diagrama de euler -Euler diagram

Un diagrama de Euler que ilustra que el conjunto de "animales con cuatro patas" es un subconjunto de "animales", pero el conjunto de "minerales" es disjunto (no tiene miembros en común) con "animales".
Un diagrama de Euler que muestra las relaciones entre diferentes objetos del Sistema Solar

Un diagrama de Euler ( / ˈ ɔɪ l ər / , OY -lər ) es un medio esquemático para representar conjuntos y sus relaciones. Son particularmente útiles para explicar jerarquías complejas y definiciones superpuestas. Son similares a otra técnica de diagramación de conjuntos, los diagramas de Venn . A diferencia de los diagramas de Venn, que muestran todas las relaciones posibles entre diferentes conjuntos, el diagrama de Euler muestra solo las relaciones relevantes.

El primer uso de "círculos de Euler" se atribuye comúnmente al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783). En los Estados Unidos, los diagramas de Venn y Euler se incorporaron como parte de la enseñanza de la teoría de conjuntos como parte del nuevo movimiento matemático de la década de 1960. Desde entonces, también han sido adoptados por otros campos curriculares como la lectura, así como por organizaciones y empresas.

Los diagramas de Euler consisten en formas cerradas simples en un plano bidimensional, cada una de las cuales representa un conjunto o categoría. Cómo o si estas formas se superponen demuestra las relaciones entre los conjuntos. Cada curva divide el plano en dos regiones o "zonas": la interior, que representa simbólicamente los elementos del conjunto, y la exterior, que representa todos los elementos que no son miembros del conjunto. Las curvas que no se superponen representan conjuntos disjuntos , que no tienen elementos en común. Dos curvas que se superponen representan conjuntos que se cortan , que tienen elementos comunes; la zona dentro de ambas curvas representa el conjunto de elementos comunes a ambos conjuntos (la intersección de los conjuntos). Una curva completamente dentro del interior de otra es un subconjunto de ella.

Los diagramas de Venn son una forma más restrictiva de los diagramas de Euler. Un diagrama de Venn debe contener las 2 n zonas lógicamente posibles de superposición entre sus n curvas, representando todas las combinaciones de inclusión/exclusión de sus conjuntos constituyentes. Las regiones que no forman parte del conjunto se indican coloreándolas de negro, en contraste con los diagramas de Euler, donde la pertenencia al conjunto se indica mediante superposición y color.

Historia

Una página de Lectures on Logic de Hamilton . El simbolismo A, E, I y O se refiere a las declaraciones categóricas que pueden ocurrir en un silogismo . El pequeño texto a la izquierda afirma erróneamente: "El primer empleo de diagramas circulares en lógica atribuido incorrectamente a Euler. Se encuentra en Christian Weise", un libro escrito en realidad por Johann Christian Lange.
A la derecha está la página 74 de Couturat 1914 en la que etiqueta las 8 regiones del diagrama de Venn. El nombre moderno de estas "regiones" es minterms . Estos se muestran a la izquierda con las variables x, y y z según el dibujo de Venn. El simbolismo es el siguiente: el AND lógico ( & ) está representado por la multiplicación aritmética, y el NOT lógico ( ~ ) está representado por " ' " después de la variable, por ejemplo, la región x'y'z se lee como "NO x Y NO y Y z", es decir, ~x & ~y & z.
Tanto el diagrama de Veitch como el mapa de Karnaugh muestran todos los minitérminos , pero el Veitch no es particularmente útil para la reducción de fórmulas. Observe el gran parecido entre los diagramas de Venn y Karnaugh; los colores y las variables x, y y z son según el ejemplo de Venn.

Como se muestra en la ilustración de la derecha, Sir William Hamilton en sus Conferencias sobre metafísica y lógica (1858-1860), publicadas póstumamente, afirma erróneamente que el uso original de los círculos para "sensualizar... las abstracciones de la lógica" (p. 180) no fue Leonhard Paul Euler (1707–1783) sino Christian Weise (1642–1708) en su Nucleus Logicae Weisianae que apareció póstumamente en 1712; sin embargo, este último libro fue escrito en realidad por Johann Christian Lange en lugar de Weise. Hace referencia a las Cartas de Euler a una princesa alemana [Partie II, Lettre XXXV, 17 de febrero de 1791, ed. Cournot (1842), págs. 412–417. – ED.]

En la ilustración de Hamilton, las cuatro proposiciones categóricas que pueden ocurrir en un silogismo simbolizado por los dibujos A, E, I y O son:

  • R: La Afirmativa Universal , Ejemplo: "Todos los metales son elementos".
  • E: El Negativo Universal , Ejemplo: "Ningún metal es una sustancia compuesta".
  • I: La Afirmativa Particular , Ejemplo: "Algunos metales son quebradizos".
  • O: El Negativo Particular , Ejemplo: "Algunos metales no son quebradizos".

En su Capítulo V de Lógica simbólica de 1881 "Representación esquemática", John Venn (1834-1923) comenta sobre la notable prevalencia del diagrama de Euler:

"... de los primeros sesenta tratados lógicos, publicados durante el último siglo más o menos, que fueron consultados con este propósito: -algo al azar, ya que resultaron ser los más accesibles: -parece que treinta y cuatro apelaron a la ayuda de diagramas, casi todos ellos haciendo uso del Esquema Euleriano. (Nota al pie 1 página 100)
Composición de dos páginas 115–116 de Venn 1881 que muestra su ejemplo de cómo convertir un silogismo de tres partes en su tipo de diagrama. Venn llama a los círculos "círculos eulerianos" (cf. Sandifer 2003, Venn 1881: 114, etc.) en el "esquema euleriano" (Venn 1881: 100) de "diagramas eulerianos anticuados" (Venn 1881: 113).

Sin embargo, sostuvo, "la inaplicabilidad de este esquema para los propósitos de una Lógica realmente general" (página 100) y en la página 101 observó que "encaja mal incluso con las cuatro proposiciones de la Lógica común a las que se refiere". normalmente se aplica". Venn finaliza su capítulo con la observación ilustrada en los siguientes ejemplos: que su uso se basa en la práctica y la intuición, no en una práctica algorítmica estricta :

"De hecho... esos diagramas no sólo no encajan con el esquema ordinario de proposiciones que se emplean para ilustrar, sino que no parecen tener ningún esquema reconocido de proposiciones al que puedan afiliarse consistentemente". (págs. 124 y 125)

Finalmente, en su Capítulo XX NOTAS HISTÓRICAS, Venn llega a una crítica crucial (en cursiva en la cita a continuación); observe en la ilustración de Hamilton que la O ( Negativa particular ) y la I ( Afirmativa particular ) simplemente se giran:

"Llegamos ahora a los conocidos círculos de Euler que fueron descritos por primera vez en sus Lettres a une Princesse d'Allemagne (Cartas 102-105). El punto débil de estos consiste en el hecho de que solo ilustran estrictamente las relaciones reales de clases. entre sí, más que el conocimiento imperfecto de estas relaciones que podemos poseer, o desear transmitir, por medio de la proposición. Por consiguiente, no encajarán con las proposiciones de la lógica común, sino que exigirán la constitución de un nuevo grupo de proposiciones elementales apropiadas... Este defecto debe haberse notado desde el principio en el caso de la afirmativa y la negativa particulares, porque el mismo diagrama se emplea comúnmente para representar a ambas, lo que hace indistintamente bien ". (cursiva añadida: página 424)

(Sandifer 2003 informa que Euler también hace tales observaciones; Euler informa que su figura 45 (una simple intersección de dos círculos) tiene 4 interpretaciones diferentes). Cualquiera que sea el caso, armado con estas observaciones y críticas, Venn luego demuestra (págs. 100-125) cómo derivó lo que se conoce como sus diagramas de Venn de los "... diagramas de Euler anticuados". En particular, da un ejemplo, que se muestra a la izquierda.

Para 1914, Louis Couturat (1868–1914) había etiquetado los términos como se muestra en el dibujo de la derecha. Además, también había etiquetado la región exterior (que se muestra como a'b'c'). Explica sucintamente cómo usar el diagrama: uno debe tachar las regiones que van a desaparecer:

"El método de VENN se traduce en diagramas geométricos que representan todos los constituyentes, de modo que, para obtener el resultado, basta con tachar (sombreando) aquellos que los datos del problema hacen desaparecer". (cursiva añadida p. 73)

Dadas las asignaciones de Venn, entonces, las áreas no sombreadas dentro de los círculos se pueden sumar para producir la siguiente ecuación para el ejemplo de Venn:

"Ningún Y es Z y TODO X es Y: por lo tanto Ningún X es Z" tiene la ecuación x'yz' + xyz' + x'y'z para el área no sombreada dentro de los círculos (pero esto no es del todo correcto; vea el párrafo siguiente).

En Venn no aparece el término 0, x'y'z', es decir, el fondo que rodea a los círculos. En ninguna parte se discute o etiqueta, pero Couturat corrige esto en su dibujo. La ecuación correcta debe incluir esta área sin sombrear que se muestra en negrita:

"Ningún Y es Z y TODO X es Y: por lo tanto Ningún X es Z" tiene la ecuación x'yz' + xyz' + x'y'z + x'y'z' .

En el uso moderno, el diagrama de Venn incluye una "caja" que rodea todos los círculos; esto se llama el universo del discurso o el dominio del discurso .

Couturat ahora observa que, de manera algorítmica directa (formal, sistemática), no se pueden derivar ecuaciones booleanas reducidas, ni muestra cómo llegar a la conclusión "Ningún X es Z". Couturat concluyó que el proceso "tiene ... serios inconvenientes como método para resolver problemas lógicos":

"No muestra cómo se exhiben los datos al cancelar ciertos constituyentes, ni muestra cómo combinar los constituyentes restantes para obtener las consecuencias buscadas. En resumen, solo sirve para exhibir un solo paso en el argumento, a saber, el ecuación del problema, no prescinde ni de los pasos anteriores, es decir, "echar el problema en una ecuación" y la transformación de las premisas, ni de los pasos subsiguientes, es decir, las combinaciones que conducen a las diversas consecuencias. es de muy poca utilidad, ya que los constituyentes pueden representarse mediante símbolos algebraicos tanto como mediante regiones planas, y son mucho más fáciles de manejar de esta forma.” (p. 75)

Así el asunto descansaría hasta 1952 cuando Maurice Karnaugh (1924– ) adaptaría y ampliaría un método propuesto por Edward W. Veitch ; este trabajo se basaría en el método de la tabla de verdad definido con precisión en la tesis doctoral de Emil Post de 1921 "Introducción a una teoría general de las proposiciones elementales" y la aplicación de la lógica proposicional a la lógica de conmutación por (entre otros) Claude Shannon , George Stibitz y Alan Turing . Por ejemplo, en el capítulo "Álgebra booleana", Hill y Peterson (1968, 1964) presentan las secciones 4.5ff "Teoría de conjuntos como ejemplo de álgebra booleana", y en él presentan el diagrama de Venn con sombreado y todo. Dan ejemplos de diagramas de Venn para resolver problemas de circuito de conmutación de ejemplo, pero terminan con esta declaración:

"Para más de tres variables, la forma ilustrativa básica del diagrama de Venn es inadecuada. Sin embargo, las extensiones son posibles, la más conveniente de las cuales es el mapa de Karnaugh, que se discutirá en el Capítulo 6". (pág. 64)

En el Capítulo 6, sección 6.4 "Representación del mapa de Karnaugh de funciones booleanas" comienzan con:

"El mapa de Karnaugh 1 [ 1 Karnaugh 1953] es una de las herramientas más poderosas en el repertorio del diseñador lógico... Un mapa de Karnaugh puede considerarse como una forma pictórica de una tabla de verdad o como una extensión del mapa de Venn diagrama." (págs. 103 y 104)

La historia del desarrollo de Karnaugh de su método de "gráfico" o "mapa" es oscura. Karnaugh en su 1953 hizo referencia a Veitch 1951, Veitch hizo referencia a Claude E. Shannon 1938 (esencialmente la tesis de maestría de Shannon en el MIT ), y Shannon a su vez hizo referencia, entre otros autores de textos de lógica, a Couturat 1914. En el método de Veitch, las variables están dispuestas en un rectángulo. o cuadrado; como se describe en el mapa de Karnaugh, Karnaugh en su método cambió el orden de las variables para corresponder a lo que se conoce como (los vértices de) un hipercubo .

Relación entre los diagramas de Euler y Venn

Ejemplos de pequeños diagramas de Venn (a la izquierda) con regiones sombreadas que representan conjuntos vacíos , que muestran cómo se pueden transformar fácilmente en diagramas de Euler equivalentes (derecha)

Los diagramas de Venn son una forma más restrictiva de los diagramas de Euler. Un diagrama de Venn debe contener las 2 n zonas lógicamente posibles de superposición entre sus n curvas, representando todas las combinaciones de inclusión/exclusión de sus conjuntos constituyentes. Las regiones que no forman parte del conjunto se indican coloreándolas de negro, en contraste con los diagramas de Euler, donde la pertenencia al conjunto se indica mediante superposición y color. Cuando el número de conjuntos crece más allá de 3, un diagrama de Venn se vuelve visualmente complejo, especialmente en comparación con el diagrama de Euler correspondiente. La diferencia entre los diagramas de Euler y Venn se puede ver en el siguiente ejemplo. Tome los tres conjuntos:

Los diagramas de Euler y Venn de esos conjuntos son:

En un entorno lógico, se puede utilizar la semántica de la teoría de modelos para interpretar los diagramas de Euler, dentro de un universo de discurso . En los ejemplos a continuación, el diagrama de Euler muestra que los conjuntos Animal y Mineral son disjuntos ya que las curvas correspondientes son disjuntas, y también que el conjunto Cuatro patas es un subconjunto del conjunto Animal s. El diagrama de Venn, que utiliza las mismas categorías de animal , mineral y cuatro patas , no resume estas relaciones. Tradicionalmente, el vacío de un conjunto en los diagramas de Venn se representa sombreando la región. Los diagramas de Euler representan el vacío ya sea por sombreado o por la ausencia de una región.

A menudo se impone un conjunto de condiciones de buena formación; estas son restricciones topológicas o geométricas impuestas a la estructura del diagrama. Por ejemplo, se puede imponer la conexión de zonas, o se puede prohibir la concurrencia de curvas o múltiples puntos, al igual que la intersección tangencial de curvas. En el diagrama adyacente, los ejemplos de pequeños diagramas de Venn se transforman en diagramas de Euler mediante secuencias de transformaciones; algunos de los diagramas intermedios tienen concurrencia de curvas. Sin embargo, este tipo de transformación de un diagrama de Venn con sombreado en un diagrama de Euler sin sombreado no siempre es posible. Hay ejemplos de diagramas de Euler con 9 conjuntos que no se pueden dibujar usando curvas cerradas simples sin la creación de zonas no deseadas, ya que tendrían que tener gráficos duales no planos.

Ejemplo: diagrama de Euler a Venn y mapa de Karnaugh

Este ejemplo muestra los diagramas de Euler y Venn y el mapa de Karnaugh derivando y verificando la deducción "Ningún X es Z ". En la ilustración y la tabla se utilizan los siguientes símbolos lógicos:

  • 1 se puede leer como "verdadero", 0 como "falso"
  • ~ para NOT y abreviado como ' al ilustrar los minitérminos, por ejemplo, x' = definido NOT x,
  • + para OR booleano (del álgebra booleana : 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 1)
  • & (AND lógico) entre proposiciones; en los minitérminos AND se omite de manera similar a la multiplicación aritmética: por ejemplo, x'y'z = definido ~x & ~y & z (Del álgebra booleana: 0·0 = 0, 0·1 = 1·0 = 0, 1·1 = 1, donde se muestra "·" para mayor claridad)
  • → (IMPLICACIÓN lógica): se lee como SI... ENTONCES..., o "IMPLICA", PQdefinido NO P O Q
Antes de que pueda presentarse en un diagrama de Venn o en un Mapa de Karnaugh, el silogismo del diagrama de Euler "Ningún Y es Z , Todo X es Y " primero debe reformularse en el lenguaje más formal del cálculo proposicional : "'No es el caso que : Y Y Z' Y 'Si una X entonces una Y' ". Una vez que las proposiciones se reducen a símbolos y una fórmula proposicional (~(y & z) & (x → y)), uno puede construir la tabla de verdad de la fórmula ; a partir de esta tabla se obtienen fácilmente los mapas de Venn y/o Karnaugh. Mediante el uso de la adyacencia de "1" en el mapa de Karnaugh (indicado por los óvalos grises alrededor de los términos 0 y 1 y alrededor de los términos 2 y 6) se puede "reducir" la ecuación booleana del ejemplo, es decir (x'y'z' + x'y'z) + (x'yz' + xyz') a solo dos términos: x'y' + yz'. Pero los medios para deducir la noción de que "Ningún X es Z", y cómo se relaciona la reducción con esta deducción, no se desprenden de este ejemplo.

Dada una conclusión propuesta como "Ningún X es una Z ", se puede probar si es o no una deducción correcta mediante el uso de una tabla de verdad . El método más fácil es poner la fórmula inicial a la izquierda (abreviarla como P ) y poner la (posible) deducción a la derecha (abreviarla como Q ) y conectar los dos con implicación lógica, es decir , PQ , leído como SI P ENTONCES P. _ Si la evaluación de la tabla de verdad produce todos los 1 bajo el signo de implicación (→, el llamado conectivo mayor ), entonces PQ es una tautología . Dado este hecho, uno puede "separar" la fórmula de la derecha (abreviada como Q ) de la manera descrita debajo de la tabla de verdad.

Dado el ejemplo anterior, la fórmula para los diagramas de Euler y Venn es:

"Ningún Y s es Z s" y "Todos los X son Y s": ( ~(y & z) & (x → y) ) = definido P

Y la deducción propuesta es:

"Ningún X es Z ": ( ~ (x & z) ) = definido Q

Así que ahora la fórmula a evaluar se puede abreviar a:

( ~(y & z) & (x → y) ) → ( ~ (x & z) ): PQ
SI ("Ningún Y es Z " y "Todos los X son Y ") ENTONCES ("Ningún X es Z ")
La tabla de verdad demuestra que la fórmula ( ~(y & z) & (x → y) ) → ( ~ (x & z) ) es una tautología como se muestra con todos los 1 en la columna amarilla.
Cuadrado # Venn, región de Karnaugh X y z (~ (y & z) & (X y)) (~ (X & z))
0 x'y'z'   0 0 0   1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0
1 x'y'z   0 0 1   1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1
2 x'yz'   0 1 0   1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0
3 x'yz   0 1 1   0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1
4 xy'z'   1 0 0   1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0
5 xy'z   1 0 1   1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1
6 xyz'   1 1 0   1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0
7 xyz   1 1 1   0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1

En este punto, la implicación anterior PQ (es decir, ~(y & z) & (x → y) ) → ~(x & z) ) sigue siendo una fórmula, y la deducción: el "desprendimiento" de Q de PQ – no ha ocurrido. Pero dada la demostración de que PQ es tautología, el escenario ahora está listo para el uso del procedimiento de modus ponens para "separar" Q: "No X s son Z s" y prescindir de los términos de la izquierda.

Modus ponens (o "la regla fundamental de inferencia") a menudo se escribe de la siguiente manera: los dos términos de la izquierda, PQ y P , se denominan premisas (por convención unidas por una coma), el símbolo ⊢ significa "rendimientos" (en el sentido de deducción lógica), y el término de la derecha se llama conclusión :

PAGQ , PAGQ

Para que el modus ponens tenga éxito, ambas premisas P → Q y P deben ser verdaderas . Porque, como se demostró anteriormente, la premisa PQ es una tautología, la "verdad" siempre es el caso sin importar cómo se valoren x, y y z, pero la "verdad" solo es el caso para P en aquellas circunstancias cuando P se evalúa como " verdadero" (por ejemplo, filas 0 O 1 O 2 O 6 : x'y'z' + x'y'z + x'yz' + xyz' = x'y' + yz').

PAGQ , PAGQ
  • es decir: ( ~(y & z) & (x → y) ) → ( ~ (x & z) ) , ( ~(y & z) & (x → y) ) ⊢ ( ~ (x & z) )
  • es decir: SI "Ningún Y es Z " y "Todos los X son Y " ENTONCES "Ningún X es Z ", "Ningún Y es Z " y "Todos los X son Y " ⊢ "No Xs son Zs "

Ahora uno es libre de "separar" la conclusión "Ningún X es Z ", tal vez para usarla en una deducción posterior (o como tema de conversación).

El uso de la implicación tautológica significa que existen otras deducciones posibles además de "Ningún X es Z "; el criterio para una deducción exitosa es que los 1 debajo del conectivo submayor de la derecha incluyan todos los 1 debajo del conectivo submayor de la izquierda ( siendo el conectivo mayor la implicación que resulta en la tautología). Por ejemplo, en la tabla de verdad, en el lado derecho de la implicación (→, el símbolo conectivo principal), la columna en negrita debajo del símbolo conectivo secundario " ~ " tiene los mismos 1 que aparecen en negrita. columna enfrentada debajo del subconectivo mayor del lado izquierdo & (filas 0 , 1 , 2 y 6 ), más dos más (filas 3 y 4 ).

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Un diagrama [archivo] de Euler en el que se puede hacer clic que muestra las relaciones entre varias organizaciones y acuerdos europeos multinacionales.

Ver también

notas

Referencias

Otras lecturas

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