Teorema del cuadrilátero de Euler - Euler's quadrilateral theorem

${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = e ^ {2} + f ^ {2} + 4g ^ {2}}$

El teorema del cuadrilátero de Euler o la ley de Euler sobre cuadriláteros , llamado así por Leonhard Euler (1707-1783), describe una relación entre los lados de un cuadrilátero convexo y sus diagonales. Es una generalización de la ley del paralelogramo que, a su vez, puede verse como una generalización del teorema de Pitágoras . Debido a esto último, la reformulación del teorema de Pitágoras en términos de cuadriláteros se denomina ocasionalmente teorema de Euler-Pitágoras .

Teorema y casos especiales

Para un cuadrilátero convexo con lados , diagonales y , y siendo el segmento de línea que conecta los puntos medios de las dos diagonales, se cumplen las siguientes ecuaciones: ${\ Displaystyle a, b, c, d}$${\ Displaystyle e}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g}$

${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = e ^ {2} + f ^ {2} + 4g ^ {2}}$

Si el cuadrilátero es un paralelogramo , entonces los puntos medios de las diagonales coinciden de modo que el segmento de la línea de conexión tiene una longitud 0. Además, los lados paralelos tienen la misma longitud, por lo que el teorema de Euler se reduce a ${\ Displaystyle g}$

${\ Displaystyle 2a ^ {2} + 2b ^ {2} = e ^ {2} + f ^ {2}}$

que es la ley del paralelogramo.

Si el cuadrilátero es un rectángulo , la ecuación se simplifica aún más, ya que ahora las dos diagonales también tienen la misma longitud:

${\ Displaystyle 2a ^ {2} + 2b ^ {2} = 2e ^ {2}}$

Dividir por 2 produce el teorema de Euler-Pitágoras:

${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = e ^ {2}}$

En otras palabras, en el caso de un rectángulo, la relación de los lados del cuadrilátero y sus diagonales se describe mediante el teorema de Pitágoras.

Formulación alternativa y extensiones

Teorema de Euler con paralelogramo

Euler derivó originalmente el teorema anterior como corolario de un teorema ligeramente diferente que requiere la introducción de un punto adicional, pero proporciona una visión más estructural.

Para un cuadrilátero convexo dado, Euler introdujo un punto adicional tal que forma un paralelogramo y luego se cumple la siguiente igualdad: ${\ Displaystyle ABCD}$${\ Displaystyle E}$${\ displaystyle ABED}$

${\ Displaystyle | AB | ^ {2} + | BC | ^ {2} + | CD | ^ {2} + | AD | ^ {2} = | AC | ^ {2} + | BD | ^ {2} + | CE | ^ {2}}$

La distancia entre el punto adicional y el punto del cuadrilátero que no forma parte del paralelogramo se puede pensar en medir cuánto se desvía el cuadrilátero de un paralelogramo y es el término de corrección que debe agregarse a la ecuación original de la ley del paralelogramo. ${\ Displaystyle | CE |}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle | CE | ^ {2}}$

${\ Displaystyle M}$siendo el punto medio de los rendimientos . Dado que es el punto medio de es también el punto medio de , como y son ambas diagonales del paralelogramo . Esto cede y por lo tanto . Por lo tanto, se sigue del teorema de la intersección (y su inverso) que y son paralelos y , lo que produce el teorema de Euler. ${\ displaystyle AC}$${\ Displaystyle {\ tfrac {| AC |} {| AM |}} = 2}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle BD}$${\ displaystyle AE}$${\ displaystyle AE}$${\ Displaystyle BD}$${\ displaystyle ABED}$${\ displaystyle {\ tfrac {| AE |} {| AN |}} = 2}$${\ displaystyle {\ tfrac {| AC |} {| AM |}} = {\ tfrac {| AE |} {| AN |}}}$${\ displaystyle CE}$${\ Displaystyle NM}$${\ Displaystyle | CE | ^ {2} = (2 | NM |) ^ {2} = 4 | NM | ^ {2}}$

El teorema de Euler se puede extender a un conjunto más grande de cuadriláteros, que incluye los cruzados y no planos. Es válido para los llamados cuadriláteros generalizados , que simplemente consisten en cuatro puntos arbitrarios conectados por aristas para que formen un gráfico cíclico . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Notas

Referencias

• Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy: El borde del universo: Celebrando diez años de horizontes matemáticos . MAA, 2006, ISBN  9780883855553 , págs. 137-139
• Lokenath Debnath: El legado de Leonhard Euler: Un tributo del tricentenario . World Scientific, 2010, ISBN  9781848165267 , págs. 105–107
• C. Edward Sandifer: Cómo lo hizo Euler . MAA, 2007, ISBN  9780883855638 , págs. 33–36
• Geoffrey A. Kandall: Teorema de Euler para cuadriláteros generalizados . The College Mathematics Journal, vol. 33, núm. 5 (noviembre de 2002), págs. 403–404 ( JSTOR )
• Dietmar Herrmann: Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen . Springer, 2013, ISBN  9783642376122 , pág. 418

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Cuadrilátero" . MathWorld .