Prueba de sensibilidad de amplitud de Fourier - Fourier amplitude sensitivity testing

La prueba de sensibilidad de amplitud de Fourier (FAST) es un método de análisis de sensibilidad global basado en la varianza . El valor de sensibilidad se define con base en variaciones condicionales que indican los efectos individuales o conjuntos de las entradas inciertas en la salida.

RÁPIDO primero representa las varianzas condicionales mediante coeficientes de la expansión de la serie de Fourier múltiple de la función de salida. Luego se aplica el teorema ergódico para transformar la integral multidimensional en una integral unidimensional en la evaluación de los coeficientes de Fourier. Se requiere un conjunto de frecuencias inconmensurables para realizar la transformación y la mayoría de las frecuencias son irracionales. Para facilitar el cálculo, se selecciona un conjunto de frecuencias enteras en lugar de las frecuencias irracionales. Las frecuencias enteras no son estrictamente inconmensurables, lo que resulta en un error entre la integral multidimensional y la integral unidimensional transformada. Sin embargo, las frecuencias enteras pueden seleccionarse para que sean inconmensurables con cualquier orden, de modo que el error pueda controlarse cumpliendo cualquier requisito de precisión en teoría. Usando frecuencias enteras en la transformada integral, la función resultante en la integral unidimensional es periódica y la integral solo necesita evaluarse en un solo período. A continuación, dado que la función integral continua se puede recuperar de un conjunto de puntos de muestreo finitos si se satisface el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , la integral unidimensional se evalúa a partir de la suma de los valores de la función en los puntos de muestreo generados.

FAST es más eficiente para calcular sensibilidades que otros métodos de análisis de sensibilidad global basados ​​en la varianza a través de la integración de Monte Carlo . Sin embargo, el cálculo de FAST suele limitarse a las sensibilidades que se refieren al "efecto principal" o al "efecto total".

Historia

El método FAST se originó en el estudio de sistemas de reacción química acoplados en 1973 y el análisis detallado del error computacional se presentó posteriormente en 1975. En el método original sólo se calcularon los índices de sensibilidad de primer orden referidos al “efecto principal”. A FORTRAN programa de ordenador capaz de analizar ya sea sistemas de ecuaciones algebraicas o diferenciales se publicó en 1982. En 1990, la relación entre los índices de sensibilidad rápido y los de Sobol calculados a partir de la simulación de Monte-Carlo se reveló en el marco general de ANOVA -como descomposición y una extendida Se desarrolló el método FAST capaz de calcular índices de sensibilidad referidos al “efecto total”.

Fundación

Sensibilidad basada en la varianza

Los índices de sensibilidad de un método basado en la varianza se calculan mediante una descomposición similar a ANOVA de la función para el análisis. Supongamos que la función es donde . La descomposición similar a ANOVA es ${\ Displaystyle Y = f \ left (\ mathbf {X} \ right) = f \ left (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n} \ right)}$${\ Displaystyle 0 \ leq X_ {j} \ leq 1, j = 1, \ dots, n}$

${\ Displaystyle f \ left (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n} \ right) = f_ {0} + \ sum _ {j = 1} ^ {n} f_ {j} \ izquierda (X_ {j} \ derecha) + \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} \ sum _ {k = j + 1} ^ {n} f_ {jk} \ izquierda (X_ {j}, X_ {k} \ right) + \ cdots + f_ {12 \ dots n}}$

siempre que sea ​​una constante y la integral de cada término en las sumas sea cero, es decir ${\ Displaystyle f_ {0}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} f_ {j_ {1} j_ {2} \ dots j_ {r}} \ left (X_ {j_ {1}}, X_ {j_ {2}}, \ puntos, X_ {j_ {r}} \ right) dX_ {j_ {k}} = 0, {\ text {}} 1 \ leq k \ leq r.}$

La varianza condicional que caracteriza la contribución de cada término a la varianza total de es ${\ Displaystyle f \ left (\ mathbf {X} \ right)}$

${\ Displaystyle V_ {j_ {1} j_ {2} \ dots j_ {r}} = \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \ int _ {0} ^ {1} f_ {j_ {1} j_ {2} \ dots j_ {r}} ^ {2} \ left (X_ {j_ {1}}, X_ {j_ {2}}, \ dots, X_ {j_ {r}} \ right) dX_ {j_ { 1}} dX_ {j_ {2}} \ dots dX_ {j_ {r}}.}$

La varianza total es la suma de todas las varianzas condicionales

${\ Displaystyle V = \ sum _ {j = 1} ^ {n} V_ {j} + \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} \ sum _ {k = j + 1} ^ {n} V_ {jk} + \ cdots + V_ {12 \ dots n}.}$

El índice de sensibilidad se define como la varianza condicional normalizada como

${\ Displaystyle S_ {j_ {1} j_ {2} \ dots j_ {r}} = {\ frac {V_ {j_ {1} j_ {2} \ dots j_ {r}}} {V}}}$

especialmente la sensibilidad de primer orden

${\ Displaystyle S_ {j} = {\ frac {V_ {j}} {V}}}$

que indica el efecto principal de la entrada . ${\ Displaystyle X_ {j}}$

Varias series de Fourier

Una forma de calcular la descomposición similar a ANOVA se basa en múltiples series de Fourier. La función en la unidad hipercubo se puede extender a una función periódica multiplicada y la expansión de la serie múltiple de Fourier es ${\ Displaystyle f \ left (\ mathbf {X} \ right)}$

${\ Displaystyle f \ left (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n} \ right) = \ sum _ {m_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ { m_ {2} = - \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ sum _ {m_ {n} = - \ infty} ^ {\ infty} C_ {m_ {1} m_ {2} ... m_ {n }} \ exp {\ bigl [} 2 \ pi i \ left (m_ {1} X_ {1} + m_ {2} X_ {2} + \ cdots + m_ {n} X_ {n} \ right) {\ bigr]}, {\ text {para enteros}} m_ {1}, m_ {2}, \ dots, m_ {n}}$

donde el coeficiente de Fourier es

${\ Displaystyle C_ {m_ {1} m_ {2} ... m_ {n}} = \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \ int _ {0} ^ {1} f \ left (X_ { 1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n} \ right) \ exp {\ bigl [} -2 \ pi i \ left (m_ {1} X_ {1} + m_ {2} X_ {2} + \ puntos + m_ {n} X_ {n} \ derecha) {\ bigr]}.}$

La descomposición similar a ANOVA es

${\ displaystyle {\ begin {align} f_ {0} & = C_ {00 \ dots 0} \\ f_ {j} & = \ sum _ {m_ {j} \ neq 0} C_ {0 \ dots m_ {j } \ dots 0} \ exp {\ bigl [} 2 \ pi im_ {j} X_ {j} {\ bigr]} \\ f_ {jk} & = \ sum _ {m_ {j} \ neq 0} \ sum _ {m_ {k} \ neq 0} C_ {0 \ dots m_ {j} \ dots m_ {k} \ dots 0} \ exp {\ bigl [} 2 \ pi i \ left (m_ {j} X_ {j } + m_ {k} X_ {k} \ right) {\ bigr]} \\ f_ {12 \ dots n} & = \ sum _ {m_ {1} \ neq 0} \ sum _ {m_ {2} \ neq 0} \ cdots \ sum _ {m_ {n} \ neq 0} C_ {m_ {1} m_ {2} \ dots m_ {n}} \ exp {\ bigl [} 2 \ pi i \ left (m_ { 1} X_ {1} + m_ {2} X_ {2} + \ cdots + m_ {n} X_ {n} \ right) {\ bigr]}. \ End {alineado}}}$

La varianza condicional de primer orden es

${\ displaystyle {\ begin {alineado} V_ {j} & = \ int _ {0} ^ {1} f_ {j} ^ {2} \ left (X_ {j} \ right) dX_ {j} \\ & = \ sum _ {m_ {j} \ neq 0} \ left | C_ {0 \ dots m_ {j} \ dots 0} \ right | ^ {2} \\ & = 2 \ sum _ {m_ {j} = 1} ^ {\ infty} \ left (A_ {m_ {j}} ^ {2} + B_ {m_ {j}} ^ {2} \ right) \ end {alineado}}}$

donde y son la parte real e imaginaria de respectivamente ${\ Displaystyle A_ {m_ {j}}}$${\ Displaystyle B_ {m_ {j}}}$${\ Displaystyle C_ {0 \ dots m_ {j} \ dots 0}}$

${\ Displaystyle A_ {m_ {j}} = \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \ int _ {0} ^ {1} f \ left (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n} \ right) \ cos \ left (2 \ pi m_ {j} X_ {j} \ right) dX_ {1} dX_ {2} \ dots dX_ {n}}$

${\ Displaystyle B_ {m_ {j}} = \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \ int _ {0} ^ {1} f \ left (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n} \ derecha) \ sin \ izquierda (2 \ pi m_ {j} X_ {j} \ derecha) dX_ {1} dX_ {2} \ dots dX_ {n}}$

Teorema ergódico

Se debe evaluar una integral multidimensional para calcular los coeficientes de Fourier. Una forma de evaluar esta integral multidimensional es transformarla en una integral unidimensional expresando cada entrada como una función de una nueva variable independiente , de la siguiente manera ${\ Displaystyle s}$

${\ Displaystyle X_ {j} \ left (s \ right) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ left (\ omega _ {j} s {\ text {mod}} 2 \ pi \ right) , j = 1,2, \ puntos, n}$

donde es un conjunto de frecuencias inconmensurables, es decir ${\ Displaystyle \ left \ {\ omega _ {j} \ right \}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ gamma _ {j} \ omega _ {j} = 0}$

para un conjunto entero de si y solo si para cada . Entonces los coeficientes de Fourier se pueden calcular mediante una integral unidimensional de acuerdo con el teorema ergódico ${\ Displaystyle \ left \ {\ gamma _ {j} \ right \}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {j} = 0}$${\ Displaystyle j}$

${\ Displaystyle A_ {m_ {j}} = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} f {\ bigl (} X_ { 1} \ left (s \ right), X_ {2} \ left (s \ right), \ dots, X_ {n} \ left (s \ right) {\ bigr)} \ cos {\ bigl (} 2 \ pi m_ {j} X_ {j} \ left (s \ right) {\ bigr)} ds}$

${\ Displaystyle B_ {m_ {j}} = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} f {\ bigl (} X_ { 1} \ izquierda (s \ derecha), X_ {2} \ izquierda (s \ derecha), \ puntos, X_ {n} \ izquierda (s \ derecha) {\ bigr)} \ sin {\ bigl (} 2 \ pi m_ {j} X_ {j} \ left (s \ right) {\ bigr)} ds}$

Implementación

Frecuencias enteras

A lo sumo, una de las frecuencias inconmensurables puede ser racional y todas las demás irracionales. Dado que el valor numérico de un número irracional no se puede almacenar exactamente en una computadora, se requiere una aproximación de las frecuencias inconmensurables por todos los números racionales en la implementación. Sin perder ninguna generalidad, las frecuencias se pueden establecer como números enteros en lugar de números racionales. Un conjunto de números enteros es aproximadamente inconmensurable con el orden de si ${\ Displaystyle \ left \ {\ omega _ {j} \ right \}}$${\ Displaystyle \ left \ {\ omega _ {j} \ right \}}$${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ gamma _ {j} \ omega _ {j} \ neq 0}$

para

${\ Displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left | \ gamma _ {j} \ right | \ leq M + 1}$

donde es un número entero. La condición inconmensurable exacta es un caso extremo cuando . ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M \ a \ infty}$

Usando las frecuencias enteras, la función en la integral unidimensional transformada es periódica, por lo que solo se requiere la integración durante un período de . Los coeficientes de Fourier se pueden calcular aproximadamente como ${\ Displaystyle 2 \ pi}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} A_ {m_ {j}} & \ approx {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f {\ bigl (} X_ {1} \ left (s \ right), X_ {2} \ left (s \ right), \ dots, X_ {n} \ left (s \ right) {\ bigr)} \ cos \ left (m_ { j} \ omega _ {j} s \ right) ds: = {\ hat {A}} _ {m_ {j}} \\ B_ {m_ {j}} & \ approx {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f {\ bigl (} X_ {1} \ left (s \ right), X_ {2} \ left (s \ right), \ dots, X_ {n} \ left (s \ right) {\ bigr)} \ sin \ left (m_ {j} \ omega _ {j} s \ right) ds: = {\ hat {B}} _ {m_ {j} } \ end {alineado}}}$

La aproximación de las frecuencias inconmensurables para un finitos como resultado un error de discrepancia entre los verdaderos coeficientes de Fourier , y sus estimaciones , . Cuanto mayor es el orden, menor es el error, pero se requieren más esfuerzos computacionales para calcular las estimaciones en el siguiente procedimiento. En la práctica, con frecuencia se establece en 4 y se dispone de una tabla de conjuntos de frecuencias resultantes que tienen hasta 50 frecuencias. (McRae et al., 1982) ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle A_ {m_ {j}}}$${\ Displaystyle B_ {m_ {j}}}$${\ Displaystyle {\ hat {A}} _ {m_ {j}}}$${\ Displaystyle {\ hat {B}} _ {m_ {j}}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$

Curva de búsqueda

La transformación, define una curva de búsqueda en el espacio de entrada. Si las frecuencias ,, son inconmensurables, la curva de búsqueda puede pasar por todos los puntos del espacio de entrada, ya que varía de 0 a, por lo que la integral multidimensional sobre el espacio de entrada se puede transformar con precisión en una integral unidimensional a lo largo de la curva de búsqueda. Sin embargo, si las frecuencias son enteros aproximadamente inconmensurables, la curva de búsqueda no puede atravesar todos los puntos del espacio de entrada. De hecho, la búsqueda se repite ya que la función de transformación es periódica, con un período de . La integral unidimensional se puede evaluar durante un solo período en lugar del intervalo infinito para frecuencias inconmensurables; Sin embargo, surge un error de cálculo debido a la aproximación de la inconmensurabilidad. ${\ Displaystyle X_ {j} \ left (s \ right) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ left (\ omega _ {j} s {\ text {mod}} 2 \ pi \ right) }$${\ Displaystyle \ omega _ {j}, j = 1, \ dots, n}$${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle \ infty}$${\ Displaystyle 2 \ pi}$

• Curva de búsqueda
• 

  La curva de búsqueda en el caso de ω ₁ = π y ω ₂ = 7. Dado que las frecuencias son inconmensurables, la curva de búsqueda no se repite y puede pasar por todos los puntos del cuadrado.

• 

  La curva de búsqueda en el caso de ω ₁ = 3 y ω ₂ = 7. Dado que las frecuencias son números enteros, que son aproximadamente inconmensurables, la curva de búsqueda se repite y no puede pasar por todos los puntos del cuadrado.

• 

  La curva de búsqueda en el caso de ω ₁ = 11 y ω ₂ = 7. Dado que las frecuencias son números enteros, que son aproximadamente inconmensurables, la curva de búsqueda se repite y no puede pasar por todos los puntos del cuadrado.

Muestreo

El Fourier aproximado se puede expresar además como

${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {m_ {j}} = {\ begin {cases} 0 & m_ {j} {\ text {odd}} \\ {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} f {\ bigl (} \ mathbf {X} (s) {\ bigr)} \ cos \ left (m_ {j} \ omega _ {j} s \ right) ds & m_ {j} {\ text {even}} \ end {cases}}}$

y

${\ Displaystyle {\ hat {B}} _ {m_ {j}} = {\ begin {cases} {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} f {\ bigl (} \ mathbf {X} (s) {\ bigr)} \ sin \ left (m_ {j} \ omega _ {j} s \ right) ds & m_ {j} {\ text {impar} } \\ 0 & m_ {j} {\ text {even}} \ end {cases}}}$

Las integrales distintas de cero se pueden calcular a partir de puntos de muestreo

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ hat {A}} _ {m_ {j}} & = {\ frac {1} {2q + 1}} \ sum _ {k = -q} ^ {q} f {\ bigl (} \ mathbf {X} (s_ {k}) {\ bigr)} \ cos \ left (m_ {j} \ omega _ {j} s_ {k} \ right), m_ {j} { \ text {even}} \\ {\ hat {B}} _ {m_ {j}} & = {\ frac {1} {2q + 1}} \ sum _ {k = -q} ^ {q} f {\ bigl (} \ mathbf {X} (s_ {k}) {\ bigr)} \ sin \ left (m_ {j} \ omega _ {j} s_ {k} \ right), m_ {j} {\ texto {impar}} \ end {alineado}}}$

donde el punto de muestreo uniforme en es ${\ Displaystyle \ left [- \ pi / 2, \ pi / 2 \ right]}$

${\ Displaystyle s_ {k} = {\ frac {\ pi k} {2q + 1}}, k = -q, \ dots, -1,0,1, \ dots, q.}$

El número total de puntos de muestreo es el que debe satisfacer el criterio de muestreo de Nyquist, es decir ${\ Displaystyle 2q + 1}$

${\ Displaystyle 2q + 1 \ geq N \ omega _ {max} +1}$

donde es la mayor frecuencia en y es el orden máximo de los coeficientes de Fourier calculados. ${\ Displaystyle \ omega _ {max}}$${\ Displaystyle \ left \ {\ omega _ {k} \ right \}}$${\ Displaystyle N}$

Suma parcial

Después de calcular los coeficientes de Fourier estimados, la varianza condicional de primer orden se puede aproximar mediante

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} V_ {j} & = 2 \ sum _ {m_ {j} = 1} ^ {\ infty} \ left (A_ {m_ {j}} ^ {2} + B_ {m_ {j}} ^ {2} \ right) \\ & \ approx 2 \ sum _ {m_ {j} = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ hat {A}} _ {m_ {j}} ^ {2} + {\ hat {B}} _ {m_ {j}} ^ {2} \ right) \\ & \ approx 2 \ sum _ {m_ {j} = 1} ^ {2} \ left ( {\ hat {A}} _ {m_ {j}} ^ {2} + {\ hat {B}} _ {m_ {j}} ^ {2} \ right) \\ & = 2 \ left ({\ sombrero {A}} _ {m_ {j} = 2} ^ {2} + {\ hat {B}} _ {m_ {j} = 1} ^ {2} \ right) \ end {alineado}}}$

donde solo se calcula la suma parcial de los dos primeros términos y para determinar el número de puntos de muestreo. El uso de la suma parcial generalmente puede devolver una aproximación suficientemente buena de la suma total, ya que los términos correspondientes a la frecuencia fundamental y las frecuencias de orden bajo generalmente contribuyen más a la suma total. Además, el coeficiente de Fourier en la suma es solo una estimación del valor real y agregar más términos de orden superior no ayudará a mejorar la precisión computacional de manera significativa. Dado que las frecuencias de números enteros no están inconmensurables exactamente hay dos números enteros y de tal manera que la interferencia entre las dos frecuencias puede ocurrir si términos de orden superior están incluidos en la suma. ${\ Displaystyle N = 2}$${\ Displaystyle m_ {j}}$${\ Displaystyle m_ {k}}$${\ Displaystyle m_ {j} \ omega _ {j} = m_ {k} \ omega _ {k}.}$

De manera similar, la varianza total de se puede calcular como ${\ Displaystyle f \ left (\ mathbf {X} \ right)}$

${\ displaystyle V \ approx {\ hat {A}} _ {0} \ left [f ^ {2} \ right] - {\ hat {A}} _ {0} \ left [f \ right] ^ {2 }}$

donde denota el coeficiente de Fourier estimado de la función de dentro del corchete y es el coeficiente de Fourier al cuadrado de la función . Finalmente, la sensibilidad referida al efecto principal de una entrada se puede calcular dividiendo la varianza condicional por la varianza total. ${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {0} \ left [f ^ {2} \ right]}$${\ Displaystyle f ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ hat {A}} _ {0} \ left [f \ right] ^ {2}}$${\ Displaystyle f}$

Referencias