en cuenta que todas estas intensidades se miden en términos de la irradiancia de una onda en la dirección normal a la interfaz; esto es también lo que se mide en experimentos típicos. Ese número podría obtenerse de las irradiancias en la dirección de una onda incidente o reflejada (dada por la magnitud del vector de Poynting de una onda ) multiplicada por cos  θ para una onda en un ángulo θ a la dirección normal (o equivalentemente, tomando el producto escalar del vector de Poynting con el vector unitario normal a la interfaz). Esta complicación se puede ignorar en el caso del coeficiente de reflexión, ya que cos  θ i  = cos  θ r , de modo que la relación entre la irradiancia reflejada e incidente en la dirección de la onda es la misma que en la dirección normal a la interfaz.

Aunque estas relaciones describen la física básica, en muchas aplicaciones prácticas uno se preocupa por la "luz natural" que puede describirse como no polarizada. Eso significa que hay una cantidad igual de potencia en los s y p polarizaciones, de modo que la efectiva reflectividad del material es sólo el promedio de los dos reflectividades:

Para aplicaciones de baja precisión que involucran luz no polarizada, como gráficos por computadora , en lugar de calcular rigurosamente el coeficiente de reflexión efectivo para cada ángulo, a menudo se usa la aproximación de Schlick .

Casos especiales

Incidencia normal

Para el caso de incidencia normal , y no hay distinción entre s y p polarización. Por tanto, la reflectancia se simplifica a

.

Para vidrio común ( n 2 ≈ 1,5) rodeado de aire ( n 1  = 1), se puede ver que la reflectancia de potencia a incidencia normal es aproximadamente del 4%, o el 8% representa ambos lados de un panel de vidrio.

Ángulo de Brewster

En una interfaz dieléctrica de n 1 a n 2 , hay un ángulo particular de incidencia en el que R p tiende a cero y una onda incidente polarizada p es puramente refracta, de este modo se refleja toda la luz se s-polarizada. Este ángulo se conoce como ángulo de Brewster y es de alrededor de 56 ° para n 1  = 1 yn 2  = 1,5 (vidrio típico).

Reflexión interna total

Cuando la luz que viaja en un medio más denso incide en la superficie de un medio menos denso (es decir, n 1 > n 2 ), más allá de un ángulo de incidencia particular conocido como ángulo crítico , toda la luz se refleja y R s = R p = 1 . Este fenómeno, conocido como reflexión interna total , ocurre en ángulos de incidencia para los cuales la ley de Snell predice que el seno del ángulo de refracción excedería la unidad (mientras que en realidad sin  θ  ≤ 1 para todo θ real ). Para vidrio con n  = 1,5 rodeado de aire, el ángulo crítico es de aproximadamente 41 °.

Coeficientes de transmisión y reflexión de amplitud compleja

Las ecuaciones anteriores que relacionan las potencias (que podrían medirse con un fotómetro, por ejemplo) se derivan de las ecuaciones de Fresnel que resuelven el problema físico en términos de amplitudes del complejo del campo electromagnético , es decir, considerando la fase además de la potencia (que es importante en la propagación por trayectos múltiples). por ejemplo). Esas ecuaciones subyacentes proporcionan proporciones generalmente de valor complejo de esos campos EM y pueden tomar varias formas diferentes, dependiendo de los formalismos utilizados. Los coeficientes de amplitud complejos suelen estar representados por r y t minúsculas (mientras que los coeficientes de potencia están en mayúscula).

Coeficientes de amplitud: aire a vidrio
Coeficientes de amplitud: vidrio a aire

A continuación, el coeficiente de reflexión r es la relación entre la amplitud del complejo del campo eléctrico de la onda reflejada y la de la onda incidente. El coeficiente de transmisión t es la relación entre la amplitud del complejo del campo eléctrico de la onda transmitida y la de la onda incidente. Requerimos fórmulas separadas para los s y p polarizaciones. En cada caso asumimos una onda plana incidente en un ángulo de incidencia en una interfaz plana, reflejada en un ángulo , y con una onda transmitida en un ángulo , correspondiente a la figura anterior. Tenga en cuenta que en los casos de una interfaz en un material absorbente (donde n es complejo) o una reflexión interna total, es posible que el ángulo de transmisión no se evalúe como un número real.

Consideramos el signo del campo eléctrico de una onda en relación con la dirección de una onda. En consecuencia, para p polarización con incidencia normal, la dirección positiva del campo eléctrico para una onda incidente (a la izquierda) es opuesta a la de una onda reflejada (también a su izquierda); para la polarización s ambos son iguales (hacia arriba).

Usando estas convenciones,

Se puede ver que t s = r s + 1 y n 2/n 1t p = r p +1 . Se pueden escribir ecuaciones similares que se apliquen a la relación de los campos magnéticos de las ondas, pero por lo general no son necesarias.

Debido a que las ondas reflejadas e incidentes se propagan en el mismo medio y forman el mismo ángulo con la normal a la superficie, el coeficiente de reflexión de potencia R es solo la magnitud al cuadrado de r : 

Por otro lado, el cálculo del coeficiente de transmisión de potencia T es menos sencillo, ya que la luz viaja en diferentes direcciones en los dos medios. Además, las impedancias de onda en los dos medios difieren; la potencia es solo proporcional al cuadrado de la amplitud cuando las impedancias de los medios son las mismas (como lo son para la onda reflejada). Esto resulta en:

El factor de n 2 / n 1 es el recíproco de la relación de las impedancias de onda de los medios (ya que asumimos μ  =  μ 0 ). El factor de cos ( θ t ) / cos ( θ i ) proviene de la expresión de potencia en la dirección normal a la interfaz, tanto para la onda incidente como para la transmitida.

En el caso de la reflexión interna total donde la transmisión de potencia T es cero, t describe , no obstante, el campo eléctrico (incluida su fase) justo más allá de la interfaz. Este es un campo evanescente que no se propaga como una onda (por lo tanto, T  = 0) pero tiene valores distintos de cero muy cerca de la interfaz. El desplazamiento de fase de la onda reflejada en la reflexión interna total se puede obtener de manera similar a partir de los ángulos de fase de r p y r s (cuyas magnitudes son la unidad). Estos desplazamientos de fase son diferentes para s y p olas, que es el principio bien conocido por el cual la reflexión interna total se utiliza para efecto transformaciones de polarización .

Formas alternativas

En la fórmula anterior para r s , si ponemos (ley de Snell) y multiplicamos el numerador y denominador por1/n 1sin θ t , obtenemos 

Si hacemos lo mismo con la fórmula para r p , se muestra fácilmente que el resultado es equivalente a 

Estas fórmulas se conocen respectivamente como ley del seno de Fresnel y ley de la tangente de Fresnel . Aunque con una incidencia normal estas expresiones se reducen a 0/0, se puede ver que dan los resultados correctos en el límite cuando θ i → 0 .

Varias superficies

Cuando la luz hace múltiples reflejos entre dos o más superficies paralelas, los múltiples haces de luz generalmente interfieren entre sí, lo que resulta en amplitudes netas de transmisión y reflexión que dependen de la longitud de onda de la luz. Sin embargo, la interferencia se ve sólo cuando las superficies están a distancias comparables o menores que la longitud de coherencia de la luz , que para la luz blanca ordinaria es de unos pocos micrómetros; puede ser mucho más grande para la luz de un láser .

Un ejemplo de interferencia entre reflejos son los colores iridiscentes que se ven en una pompa de jabón o en finas películas de aceite sobre el agua. Las aplicaciones incluyen interferómetros Fabry-Pérot , revestimientos antirreflejos y filtros ópticos . Un análisis cuantitativo de estos efectos se basa en las ecuaciones de Fresnel, pero con cálculos adicionales para tener en cuenta la interferencia.

El método de matriz de transferencia o el método recursivo de Rouard se pueden utilizar para resolver problemas de superficies múltiples.

Historia

En 1808, Étienne-Louis Malus descubrió que cuando un rayo de luz se reflejaba en una superficie no metálica en el ángulo apropiado, se comportaba como uno de los dos rayos que emergen de un cristal de calcita doblemente refractivo . Más tarde acuñó el término polarización para describir este comportamiento. En 1815, David Brewster determinó experimentalmente la dependencia del ángulo de polarización del índice de refracción . Pero la razón de esa dependencia era un misterio tan profundo que, a fines de 1817, Thomas Young se sintió impulsado a escribir:

[L] a gran dificultad de todas, que es asignar una razón suficiente para la reflexión o no reflexión de un rayo polarizado, probablemente permanecerá mucho tiempo para mortificar la vanidad de una filosofía ambiciosa, completamente irresuelta por cualquier teoría.

En 1821, sin embargo, Augustin-Jean Fresnel obtuvo resultados equivalentes a sus leyes de seno y tangente (arriba), modelando ondas de luz como ondas elásticas transversales con vibraciones perpendiculares a lo que antes se llamaba plano de polarización . Fresnel confirmó rápidamente mediante un experimento que las ecuaciones predijeron correctamente la dirección de polarización del haz reflejado cuando el haz incidente se polarizó a 45 ° con respecto al plano de incidencia, para la luz incidente del aire sobre el vidrio o el agua; en particular, las ecuaciones dieron la polarización correcta en el ángulo de Brewster. La confirmación experimental se informó en una "posdata" del trabajo en el que Fresnel reveló por primera vez su teoría de que las ondas de luz, incluidas las ondas "no polarizadas", eran puramente transversales.

Los detalles de la derivación de Fresnel, incluidas las formas modernas de la ley del seno y la ley de la tangente, se dieron más tarde, en una memoria leída a la Academia de Ciencias de Francia en enero de 1823. Esa derivación combinó la conservación de la energía con la continuidad de la vibración tangencial en la interfaz. , pero no permitió ninguna condición en el componente normal de vibración. La primera derivación de los principios electromagnéticos fue dada por Hendrik Lorentz en 1875.

En las mismas memorias de enero de 1823, Fresnel encontró que para ángulos de incidencia mayores que el ángulo crítico, sus fórmulas para los coeficientes de reflexión ( r s y r p ) daban valores complejos con magnitudes unitarias. Observando que la magnitud, como de costumbre, representaba la proporción de amplitudes máximas, supuso que el argumento representaba el cambio de fase y verificó la hipótesis experimentalmente. La verificación involucrada

  • calcular el ángulo de incidencia que introduciría una diferencia de fase total de 90 ° entre las componentes syp, para varios números de reflexiones internas totales en ese ángulo (generalmente había dos soluciones),
  • someter la luz a ese número de reflejos internos totales en ese ángulo de incidencia, con una polarización lineal inicial a 45 ° del plano de incidencia, y
  • comprobando que la polarización final sea circular .

Por lo tanto, finalmente tuvo una teoría cuantitativa para lo que ahora llamamos el rombo de Fresnel , un dispositivo que había estado usando en experimentos, de una forma u otra, desde 1817 (ver rombo de Fresnel § Historia ).

El éxito del coeficiente de reflexión complejo inspiró a James MacCullagh y Augustin-Louis Cauchy , a partir de 1836, a analizar la reflexión de los metales utilizando las ecuaciones de Fresnel con un índice de refracción complejo .

Cuatro semanas antes de presentar su teoría completa de la reflexión interna total y el rombo, Fresnel presentó una memoria en la que introdujo los términos necesarios polarización lineal , polarización circular y polarización elíptica , y en la que explicó la rotación óptica como una especie de birrefringencia : La luz polarizada linealmente se puede descomponer en dos componentes polarizados circularmente que giran en direcciones opuestas, y si estos se propagan a diferentes velocidades, la diferencia de fase entre ellos, de ahí la orientación de su resultante polarizada linealmente, variará continuamente con la distancia.

Así, la interpretación de Fresnel de los valores complejos de sus coeficientes de reflexión marcó la confluencia de varias corrientes de su investigación y, posiblemente, la finalización esencial de su reconstrucción de la óptica física sobre la hipótesis de la onda transversal (ver Augustin-Jean Fresnel ).

Teoría

Aquí derivamos sistemáticamente las relaciones anteriores de premisas electromagnéticas.

Parámetros de material

Para calcular coeficientes de Fresnel significativos, debemos asumir que el medio es (aproximadamente) lineal y homogéneo . Si el medio también es isótropo , los cuatro vectores de campo E ,  B ,  D ,  H están relacionados por

D = ϵ E
B = μ H  ,

donde ϵ y μ son escalares, conocidos respectivamente como la permitividad (eléctrica) y la permeabilidad (magnética) del medio. Para un vacío, estos tienen los valores ϵ 0 y μ 0 , respectivamente. Por lo tanto, definimos la permitividad relativa (o constante dieléctrica ) ϵ rel  =  ϵ / ϵ 0  , y la permeabilidad relativa μ rel  =  μ / μ 0 .

En óptica, es común suponer que el medio no es magnético, de modo que μ rel  = 1. Para materiales ferromagnéticos en frecuencias de radio / microondas, deben tenerse en cuenta valores mayores de μ rel . Pero, para medios ópticamente transparentes, y para todos los demás materiales en frecuencias ópticas (excepto posibles metamateriales ), μ rel es de hecho muy cercano a 1; es decir, μ  ≈  μ 0 .

En óptica, normalmente se conoce el índice de refracción n del medio, que es la relación entre la velocidad de la luz en el vacío ( c ) y la velocidad de la luz en el medio. En el análisis de reflexión parcial y la transmisión, uno también está interesado en el electromagnética impedancia de onda Z , que es la relación de la amplitud de E a la amplitud de H . Por tanto, es deseable expresar n y Z en términos de ε y μ , y desde allí a relacionar Z a n . Esta última relación, sin embargo, hará que sea más conveniente para derivar los coeficientes de reflexión en términos de la ola admisión Y , lo que es el inverso de la impedancia de onda Z .

En el caso de ondas sinusoidales planas uniformes , la impedancia o admitancia de la onda se conoce como impedancia o admitancia intrínseca del medio. Este caso es para el que se derivan los coeficientes de Fresnel.

Ondas planas electromagnéticas

En una onda electromagnética sinusoidal plana uniforme , el campo eléctrico E tiene la forma

 

 

 

 

( 1 )

donde E k es el vector de amplitud compleja (constante),  i es la unidad imaginariak es el vector de onda (cuya magnitud k es el número de onda angular ),  r es el vector de posiciónω es la frecuencia angulart es el tiempo y se entiende que la parte real de la expresión es el campo físico. El valor de la expresión no cambia si la posición r varía en una dirección normal a k ; por tanto, k es normal a los frentes de onda .

Para avanzar la fase por el ángulo ϕ , reemplazamos ωt por ωt + ϕ (es decir, reemplazamos −ωt por −ωt − ϕ ), con el resultado de que el campo (complejo) se multiplica por e −iϕ . Entonces, un avance de fase es equivalente a la multiplicación por una constante compleja con un argumento negativo . Esto se vuelve más obvio cuando el campo ( 1 ) se factoriza como E k e i k⋅r e −iωt , donde el último factor contiene la dependencia del tiempo. Ese factor también implica que la diferenciación wrt tiempo corresponde a la multiplicación por −iω . 

Si es el componente de r en la dirección de k , el campo ( 1 ) se puede escribir E k e i ( kℓ − ωt ) . Si el argumento de e i (⋯) debe ser constante,   debe aumentar a la velocidad conocida como velocidad de fase ( v p ) . Esto a su vez es igual a . Resolviendo para k da

.

 

 

 

 

( 2 )

Como de costumbre, descartamos el factor dependiente del tiempo e −iωt, que se entiende que multiplica cada cantidad de campo compleja. El campo eléctrico para una onda sinusoidal plana uniforme será representado por el fasor dependiente de la ubicación.

.

 

 

 

 

( 3 )

Para los campos de esa forma, la ley de Faraday y la ley de Maxwell-Ampère reducen respectivamente a 

Poniendo B = μ H y D = ϵ E , como arriba, podemos eliminar B y D para obtener ecuaciones solo en E y H :

Si los parámetros del material ϵ y μ son reales (como en un dieléctrico sin pérdidas), estas ecuaciones muestran que k  , E  , H forman una tríada ortogonal derecha , de modo que las mismas ecuaciones se aplican a las magnitudes de los vectores respectivos. Tomando las ecuaciones de magnitud y sustituyendo de ( 2 ), obtenemos

donde H y E son las magnitudes de H y E . Multiplicar las dos últimas ecuaciones da

 

 

 

 

( 4 )

Dividir (o multiplicar de forma cruzada) las mismas dos ecuaciones da H = YE , donde

.

 

 

 

 

( 5 )

Esta es la entrada intrínseca .

De ( 4 ) obtenemos la velocidad de fase . Para un vacío, esto se reduce a . Dividiendo el segundo resultado por el primero, se obtiene

.

Para un medio no magnético (el caso habitual), esto se convierte en .

( Tomando el recíproco de ( 5 ), encontramos que la intrínseca impedancia es . En un vacío esta toma el valor conocido como la impedancia del espacio libre . Por división, . Para un no magnético medio, esto se convierte en )

Vectores de ola

Incidente, que se refleja, y vectores de onda transmitida ( k i , k r , y k t ), para la incidencia de un medio con índice de refracción n 1 a un medio con índice de refracción n 2 . Las flechas rojas son perpendiculares a los vectores de onda.

En coordenadas cartesianas ( x ,  y , z ) , deje que la región y < 0 tenga índice de refracción n 1  , admitancia intrínseca Y 1  , etc., y sea que la región y > 0 tenga índice de refracción n 2  , admitancia intrínseca Y 2  , etc. Entonces, el plano xz es la interfaz y el eje y es normal a la interfaz (ver diagrama). Let i y j (en negrita tipo romano ) ser los vectores unitarios en las x y Y direcciones, respectivamente. Sea el plano de incidencia el plano xy (el plano de la página), con el ángulo de incidencia θ i medido desde j hacia i . Deje que el ángulo de refracción, medido en el mismo sentido, ser θ t , donde el subíndice t significa transmitida (reservando r para reflejada ).

En ausencia de cambios Doppler , ω no cambia por reflexión o refracción. Por tanto, por ( 2 ), la magnitud del vector de onda es proporcional al índice de refracción.

Entonces, para un ω dado , si redefinimos k como la magnitud del vector de onda en el medio de referencia (para el cual n = 1 ), entonces el vector de onda tiene una magnitud n 1 k en el primer medio (región y < 0 en el diagrama) y magnitud n 2 k en el segundo medio. De las magnitudes y la geometría, encontramos que los vectores de onda son

donde el último paso usa la ley de Snell. Los productos escalares correspondientes en la forma fasorial ( 3 ) son

 

 

 

 

( 6 )

Por eso:

En  .

 

 

 

 

( 7 )

Los componentes s

Para la polarización s , el campo E es paralelo al eje z y, por lo tanto, puede describirse por su componente en la  dirección z . Sean los coeficientes de reflexión y transmisión r s y t s  , respectivamente. Entonces, si se considera que el campo E incidente tiene una unidad de amplitud, la forma fasorial ( 3 ) de su  componente z es

 

 

 

 

( 8 )

y los campos reflejados y transmitidos, en la misma forma, son

 

 

 

 

( 9 )

Según la convención de signos utilizada en este artículo, un coeficiente de reflexión o transmisión positivo es aquel que conserva la dirección del campo transversal , es decir (en este contexto) el campo normal al plano de incidencia. Para la polarización s , eso significa el campo E. Si los campos E incidente, reflejado y transmitido (en las ecuaciones anteriores) están en la  dirección z ("fuera de la página"), entonces los campos H respectivos están en las direcciones de las flechas rojas, ya que k  , E  , H Forman una tríada ortogonal diestra. Por lo tanto, los campos H pueden describirse por sus componentes en las direcciones de esas flechas, indicadas por H i  , H r , H t . Entonces, como H = YE ,

 

 

 

 

( 10 )

En la interfaz, según las condiciones de interfaz habituales para campos electromagnéticos , las componentes tangenciales de los campos E y H deben ser continuas; es decir,

.

 

 

 

 

( 11 )

Cuando sustituimos de las ecuaciones ( 8 ) a ( 10 ) y luego de ( 7 ), los factores exponenciales se cancelan, de modo que las condiciones de la interfaz se reducen a las ecuaciones simultáneas

 

 

 

 

( 12 )

que se resuelven fácilmente para r s y t s , lo que produce

 

 

 

 

( 13 )

y

.

 

 

 

 

( 14 )

A incidencia normal ( θ i = θ t = 0), indicado por un subíndice adicional 0, estos resultados se convierten en

 

 

 

 

( 15 )

y

.

 

 

 

 

( 16 )

A incidencia de pastoreo ( θ i → 90 °) , tenemos cos θ i → 0 , por lo tanto r s−1 y t s → 0 .

Los componentes p

Para la polarización p , los campos E incidente, reflejado y transmitido son paralelos a las flechas rojas y, por lo tanto, pueden describirse por sus componentes en las direcciones de esas flechas. Sean esos componentes E i  , E r , E t (redefiniendo los símbolos para el nuevo contexto). Sean los coeficientes de reflexión y transmisión r p y t p . Entonces, si se considera que el campo E incidente tiene una unidad de amplitud, tenemos

 

 

 

 

( 17 )

Si los campos E están en la dirección de las flechas rojas, entonces, para que k  , E  , H formen una tríada ortogonal derecha, los campos H respectivos deben estar en la  dirección −z ("en la página") y por lo tanto pueden describirse por sus componentes en esa dirección. Esto es consistente con la convención de signos adoptada, es decir, que un coeficiente de transmisión o reflexión positiva es aquel que conserva la dirección del campo transversal ( el campo H en el caso de la polarización p ) . La concordancia del otro campo con las flechas rojas revela una definición alternativa de la convención de signos: que un coeficiente de transmisión o reflexión positivo es aquel para el que el vector de campo en el plano de incidencia apunta hacia el mismo medio antes y después de la reflexión o transmisión.

Entonces, para los campos H incidente, reflejado y transmitido , sean los componentes respectivos en la  dirección −z H i  , H r , H t . Entonces, como H = YE ,

 

 

 

 

( 18 )

En la interfaz, las componentes tangenciales de los campos E y H deben ser continuas; es decir,

.

 

 

 

 

( 19 )

Cuando sustituimos de las ecuaciones ( 17 ) y ( 18 ) y luego de ( 7 ), los factores exponenciales se cancelan nuevamente, de modo que las condiciones de la interfaz se reducen a

 

 

 

 

( 20 )

Resolviendo para r p y t p , encontramos

 

 

 

 

( 21 )

y

.

 

 

 

 

( 22 )

A incidencia normal ( θ i = θ t = 0), indicado por un subíndice adicional 0, estos resultados se convierten en

 

 

 

 

( 23 )

y

.

 

 

 

 

( 24 )

En incidencia de pastoreo ( θ i → 90 °) , nuevamente tenemos cos θ i → 0 , por lo tanto r p−1 y t p → 0 .

Comparando ( 23 ) y ( 24 ) con ( 15 ) y ( 16 ), vemos que en incidencia normal , bajo la convención de signos adoptada, los coeficientes de transmisión para las dos polarizaciones son iguales, mientras que los coeficientes de reflexión tienen magnitudes iguales pero signos opuestos. . Si bien este choque de signos es una desventaja de la convención, la ventaja concomitante es que los signos coinciden en la incidencia rasante .

Relaciones de potencia (reflectividad y transmisividad)

El vector de Poynting para una onda es un vector cuyo componente en cualquier dirección es la irradiancia (potencia por unidad de área) de esa onda en una superficie perpendicular a esa dirección. Para una onda sinusoidal plana, el vector de Poynting es 1/2Re { E × H }, donde E y H se deben solo a la onda en cuestión, y el asterisco denota una conjugación compleja. Dentro de un dieléctrico sin pérdidas (el caso habitual), E y H están en fase y en ángulos rectos entre sí y con el vector de onda k  ; Así, por s polarización, utilizando los z y xy componentes de E y H , respectivamente (o para la polarización p, utilizando los xy y -z componentes de E y H ), la irradiancia en la dirección de k está dada simplemente por EH / 2 , que es E 2 / 2Z en un medio de impedancia intrínseca Z  = 1 / Y . Para calcular la irradiancia en la dirección normal a la interfaz, como requeriremos en la definición del coeficiente de transmisión de potencia, podríamos usar solo el componente x (en lugar del componente xy completo ) de H o E o, de manera equivalente, simplemente multiplicar EH / 2 por el factor geométrico propio, obteniendo ( E 2 / 2Z )  cos  θ .

A partir de las ecuaciones ( 13 ) y ( 21 ), tomando magnitudes al cuadrado, encontramos que la reflectividad (relación entre la potencia reflejada y la potencia incidente) es

 

 

 

 

( 25 )

para la polarización s, y

 

 

 

 

( 26 )

para la polarización p. Tenga en cuenta que al comparar las potencias de dos de estas ondas en el mismo medio y con el mismo cos θ , la impedancia y los factores geométricos mencionados anteriormente son idénticos y se cancelan. Pero al calcular la transmisión de potencia (abajo), estos factores deben tenerse en cuenta.

La forma más sencilla de obtener el coeficiente de transmisión de potencia ( transmisividad , la relación entre la potencia transmitida y la potencia incidente en la dirección normal a la interfaz , es decir, la dirección y ) es utilizar R  +  T  = 1 (conservación de energía). De esta manera encontramos

 

 

 

 

( 25T )

para la polarización s, y

 

 

 

 

( 26 dientes )

para la polarización p.

En el caso de una interfaz entre dos medios sin pérdidas (para los cuales ϵ y μ son reales y positivos), se pueden obtener estos resultados directamente usando las magnitudes cuadradas de los coeficientes de transmisión de amplitud que encontramos anteriormente en las ecuaciones ( 14 ) y ( 22 ). . Pero, por amplitud dada (como se señaló anteriormente), la componente del vector de Poynting en el y dirección es proporcional al factor geométrico cos  θ e inversamente proporcional a la impedancia de onda Z . Aplicando estas correcciones a cada onda, obtenemos dos razones multiplicando el cuadrado del coeficiente de transmisión de amplitud:

 

 

 

 

( 27 )

para la polarización s, y

 

 

 

 

( 28 )

para la polarización p. Las dos últimas ecuaciones se aplican solo a dieléctricos sin pérdidas, y solo a ángulos de incidencia menores que el ángulo crítico (más allá del cual, por supuesto, T  = 0  ).

Índices de refracción iguales

De las ecuaciones ( 4 ) y ( 5 ), vemos que dos medios diferentes tendrán el mismo índice de refracción, pero admitancias diferentes, si la razón de sus permeabilidades es la inversa de la razón de sus permitividades. En esa situación inusual tenemos θ t = θ i (es decir, el rayo transmitido no se desvía), de modo que los cosenos en las ecuaciones ( 13 ), ( 14 ), ( 21 ), ( 22 ) y ( 25 ) a ( 28 ) se anula y todas las relaciones de reflexión y transmisión se vuelven independientes del ángulo de incidencia; en otras palabras, las razones de incidencia normal se vuelven aplicables a todos los ángulos de incidencia. Cuando se extiende a la reflexión esférica o la dispersión, esto da como resultado el efecto Kerker para la dispersión de Mie .

Medios no magnéticos

Dado que las ecuaciones de Fresnel se desarrollaron para la óptica, generalmente se dan para materiales no magnéticos. Dividiendo ( 4 ) por ( 5 )) se obtiene

.

Para medios no magnéticos podemos sustituir la permeabilidad al vacío μ 0 por μ , de modo que

;

es decir, las admitancias son simplemente proporcionales a los índices de refracción correspondientes. Cuando hacemos estas sustituciones en las ecuaciones ( 13 ) a ( 16 ) y ecuaciones ( 21 ) a ( 26 ), el factor 0 se cancela. Para los coeficientes de amplitud obtenemos:

 

 

 

 

( 29 )

 

 

 

 

( 30 )

 

 

 

 

( 31 )

.

 

 

 

 

( 32 )

Para el caso de incidencia normal estos se reducen a:

 

 

 

 

( 33 )

 

 

 

 

( 34 )

 

 

 

 

( 35 )

.

 

 

 

 

( 36 )

Los coeficientes de reflexión de potencia se convierten en:

 

 

 

 

( 37 )

.

 

 

 

 

( 38 )

Las transmisiones de potencia a continuación, se pueden encontrar a partir de T  = 1 -  R .

Ángulo de Brewster

Para permeabilidades iguales (por ejemplo, medios no magnéticos), si θ i y θ t son complementarios , podemos sustituir sin θ t por cos θ i , y sin θ i por cos θ t , de modo que el numerador en la ecuación ( 31 ) se convierte en n 2 sin θ t - n 1 sin θ i , que es cero (según la ley de Snell). Por tanto, r p = 0 y solo se refleja la componente polarizada en s. Esto es lo que sucede en el ángulo de Brewster . Sustituyendo cos θ i por sen θ t en la ley de Snell, obtenemos fácilmente

 

 

 

 

( 39 )

para el ángulo de Brewster.

Igualdad de permitividades

Aunque no se encuentra en la práctica, las ecuaciones también pueden aplicarse al caso de dos medios con una permitividad común pero diferentes índices de refracción debido a diferentes permeabilidades. De las ecuaciones ( 4 ) y ( 5 ), si ϵ es fijo en lugar de μ , entonces Y se vuelve inversamente proporcional an , con el resultado de que los subíndices 1 y 2 en las ecuaciones ( 29 ) a ( 38 ) se intercambian (debido a la paso adicional de multiplicar el numerador y el denominador por n 1 n 2 ). Por tanto, en ( 29 ) y ( 31 ), las expresiones para r s y r p en términos de índices de refracción se intercambiarán, de modo que el ángulo de Brewster ( 39 ) dará r s = 0 en lugar de r p = 0 , y cualquier El haz reflejado en ese ángulo se polarizará en p en lugar de en s. De manera similar, la ley del seno de Fresnel se aplicará a la polarización p en lugar de la polarización s, y su ley de la tangente a la polarización s en lugar de la polarización p.

Este cambio de polarización tiene un análogo en la vieja teoría mecánica de las ondas de luz (ver § Historia , arriba). Se podrían predecir coeficientes de reflexión que coincidieran con la observación suponiendo (como Fresnel) que diferentes índices de refracción se debieran a diferentes densidades y que las vibraciones fueran normales a lo que entonces se llamaba plano de polarización , o suponiendo (como MacCullagh y Neumann ) que diferentes índices de refracción se debían a diferentes elasticidades y que las vibraciones eran paralelas a ese plano. Por tanto, la condición de permitividades iguales y permeabilidades desiguales, aunque no es realista, tiene cierto interés histórico.

Ver también

Notas

Referencias

Fuentes

Otras lecturas

enlaces externos