Carga crítica de Euler - Euler's critical load

Fig. 1: Relación tensión crítica vs esbeltez para acero, para E = 200  GPa, límite elástico = 240  MPa .

La carga crítica de Euler es la carga de compresión a la que una columna delgada se doblará o pandeará repentinamente . Está dado por la fórmula:

${\ Displaystyle P_ {cr} = {\ frac {\ pi ^ {2} EI} {(KL) ^ {2}}}}$

dónde

${\ Displaystyle P_ {cr}}$, Carga crítica de Euler (carga de compresión longitudinal en la columna),

${\ Displaystyle E}$, Módulo de Young del material de la columna,

${\ Displaystyle I}$, momento de inercia del área mínima de la sección transversal de la columna,

${\ Displaystyle L}$, longitud de columna no admitida,

${\ Displaystyle K}$, factor de longitud efectiva de la columna

Esta fórmula fue derivada en 1757 por el matemático suizo Leonhard Euler . La columna permanecerá recta para cargas inferiores a la carga crítica. La carga crítica es la carga más grande que no causará deflexión lateral (pandeo). Para cargas mayores que la carga crítica, la columna se desviará lateralmente. La carga crítica coloca a la columna en un estado de equilibrio inestable . Una carga más allá de la carga crítica hace que la columna falle por pandeo . A medida que la carga aumenta más allá de la carga crítica, las deflexiones laterales aumentan, hasta que puede fallar en otros modos, como la deformación del material. La carga de columnas más allá de la carga crítica no se aborda en este artículo.

Alrededor de 1900, JB Johnson demostró que para proporciones bajas de esbeltez se debería utilizar una fórmula alternativa .

Supuestos del modelo

Fig. 2: Factores de longitud efectiva de la columna para la carga crítica de Euler. En el diseño práctico, se recomienda aumentar los factores como se muestra arriba.

Se hacen las siguientes suposiciones al derivar la fórmula de Euler:

1. El material de la columna es homogéneo e isótropo .
2. La carga de compresión en la columna es solo axial.
3. La columna está libre de estrés inicial .
4. Se desprecia el peso de la columna.
5. La columna es inicialmente recta (sin excentricidad de la carga axial).
6. Las uniones de pasador no tienen fricción (sin restricción de momento) y los extremos fijos son rígidos (sin deflexión de rotación).
7. La sección transversal de la columna es uniforme en toda su longitud.
8. La tensión directa es muy pequeña en comparación con la tensión de flexión (el material se comprime solo dentro del rango elástico de deformaciones).
9. La longitud de la columna es muy grande en comparación con las dimensiones de la sección transversal de la columna.
10. La columna falla solo por pandeo. Esto es cierto si el esfuerzo de compresión en la columna no excede el límite elástico (ver figura 1): ${\ Displaystyle \ sigma _ {y}}$

    ${\ Displaystyle \ sigma = {\ frac {P_ {cr}} {A}} = {\ frac {\ pi ^ {2} E} {(L_ {e} / r) ^ {2}}} <\ sigma _ {y}}$

dónde:

${\ textstyle {\ frac {L_ {e}} {r}}}$, relación de esbeltez,

${\ Displaystyle L_ {e} = KL}$, la longitud efectiva,

${\ textstyle r = {\ sqrt {\ operatorname {I} \ over \ operatorname {A}}}}$, radio de giro ,

${\ Displaystyle I}$, momento de inercia del área,

${\ Displaystyle A}$, sección transversal del área.

Para columnas delgadas, la tensión crítica de pandeo suele ser menor que la tensión de fluencia. Por el contrario, una columna robusta puede tener una tensión de pandeo crítica mayor que el rendimiento, es decir, cede antes del pandeo.

Derivación matemática

Columna terminada con pin

El siguiente modelo se aplica a columnas simplemente admitidas en cada extremo ( ). ${\ Displaystyle K = 1}$

En primer lugar, prestaremos atención al hecho de que no hay reacciones en los extremos abisagrados, por lo que tampoco tenemos fuerza de corte en ninguna sección transversal de la columna. La razón de la ausencia de reacciones se puede obtener a partir de la simetría (por lo que las reacciones deben ser en la misma dirección) y del momento de equilibrio (por lo que las reacciones deben ser en direcciones opuestas).

Usando el diagrama de cuerpo libre en el lado derecho de la figura 3 y haciendo una suma de momentos sobre el punto x:

${\ Displaystyle \ Sigma M = 0 \ Rightarrow M (x) + Pw = 0}$

donde w es la deflexión lateral.

Según la teoría de la viga de Euler-Bernoulli , la deflexión de una viga está relacionada con su momento flector por:

${\ Displaystyle M = -EI {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} w} {\ mathrm {d} x ^ {2}}}}$,

Fig.3: Columna terminada con pasador bajo el efecto de la carga de pandeo

entonces:

${\ displaystyle EI {\ frac {d ^ {2} w} {dx ^ {2}}} + Pw = 0}$

Vamos , entonces: ${\ Displaystyle \ lambda ^ {2} = {\ frac {P} {EI}}}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} w} {dx ^ {2}}} + \ lambda ^ {2} w = 0}$

Obtenemos una ecuación diferencial ordinaria homogénea clásica de segundo orden .

Las soluciones generales de esta ecuación son:, donde y son constantes que se determinarán mediante condiciones de contorno , que son: ${\ Displaystyle w (x) = A \ cos (\ lambda x) + B \ sin (\ lambda x)}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

• Extremo izquierdo fijado ${\ displaystyle \ rightarrow w (0) = 0 \ rightarrow A = 0}$
• Extremo derecho clavado ${\ displaystyle \ rightarrow w (l) = 0 \ rightarrow B \ sin (\ lambda l) = 0}$

Fig.4: Primeros tres modos de cargas de pandeo

Si , no existe un momento flector y obtenemos la solución trivial de . ${\ Displaystyle B = 0}$${\ Displaystyle w (x) = 0}$

Sin embargo, de la otra solución que obtenemos , para${\ Displaystyle \ sin (\ lambda l) = 0}$${\ Displaystyle \ lambda _ {n} l = n \ pi}$${\ Displaystyle n = 0,1,2, \ ldots}$

Junto con lo definido anteriormente, las diversas cargas críticas son: ${\ Displaystyle \ lambda ^ {2} = {\ frac {P} {EI}}}$

${\ Displaystyle P_ {n} = {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2} EI} {l ^ {2}}}}$, por ${\ Displaystyle n = 0,1,2, \ ldots}$

y dependiendo del valor de , se producen diferentes modos de pandeo como se muestra en la figura 4. La carga y el modo para n = 0 es el modo sin pandeo. ${\ Displaystyle n}$

Teóricamente, es posible cualquier modo de pandeo, pero en el caso de una carga aplicada lentamente, es probable que se produzca solo la primera forma modal.

La carga crítica de Euler para una columna con extremos de pasador es por lo tanto:

${\ Displaystyle P_ {cr} = {\ frac {\ pi ^ {2} EI} {l ^ {2}}}}$

y la forma obtenida de la columna pandeada en el primer modo es:

${\ Displaystyle w (x) = B \ sin \ left ({\ pi \ over l} x \ right)}$.

Enfoque general

Fig. 5: fuerzas y momentos que actúan sobre una columna.

La ecuación diferencial del eje de una viga es:

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {4} w} {dx ^ {4}}} + {\ frac {P} {EI}} {\ frac {d ^ {2} w} {dx ^ {2} }} = {\ frac {q} {EI}}}$

Para una columna con carga axial únicamente, la carga lateral se desvanece y sustituyendo , obtenemos: ${\ Displaystyle q (x)}$${\ Displaystyle \ lambda ^ {2} = {\ frac {P} {EI}}}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {4} w} {dx ^ {4}}} + \ lambda ^ {2} {\ frac {d ^ {2} w} {dx ^ {2}}} = 0 }$

Esta es una ecuación diferencial homogénea de cuarto orden y su solución general es

${\ Displaystyle w (x) = A \ sin (\ lambda x) + B \ cos (\ lambda x) + Cx + D}$

Las cuatro constantes están determinadas por las condiciones de contorno (restricciones finales) en , en cada extremo. Hay tres casos: ${\ Displaystyle A, B, C, D}$${\ Displaystyle w (x)}$

1. Extremo fijado:

   ${\ Displaystyle w = 0}$ y ${\ displaystyle M = 0 \ rightarrow {d ^ {2} w \ over dx ^ {2}} = 0}$

2. Extremo fijo:

   ${\ Displaystyle w = 0}$ y ${\ Displaystyle {dw \ over dx} = 0}$

3. Extremo libre:

   ${\ displaystyle M = 0 \ rightarrow {d ^ {2} w \ over dx ^ {2}} = 0}$ y ${\ displaystyle V = 0 \ rightarrow {d ^ {3} w \ over dx ^ {3}} + \ lambda ^ {2} {dw \ over dx} = 0}$

Para cada combinación de estas condiciones de contorno, se obtiene un problema de valor propio . Resolviéndolos, obtenemos los valores de la carga crítica de Euler para cada uno de los casos presentados en la Figura 2.

Ver también

• Pandeo
• Momento de flexión
• Doblado
• Teoría del haz de Euler-Bernoulli

Referencias