Carácter finito - Finite character

En matemáticas , una familia de conjuntos es de carácter finito si para cada uno , pertenece a si y solo si cada subconjunto finito de pertenece a . Es decir, ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

1. Para cada uno , cada subconjunto finito de pertenece a .${\ Displaystyle A \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$
2. Si cada subconjunto finito de un conjunto dado pertenece a , entonces pertenece a .${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Propiedades

Una familia de conjuntos de carácter finito disfruta de las siguientes propiedades: ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

1. Para cada uno , cada subconjunto (finito o infinito) de pertenece a .${\ Displaystyle A \ in {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$
2. Toda familia no vacía de carácter finito tiene un elemento máximo con respecto a la inclusión ( lema de Tukey ): En , parcialmente ordenada por inclusión, la unión de cada cadena de elementos de también pertenece , por lo tanto, por el lema de Zorn , contiene al menos un elemento máximo .${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Ejemplo

Sea un espacio vectorial y sea ​​la familia de subconjuntos linealmente independientes de . Entonces es una familia de carácter finito (porque un subconjunto es linealmente dependiente si y solo si tiene un subconjunto finito que es linealmente dependiente). Por lo tanto, en cada espacio vectorial, existe una familia máxima de elementos linealmente independientes. Como una familia máxima es una base vectorial , cada espacio vectorial tiene una base vectorial (posiblemente infinita). ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle X \ subseteq V}$${\ Displaystyle X}$

Ver también

• Conjunto hereditariamente finito

Referencias

• Jech, Thomas J. (2008) [1973]. El axioma de la elección . Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-46624-8.
• Smullyan, Raymond M .; Fitting, Melvin (2010) [1996]. La teoría de conjuntos y el problema del continuo . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-47484-7.

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