Dimensión fractal - Fractal dimension
En matemáticas , más específicamente en geometría fractal , una dimensión fractal es una proporción que proporciona un índice estadístico de complejidad que compara cómo cambia el detalle de un patrón (estrictamente hablando, un patrón fractal ) con la escala en la que se mide. También se ha caracterizado como una medida de la capacidad de llenado de espacio de un patrón que dice cómo un fractal escala de manera diferente al espacio en el que está incrustado; una dimensión fractal no tiene por qué ser un número entero.
La idea esencial de dimensiones "fracturadas" tiene una larga historia en matemáticas, pero Benoit Mandelbrot trajo el término en sí a primer plano basándose en su artículo de 1967 sobre la auto-semejanza en el que discutió las dimensiones fraccionarias . En ese artículo, Mandelbrot citó trabajos anteriores de Lewis Fry Richardson que describen la noción contraintuitiva de que la longitud medida de una línea costera cambia con la longitud de la vara de medir utilizada ( ver Fig. 1 ). En términos de esa noción, la dimensión fractal de una línea de costa cuantifica cómo cambia el número de varas de medir escaladas necesarias para medir la línea de costa con la escala aplicada a la vara. Hay varias definiciones matemáticas formales de dimensión fractal que se basan en este concepto básico de cambio en detalle con cambio de escala: consulte la sección Ejemplos .
En última instancia, el término dimensión fractal se convirtió en la frase con la que el propio Mandelbrot se sintió más cómodo con respecto a encapsular el significado de la palabra fractal , un término que él mismo creó. Después de varias iteraciones durante años, Mandelbrot se decidió por este uso del lenguaje: "... usar fractal sin una definición pedante, usar dimensión fractal como un término genérico aplicable a todas las variantes".
Un ejemplo no trivial es la dimensión fractal de un copo de nieve de Koch . Tiene una dimensión topológica de 1, pero de ninguna manera es una curva rectificable : la longitud de la curva entre dos puntos cualesquiera en el copo de nieve de Koch es infinita . No hay una pequeña parte de ella en forma de línea, sino que se compone de un número infinito de segmentos unidos en diferentes ángulos. La dimensión fractal de una curva se puede explicar intuitivamente pensando en una línea fractal como un objeto demasiado detallado para ser unidimensional, pero demasiado simple para ser bidimensional. Por lo tanto, su dimensión podría describirse mejor no por su dimensión topológica habitual de 1 sino por su dimensión fractal, que a menudo es un número entre uno y dos; en el caso del copo de nieve de Koch, es aproximadamente 1,262.
Introducción
Una dimensión fractal es un índice para caracterizar patrones o conjuntos fractales cuantificando su complejidad como una relación entre el cambio en detalle y el cambio en escala. Se pueden medir teórica y empíricamente varios tipos de dimensión fractal ( ver Fig. 2 ). Las dimensiones fractales se utilizan para caracterizar un amplio espectro de objetos que van desde los fenómenos abstractos hasta los prácticos, incluidas las turbulencias, las redes fluviales, el crecimiento urbano, la fisiología humana, la medicina y las tendencias del mercado. La idea esencial de dimensiones fraccionales o fractales tiene una larga historia en matemáticas que se remonta al siglo XVII, pero los términos fractal y dimensión fractal fueron acuñados por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975.
Las dimensiones fractales se aplicaron primero como un índice que caracterizaba formas geométricas complicadas para las que los detalles parecían más importantes que la imagen general. Para conjuntos que describen formas geométricas ordinarias, la dimensión fractal teórica es igual a la familiar dimensión euclidiana o topológica del conjunto . Por tanto, es 0 para conjuntos que describen puntos (conjuntos de 0 dimensiones); 1 para conjuntos que describen líneas (conjuntos unidimensionales que solo tienen longitud); 2 para conjuntos que describen superficies (conjuntos bidimensionales de largo y ancho); y 3 para conjuntos que describen volúmenes (conjuntos tridimensionales que tienen largo, ancho y alto). Pero esto cambia para los conjuntos fractales. Si la dimensión fractal teórica de un conjunto excede su dimensión topológica, se considera que el conjunto tiene geometría fractal.
A diferencia de las dimensiones topológicas, el índice fractal puede tomar valores no enteros , lo que indica que un conjunto llena su espacio cualitativa y cuantitativamente de manera diferente a como lo hace un conjunto geométrico ordinario. Por ejemplo, una curva con una dimensión fractal muy cercana a 1, digamos 1,10, se comporta bastante como una línea ordinaria, pero una curva con una dimensión fractal de 1,9 serpentea en espiral a través del espacio casi como una superficie. De manera similar, una superficie con una dimensión fractal de 2.1 llena el espacio de manera muy similar a una superficie ordinaria, pero una con una dimensión fractal de 2.9 pliegues y fluye para llenar el espacio casi como un volumen. Esta relación general se puede ver en las dos imágenes de curvas fractales en la Figura 2 y la Figura 3 - el contorno de 32 segmentos en la Figura 2, contorneado y relleno de espacio, tiene una dimensión fractal de 1,67, en comparación con la perceptiblemente menos compleja Curva de Koch en la Fig. 3, que tiene una dimensión fractal de 1,26.
La relación de una dimensión fractal creciente con el relleno del espacio podría interpretarse en el sentido de que las dimensiones fractales miden la densidad, pero no es así; los dos no están estrictamente correlacionados. En cambio, una dimensión fractal mide la complejidad, un concepto relacionado con ciertas características clave de los fractales: auto-semejanza y detalle o irregularidad . Estas características son evidentes en los dos ejemplos de curvas fractales. Ambas son curvas con una dimensión topológica de 1, por lo que se podría esperar poder medir su longitud y derivada de la misma manera que con las curvas ordinarias. Pero no podemos hacer ninguna de estas cosas, porque las curvas fractales tienen una complejidad en forma de auto-semejanza y detalle de los que carecen las curvas ordinarias. La auto-semejanza radica en la escala infinita y el detalle en los elementos definitorios de cada conjunto. La longitud entre dos puntos cualesquiera en estas curvas es infinita, no importa qué tan cerca estén los dos puntos, lo que significa que es imposible aproximar la longitud de dicha curva dividiendo la curva en muchos segmentos pequeños. Cada pieza más pequeña se compone de un número infinito de segmentos escalados que se ven exactamente como la primera iteración. Estas no son curvas rectificables , lo que significa que no se pueden medir dividiéndolas en muchos segmentos que se aproximan a sus respectivas longitudes. No se pueden caracterizar de manera significativa encontrando sus longitudes y derivadas. Sin embargo, se pueden determinar sus dimensiones fractales, lo que demuestra que ambas llenan el espacio más que las líneas ordinarias pero menos que las superficies, y permite compararlas en este sentido.
Las dos curvas fractales descritas anteriormente muestran un tipo de auto-semejanza que es exacta con una unidad de detalle repetida que se visualiza fácilmente. Este tipo de estructura se puede extender a otros espacios (por ejemplo, un fractal que extiende la curva de Koch en un espacio tridimensional tiene un D = 2.5849 teórico). Sin embargo, esta complejidad claramente contable es solo un ejemplo de la auto-semejanza y el detalle que están presentes en los fractales. El ejemplo de la línea costera de Gran Bretaña, por ejemplo, exhibe auto-similitud de un patrón aproximado con escala aproximada. En general, los fractales muestran varios tipos y grados de auto-similitud y detalles que pueden no visualizarse fácilmente. Estos incluyen, como ejemplos, atractores extraños para los que se ha descrito el detalle como en esencia, porciones suaves que se amontonan, el conjunto de Julia , que puede verse como complejos remolinos sobre remolinos, y ritmos cardíacos, que son patrones de picos ásperos repetidos. y escalado en el tiempo. Es posible que la complejidad fractal no siempre se pueda resolver en unidades de detalle y escala fáciles de comprender sin métodos analíticos complejos, pero aún es cuantificable a través de dimensiones fractales.
Historia
Los términos dimensión fractal y fractal fueron acuñados por Mandelbrot en 1975, aproximadamente una década después de que publicara su artículo sobre la auto-semejanza en la costa de Gran Bretaña. Varias autoridades históricas le atribuyen el haber sintetizado también siglos de complicados trabajos de ingeniería y matemáticas teóricas y haberlos aplicado de una nueva forma para estudiar geometrías complejas que desafiaban la descripción en términos lineales habituales. Las primeras raíces de lo que Mandelbrot sintetizó como la dimensión fractal se remontan claramente a los escritos sobre funciones no diferenciables, infinitamente auto-similares, que son importantes en la definición matemática de los fractales, alrededor de la época en que se descubrió el cálculo a mediados del siglo XVII. Hubo una pausa en el trabajo publicado sobre tales funciones durante un tiempo después de eso, luego una renovación que comenzó a fines del siglo XIX con la publicación de funciones y conjuntos matemáticos que hoy se denominan fractales canónicos (como las obras epónimas de von Koch , Sierpiński , y Julia ), pero en el momento de su formulación a menudo se consideraban "monstruos" matemáticos antitéticos. Estos trabajos fueron acompañados por quizás el punto más fundamental en el desarrollo del concepto de una dimensión fractal a través del trabajo de Hausdorff a principios del siglo XX, quien definió una dimensión "fraccional" que ha llegado a ser nombrada en su honor y que se invoca con frecuencia para definir fractales modernos .
Consulte Historia fractal para obtener más información.
Papel de la escala
El concepto de dimensión fractal se basa en visiones poco convencionales de escala y dimensión. Como la Fig. 4 ilustra, las nociones tradicionales de dictado geometría que formas escalan predecible según las ideas intuitivas y familiares sobre el espacio que están contenidas dentro, de manera que, por ejemplo, la medición de una línea usando primero una vara de medir luego otro tercio de su tamaño , le dará al segundo palo una longitud total 3 veces más larga que al primero. Esto también se mantiene en 2 dimensiones. Si uno mide el área de un cuadrado y luego vuelve a medir con una caja de lado 1/3 del tamaño del original, encontrará 9 veces más cuadrados que con la primera medida. Tales relaciones de escala familiares se pueden definir matemáticamente mediante la regla de escala general de la Ecuación 1, donde la variable representa el número de palos, el factor de escala y la dimensión fractal:
-
( 1 )
Esta regla de escala tipifica las reglas convencionales sobre geometría y dimensión; para las líneas, cuantifica eso, porque cuando, como en el ejemplo anterior, y para los cuadrados, porque cuando
La misma regla se aplica a la geometría fractal pero de forma menos intuitiva. Para elaborar, una línea fractal medida al principio para tener una longitud, cuando se vuelve a medir con una nueva vara escalada por 1/3 de la antigua puede no ser la 3 esperada, sino 4 veces más varas escaladas de largo. En este caso, cuándo y el valor de se pueden encontrar reordenando la Ecuación 1:
-
( 2 )
Es decir, para un fractal descrito por cuando una dimensión no entera que sugiere que el fractal tiene una dimensión no igual al espacio en el que reside. La escala utilizada en este ejemplo es la misma escala de la curva de Koch y el copo de nieve . Es de destacar que las imágenes mostradas no son verdaderos fractales porque la escala descrita por el valor de no puede continuar infinitamente por la simple razón de que las imágenes solo existen hasta el punto de su componente más pequeño, un píxel. El patrón teórico de que las imágenes digitales representan, sin embargo, no tiene pixel-como piezas discretas, sino más bien está compuesto de un infinito número de segmentos infinitamente escalados unidas en diferentes ángulos y en efecto, tener una dimensión fractal de 1,2619.
D no es un descriptor único
Como es el caso de las dimensiones determinadas para líneas, cuadrados y cubos, las dimensiones fractales son descriptores generales que no definen patrones de manera única. El valor de D para el fractal de Koch discutido anteriormente, por ejemplo, cuantifica la escala inherente del patrón, pero no describe de manera única ni proporciona suficiente información para reconstruirlo. Se podrían construir muchas estructuras o patrones fractales que tengan la misma relación de escala pero que sean dramáticamente diferentes de la curva de Koch, como se ilustra en la Figura 6 .
Para ejemplos de cómo los patrones fractal puede ser construido, ver fractal , triángulo de Sierpinski , conjunto de Mandelbrot , la agregación de difusión limitada , L-System .
Estructuras de superficie fractal
El concepto de fractalidad se aplica cada vez más en el campo de la ciencia de superficies , proporcionando un puente entre las características de la superficie y las propiedades funcionales. Se utilizan numerosos descriptores de superficie para interpretar la estructura de superficies nominalmente planas, que a menudo exhiben características auto-afines en múltiples escalas de longitud. La rugosidad media de la superficie , generalmente denominada R A , es el descriptor de superficie más comúnmente aplicado, sin embargo, se aplican con regularidad muchos otros descriptores que incluyen pendiente media, rugosidad cuadrática media (R RMS ) y otros. Sin embargo, se encuentra que muchos fenómenos de la superficie física no se pueden interpretar fácilmente con referencia a tales descriptores, por lo que la dimensión fractal se aplica cada vez más para establecer correlaciones entre la estructura de la superficie en términos de comportamiento y rendimiento de escala. Las dimensiones fractales de las superficies se han empleado para explicar y comprender mejor los fenómenos en áreas de mecánica de contacto , comportamiento de fricción , resistencia de contacto eléctrico y óxidos conductores transparentes .
Ejemplos de
El concepto de dimensión fractal descrito en este artículo es una vista básica de una construcción complicada. Los ejemplos discutidos aquí se eligieron para mayor claridad, y la unidad de escala y las proporciones se conocían de antemano. En la práctica, sin embargo, las dimensiones fractales se pueden determinar utilizando técnicas que aproximan la escala y el detalle de los límites estimados a partir de las líneas de regresión sobre gráficos logarítmicos frente a logarítmicos de tamaño frente a escala. A continuación se enumeran varias definiciones matemáticas formales de diferentes tipos de dimensión fractal. Aunque para algunos fractales clásicos coinciden todas estas dimensiones, en general no son equivalentes:
- Dimensión de recuento de cajas : D se estima como el exponente de una ley de potencia .
- Dimensión de información : D considera cómo la información promedio necesaria para identificar una caja ocupada se escala con el tamaño de la caja; es una probabilidad.
- Dimensión de correlación : D se basa en el número de puntos utilizados para generar una representación de un fractal y g ε , el número de pares de puntos más cercanos que ε entre sí.
- Dimensiones generalizadas o de Rényi: Las dimensiones de recuento de cajas, información y correlación pueden verse como casos especiales de un espectro continuo de dimensiones generalizadas de orden α, definido por:
- Dimensión de Lyapunov
- Dimensiones multifractal : un caso especial de dimensiones de Rényi donde el comportamiento de escala varía en diferentes partes del patrón.
- Exponente de incertidumbre
- Dimensión de Hausdorff : Para cualquier subconjunto de un espacio métrico y , el contenido d -dimensional de Hausdorff de S se define por
- La dimensión de Hausdorff de S está definida por
Estimación a partir de datos del mundo real
Muchos fenómenos del mundo real exhiben propiedades fractales limitadas o estadísticas y dimensiones fractales que se han estimado a partir de datos muestreados utilizando técnicas de análisis fractal basadas en computadora . En la práctica, las mediciones de la dimensión fractal se ven afectadas por diversas cuestiones metodológicas y son sensibles al ruido numérico o experimental y a las limitaciones en la cantidad de datos. No obstante, el campo está creciendo rápidamente ya que las dimensiones fractales estimadas para fenómenos estadísticamente auto-similares pueden tener muchas aplicaciones prácticas en varios campos, incluyendo astronomía, acústica, geología y ciencias de la tierra, diagnóstico por imágenes, ecología, procesos electroquímicos, análisis de imágenes, biología y medicina. neurociencia, análisis de redes , fisiología, física y ceros zeta de Riemann. También se ha demostrado que las estimaciones de la dimensión fractal se correlacionan con la complejidad de Lempel-Ziv en conjuntos de datos del mundo real de la psicoacústica y la neurociencia.
Una alternativa a la medición directa es considerar un modelo matemático que se asemeja a la formación de un objeto fractal del mundo real. En este caso, también se puede realizar una validación comparando otras propiedades fractales implícitas en el modelo con los datos medidos. En la física coloidal surgen sistemas compuestos por partículas con varias dimensiones fractales. Para describir estos sistemas conviene hablar de una distribución de dimensiones fractales y, eventualmente, de una evolución temporal de estas últimas: un proceso que es impulsado por una compleja interacción entre agregación y coalescencia .
Dimensiones fractales de redes y redes espaciales
Se ha descubierto que muchas redes del mundo real son auto-similares y pueden caracterizarse por una dimensión fractal. Además, los modelos de redes incrustados en el espacio pueden tener una dimensión fractal continua que depende de la distribución de enlaces de largo alcance.
Ver también
- Lista de fractales por dimensión de Hausdorff - artículo de la lista de Wikipedia
- Lacunaridad - Término en geometría y análisis fractal.
- Derivada fractal : generalización de derivada a fractales
Notas
Referencias
Otras lecturas
- Mandelbrot, Benoit B .; Hudson, Richard L. (2010). El (mal) comportamiento de los mercados: una visión fractal del riesgo, la ruina y la recompensa . Libros de perfil. ISBN 978-1-84765-155-6.
enlaces externos
- El producto de software de análisis fractal Benoit de TruSoft calcula las dimensiones fractales y los exponentes de hurst.
- Un subprograma de Java para calcular dimensiones fractales
- Introducción al análisis fractal
- Bowley, Roger (2009). "Dimensión fractal" . Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .
- "Los fractales no suelen ser auto-similares" . 3Azul1Marrón .