F -distribución - F-distribution

Fisher – Snedecor
	Función de densidad de probabilidad
	Función de distribución acumulativa
Parámetros	d 1 , d 2 > 0 grados de libertad
Apoyo	si , de lo contrario
PDF
CDF
Significar	; para d 2 > 2
Modo	; para d 1 > 2
Diferencia	; para d 2 > 4
Oblicuidad	; para d 2 > 6
Ex. curtosis	ver texto
Entropía	; ;
MGF	no existe, momentos crudos definidos en texto y en
CF	ver texto

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución F o razón F , también conocida como distribución F de Snedecor o distribución de Fisher-Snedecor (después de Ronald Fisher y George W. Snedecor ) es una distribución de probabilidad continua que surge con frecuencia como la distribución nula de una estadística de prueba , lo más notablemente en el análisis de la varianza (ANOVA) y otros F -pruebas .

Definición

La distribución F con d ₁ y d ₂ grados de libertad es la distribución de

{\ Displaystyle X = {\ frac {S_ {1} / d_ {1}} {S_ {2} / d_ {2}}}}

donde y son variables aleatorias independientes con distribuciones chi-cuadrado con respectivos grados de libertad y . ${\ textstyle S_ {1}}$ ${\ textstyle S_ {2}}$ ${\ textstyle d_ {1}}$ ${\ textstyle d_ {2}}$

Se puede demostrar que la función de densidad de probabilidad (pdf) para X viene dada por

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} f (x; d_ {1}, d_ {2}) & = {\ frac {\ sqrt {\ frac {(d_ {1} x) ^ {d_ {1}} \ , \, d_ {2} ^ {d_ {2}}} {(d_ {1} x + d_ {2}) ^ {d_ {1} + d_ {2}}}}} {x \ operatorname {B} \ left ({\ frac {d_ {1}} {2}}, {\ frac {d_ {2}} {2}} \ right)}} \\ [5pt] & = {\ frac {1} {\ nombre de operador {B} \ left ({\ frac {d_ {1}} {2}}, {\ frac {d_ {2}} {2}} \ right)}} \ left ({\ frac {d_ {1} } {d_ {2}}} \ right) ^ {d_ {1} / 2} x ^ {d_ {1} / 2-1} \ left (1 + {\ frac {d_ {1}} {d_ {2 }}} \, x \ right) ^ {- (d_ {1} + d_ {2}) / 2} \ end {alineado}}}

para x real > 0. Aquí está la función beta . En muchas aplicaciones, los parámetros d ₁ y d ₂ son números enteros positivos , pero la distribución está bien definida para valores reales positivos de estos parámetros. ${\ Displaystyle \ mathrm {B}}$

La función de distribución acumulativa es

{\ Displaystyle F (x; d_ {1}, d_ {2}) = I_ {d_ {1} x / (d_ {1} x + d_ {2})} \ left ({\ tfrac {d_ {1} } {2}}, {\ tfrac {d_ {2}} {2}} \ right),}

donde I es la función beta incompleta regularizada .

La expectativa, la varianza y otros detalles sobre la F ( d ₁ , d ₂ ) se dan en el recuadro lateral; para d ₂ > 8, el exceso de curtosis es

{\ Displaystyle \ gamma _ {2} = 12 {\ frac {d_ {1} (5d_ {2} -22) (d_ {1} + d_ {2} -2) + (d_ {2} -4) ( d_ {2} -2) ^ {2}} {d_ {1} (d_ {2} -6) (d_ {2} -8) (d_ {1} + d_ {2} -2)}}.}

El k -ésimo momento de una distribución F ( d ₁ , d ₂ ) existe y es finito solo cuando 2 k < d ₂ y es igual a

{\ Displaystyle \ mu _ {X} (k) = \ left ({\ frac {d_ {2}} {d_ {1}}} \ right) ^ {k} {\ frac {\ Gamma \ left ({\ tfrac {d_ {1}} {2}} + k \ right)} {\ Gamma \ left ({\ tfrac {d_ {1}} {2}} \ right)}} {\ frac {\ Gamma \ left ( {\ tfrac {d_ {2}} {2}} - k \ right)} {\ Gamma \ left ({\ tfrac {d_ {2}} {2}} \ right)}}.}

La distribución F es una parametrización particular de la distribución beta prima , que también se denomina distribución beta de segundo tipo.

La función característica se enumera incorrectamente en muchas referencias estándar (p. Ej.,). La expresión correcta es

{\ Displaystyle \ varphi _ {d_ {1}, d_ {2}} ^ {F} (s) = {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {d_ {1} + d_ {2}} {2 }} \ right)} {\ Gamma \ left ({\ tfrac {d_ {2}} {2}} \ right)}} U \! \ left ({\ frac {d_ {1}} {2}}, 1 - {\ frac {d_ {2}} {2}}, - {\ frac {d_ {2}} {d_ {1}}} \ imath s \ right)}

donde U ( a , b , z ) es la función hipergeométrica confluente del segundo tipo.

Caracterización

Una variante aleatoria de la distribución F con parámetros y surge como el cociente de dos variables chi-cuadrado escaladas apropiadamente : ${\ Displaystyle d_ {1}}$ ${\ Displaystyle d_ {2}}$

{\ Displaystyle X = {\ frac {U_ {1} / d_ {1}} {U_ {2} / d_ {2}}}}

dónde

${\ Displaystyle U_ {1}}$ y tienen distribuciones chi-cuadrado con y grados de libertad respectivamente, y ${\ Displaystyle U_ {2}}$ ${\ Displaystyle d_ {1}}$ ${\ Displaystyle d_ {2}}$
${\ Displaystyle U_ {1}}$ y son independientes . ${\ Displaystyle U_ {2}}$

En los casos en que se utiliza la distribución F , por ejemplo, en el análisis de varianza , la independencia de y podría demostrarse aplicando el teorema de Cochran . ${\ Displaystyle U_ {1}}$ ${\ Displaystyle U_ {2}}$

De manera equivalente, la variable aleatoria de la distribución F también se puede escribir

{\ Displaystyle X = {\ frac {s_ {1} ^ {2}} {\ sigma _ {1} ^ {2}}} \ div {\ frac {s_ {2} ^ {2}} {\ sigma _ {2} ^ {2}}},}

donde y , es la suma de los cuadrados de las variables aleatorias de la distribución normal y es la suma de los cuadrados de las variables aleatorias de la distribución normal . ${\ Displaystyle s_ {1} ^ {2} = {\ frac {S_ {1} ^ {2}} {d_ {1}}}}$ ${\ Displaystyle s_ {2} ^ {2} = {\ frac {S_ {2} ^ {2}} {d_ {2}}}}$ ${\ Displaystyle S_ {1} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle d_ {1}}$ ${\ Displaystyle N (0, \ sigma _ {1} ^ {2})}$ ${\ Displaystyle S_ {2} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle d_ {2}}$ ${\ Displaystyle N (0, \ sigma _ {2} ^ {2})}$

En un contexto frecuentista , una distribución F escalada da, por tanto, la probabilidad , con la distribución F en sí misma, sin ninguna escala, aplicando donde se toma igual a . Este es el contexto en el que la distribución F aparece más generalmente en las pruebas F : donde la hipótesis nula es que dos varianzas normales independientes son iguales, y luego se examinan las sumas observadas de algunos cuadrados seleccionados apropiadamente para ver si su razón es significativamente incompatible con esta hipótesis nula. ${\ Displaystyle p (s_ {1} ^ {2} / s_ {2} ^ {2} \ mid \ sigma _ {1} ^ {2}, \ sigma _ {2} ^ {2})}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {2} ^ {2}}$

La cantidad tiene la misma distribución en las estadísticas bayesianas, si se toma un prior de Jeffreys invariante de reescalado no informativo para las probabilidades previas de y . En este contexto, una distribución F escalada da la probabilidad posterior , donde las sumas observadas y ahora se toman como conocidas. ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {2} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle p (\ sigma _ {2} ^ {2} / \ sigma _ {1} ^ {2} \ mid s_ {1} ^ {2}, s_ {2} ^ {2})}$ ${\ Displaystyle s_ {1} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle s_ {2} ^ {2}}$

Propiedades y distribuciones relacionadas

Si y son independientes , entonces ${\ Displaystyle X \ sim \ chi _ {d_ {1}} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle Y \ sim \ chi _ {d_ {2}} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {X / d_ {1}} {Y / d_ {2}}} \ sim \ mathrm {F} (d_ {1}, d_ {2})}$
Si ( distribución gamma ) son independientes, entonces ${\ Displaystyle X_ {k} \ sim \ Gamma (\ alpha _ {k}, \ beta _ {k}) \,}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ alpha _ {2} \ beta _ {1} X_ {1}} {\ alpha _ {1} \ beta _ {2} X_ {2}}} \ sim \ mathrm {F} (2 \ alpha _ {1}, 2 \ alpha _ {2})}$
Si ( distribución Beta ) entonces ${\ Displaystyle X \ sim \ operatorname {Beta} (d_ {1} / 2, d_ {2} / 2)}$ ${\ Displaystyle {\ frac {d_ {2} X} {d_ {1} (1-X)}} \ sim \ operatorname {F} (d_ {1}, d_ {2})}$
De manera equivalente, si , entonces . ${\ Displaystyle X \ sim F (d_ {1}, d_ {2})}$ ${\ displaystyle {\ frac {d_ {1} X / d_ {2}} {1 + d_ {1} X / d_ {2}}} \ sim \ operatorname {Beta} (d_ {1} / 2, d_ { 2} / 2)}$
Si , a continuación, tiene una distribución beta prima : . ${\ Displaystyle X \ sim F (d_ {1}, d_ {2})}$ ${\ Displaystyle {\ frac {d_ {1}} {d_ {2}}} X}$ ${\ Displaystyle {\ frac {d_ {1}} {d_ {2}}} X \ sim \ operatorname {\ beta ^ {\ prime}} ({\ tfrac {d_ {1}} {2}}, {\ tfrac {d_ {2}} {2}})}$
Si entonces tiene la distribución chi-cuadrado ${\ Displaystyle X \ sim F (d_ {1}, d_ {2})}$ ${\ Displaystyle Y = \ lim _ {d_ {2} \ to \ infty} d_ {1} X}$ ${\ Displaystyle \ chi _ {d_ {1}} ^ {2}}$
${\ Displaystyle F (d_ {1}, d_ {2})}$ es equivalente a la distribución T-cuadrada de Hotelling escalada . ${\ Displaystyle {\ frac {d_ {2}} {d_ {1} (d_ {1} + d_ {2} -1)}} \ operatorname {T} ^ {2} (d_ {1}, d_ {1 } + d_ {2} -1)}$
Si entonces . ${\ Displaystyle X \ sim F (d_ {1}, d_ {2})}$ ${\ Displaystyle X ^ {- 1} \ sim F (d_ {2}, d_ {1})}$
Si - distribución t de Student - entonces: ${\ Displaystyle X \ sim t _ {(n)}}$

{\ Displaystyle X ^ {2} \ sim \ operatorname {F} (1, n)}

{\ Displaystyle X ^ {- 2} \ sim \ operatorname {F} (n, 1)}

La distribución F es un caso especial de distribución de Pearson de tipo 6
Si y son independientes, con Laplace ( μ , b ) entonces ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle X, Y \ sim}$

{\ Displaystyle {\ frac {| X- \ mu |} {| Y- \ mu |}} \ sim \ operatorname {F} (2,2)}

Si entonces ( distribución z de Fisher ) ${\ Displaystyle X \ sim F (n, m)}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ log {X}} {2}} \ sim \ operatorname {FisherZ} (n, m)}$
La distribución F no central se simplifica a la distribución F si . ${\ Displaystyle \ lambda = 0}$
La distribución F doblemente no central se simplifica a la distribución F si ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2} = 0}$
Si es el cuantil p para y es el cuantil para , entonces ${\ Displaystyle \ operatorname {Q} _ {X} (p)}$ ${\ Displaystyle X \ sim F (d_ {1}, d_ {2})}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Q} _ {Y} (1-p)}$ ${\ Displaystyle 1-p}$ ${\ Displaystyle Y \ sim F (d_ {2}, d_ {1})}$