Teoría ergódica - Ergodic theory

La teoría ergódica (en griego : ἔργον ergon "trabajo", ὁδός hodos "camino") es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades estadísticas de los sistemas dinámicos deterministas ; es el estudio de la ergodicidad . En este contexto, propiedades estadísticas significa propiedades que se expresan a través del comportamiento de promedios de tiempo de varias funciones a lo largo de trayectorias de sistemas dinámicos. La noción de sistemas dinámicos deterministas supone que las ecuaciones que determinan la dinámica no contienen perturbaciones aleatorias, ruido, etc. Por tanto, las estadísticas que nos interesan son propiedades de la dinámica.

La teoría ergódica, como la teoría de la probabilidad, se basa en nociones generales de la teoría de la medida . Su desarrollo inicial estuvo motivado por problemas de física estadística .

Una preocupación central de la teoría ergódica es el comportamiento de un sistema dinámico cuando se le permite funcionar durante mucho tiempo. El primer resultado en esta dirección es el teorema de recurrencia de Poincaré , que afirma que casi todos los puntos en cualquier subconjunto del espacio de fase eventualmente vuelven a visitar el conjunto. Los sistemas para los que se cumple el teorema de recurrencia de Poincaré son sistemas conservadores ; por tanto, todos los sistemas ergódicos son conservadores.

Varios teoremas ergódicos proporcionan información más precisa que afirman que, bajo ciertas condiciones, el promedio de tiempo de una función a lo largo de las trayectorias existe casi en todas partes y está relacionado con el promedio espacial. Dos de los teoremas más importantes son los de Birkhoff (1931) y von Neumann que afirman la existencia de un promedio de tiempo a lo largo de cada trayectoria. Para la clase especial de sistemas ergódicos , este promedio de tiempo es el mismo para casi todos los puntos iniciales: estadísticamente hablando, el sistema que evoluciona durante mucho tiempo "olvida" su estado inicial. También se han estudiado ampliamente propiedades más fuertes, como la mezcla y la equidistribución .

El problema de la clasificación métrica de sistemas es otra parte importante de la teoría ergódica abstracta. Las diversas nociones de entropía para sistemas dinámicos desempeñan un papel destacado en la teoría ergódica y sus aplicaciones a los procesos estocásticos .

Los conceptos de ergodicidad y la hipótesis ergódica son fundamentales para las aplicaciones de la teoría ergódica. La idea subyacente es que para ciertos sistemas el promedio de tiempo de sus propiedades es igual al promedio de todo el espacio. Las aplicaciones de la teoría ergódica a otras partes de las matemáticas suelen implicar el establecimiento de propiedades de ergodicidad para sistemas de tipo especial. En geometría , se han utilizado métodos de teoría ergódica para estudiar el flujo geodésico en variedades de Riemann , comenzando con los resultados de Eberhard Hopf para superficies de Riemann de curvatura negativa. Las cadenas de Markov forman un contexto común para aplicaciones en la teoría de la probabilidad . La teoría ergódica tiene conexiones fructíferas con el análisis armónico , la teoría de Lie ( teoría de la representación , celosías en grupos algebraicos ) y la teoría de números (la teoría de aproximaciones diofánticas , funciones L ).

Transformaciones ergódicas

La teoría ergódica a menudo se ocupa de las transformaciones ergódicas . La intuición detrás de tales transformaciones, que actúan en un conjunto dado, es que hacen un trabajo minucioso "removiendo" los elementos de ese conjunto (por ejemplo, si el conjunto es una cantidad de avena caliente en un tazón, y si una cucharada de almíbar se deja caer en el tazón, luego las iteraciones de la inversa de una transformación ergódica de la avena no permitirán que el jarabe permanezca en una subregión local de la avena, pero distribuirá el jarabe uniformemente en todas partes. Al mismo tiempo, estas iteraciones no comprimen o dilatan cualquier porción de la avena: conservan la medida que es la densidad). Aquí está la definición formal.

Sea T  : XX una transformación que conserva la medida en un espacio de medida ( X , Σ , μ ) , con μ ( X ) = 1 . Entonces T es ergódico si para cada E en Σ con T −1 ( E ) = E , μ ( E ) = 0 o μ ( E ) = 1 .

Ejemplos de

Evolución de un conjunto de sistemas clásicos en el espacio de fase (arriba). Los sistemas son partículas masivas en un pozo de potencial unidimensional (curva roja, figura inferior). El conjunto inicialmente compacto se arremolina con el tiempo y se "extiende por" el espacio de fase. Sin embargo, este no es un comportamiento ergódico ya que los sistemas no visitan bien el potencial izquierdo.
  • Una rotación irracional del círculo R / Z , T : xx + θ, donde θ es irracional , es ergódica. Esta transformación tiene propiedades aún más fuertes de ergodicidad , minimidad y equidistribución únicas . Por el contrario, si θ = p / q es racional (en términos más bajos), entonces T es periódico, con período q , y por lo tanto no puede ser ergódico: para cualquier intervalo I de longitud a , 0 < a <1 / q , su órbita bajo T (es decir, la unión de I , T ( I ), ..., T q −1 ( I ), que contiene la imagen de I bajo cualquier número de aplicaciones de T ) es un T -invariante mod 0 conjunto que es una unión de q intervalos de longitud a , por lo que tiene una medida qa estrictamente entre 0 y 1.
  • Deje que G sea un compacto grupo abeliano , mu la normalizado medida de Haar , y T un automorphism grupo de G . Sea G * el grupo dual de Pontryagin , que consta de los caracteres continuos de G , y T * sea el correspondiente automorfismo adjunto de G *. El automorphism T es ergódica si y sólo si la igualdad ( T *) n ( χ ) =  χ es posible sólo cuando n  = 0 o χ es el personaje trivial de G . En particular, si G es el toro n- dimensional y el automorfismo T está representado por una matriz unimodular A, entonces T es ergódico si y solo si ningún valor propio de A es una raíz de unidad .
  • Un cambio de Bernoulli es ergódico. De manera más general, la ergodicidad de la transformación de desplazamiento asociada con una secuencia de variables aleatorias iid y algunos procesos estacionarios más generales se deriva de la ley cero-uno de Kolmogorov .
  • La ergodicidad de un sistema dinámico continuo significa que sus trayectorias "se extienden alrededor" del espacio de fase . Un sistema con un espacio de fase compacto que tiene una primera integral no constante no puede ser ergódico. Esto se aplica, en particular, a los sistemas hamiltonianos con una primera integral I funcionalmente independiente de la función de Hamilton H y un conjunto de niveles compacto X = {( p , q ): H ( p , q ) = E} de energía constante. El teorema de Liouville implica la existencia de una medida invariante finita en X , pero la dinámica del sistema está restringida a los conjuntos de niveles de I en X , por lo que el sistema posee conjuntos invariantes de medida positiva pero menos que completa. Una propiedad de los sistemas dinámicos continuos que es lo opuesto a la ergodicidad es la integrabilidad completa .

Teoremas ergódicos

Sea T : XX una transformación que conserva la medida en un espacio de medida ( X , Σ, μ ) y suponga que ƒ es una función μ -integrable, es decir, ƒ ∈ L 1 ( μ ). Luego definimos los siguientes promedios :

Promedio de tiempo: esto se define como el promedio (si existe) sobre iteraciones de T a partir de algún punto inicial x :

Promedio espacial: Si μ ( X ) es finito y distinto de cero, podemos considerar el promedio espacial o de fase de ƒ:

En general, el promedio de tiempo y el promedio de espacio pueden ser diferentes. Pero si la transformación es ergódica y la medida es invariante, entonces el promedio temporal es igual al promedio espacial en casi todas partes . Este es el célebre teorema ergódico, en forma abstracta debido a George David Birkhoff . (En realidad, el artículo de Birkhoff no considera el caso general abstracto, sino solo el caso de sistemas dinámicos que surgen de ecuaciones diferenciales en una variedad suave.) El teorema de equidistribución es un caso especial del teorema ergódico, que trata específicamente de la distribución de probabilidades en la unidad intervalo.

Más precisamente, el teorema ergódico puntual o fuerte establece que el límite en la definición del promedio de tiempo de ƒ existe para casi cada x y que la función límite (definida casi en todas partes) ƒ̂ es integrable:

Además, es T- invariante, es decir

se mantiene en casi todas partes, y si μ ( X ) es finito, entonces la normalización es la misma:

En particular, si T es ergódico, entonces ƒ̂ debe ser una constante (casi en todas partes), y entonces uno tiene que

Casi en cualquier parte. Uniendo la primera con la última afirmación y asumiendo que μ ( X ) es finito y distinto de cero, se tiene que

para casi todo x , es decir, para todo x excepto para un conjunto de medida cero.

Para una transformación ergódica, el tiempo promedio es igual al promedio espacial casi con seguridad.

Como ejemplo, suponga que el espacio de medida ( X , Σ, μ ) modela las partículas de un gas como se indicó anteriormente, y sea ƒ ( x ) la velocidad de la partícula en la posición x . Entonces, los teoremas ergódicos puntuales dicen que la velocidad promedio de todas las partículas en un momento dado es igual a la velocidad promedio de una partícula a lo largo del tiempo.

Una generalización del teorema de Birkhoff es el teorema ergódico subaditivo de Kingman .

Formulación probabilística: teorema de Birkhoff-Khinchin

Teorema de Birkhoff-Khinchin . Sea ƒ mensurable, E (| ƒ |) <∞, y T sea ​​un mapa que preserva la medida. Entonces con probabilidad 1 :

donde es la esperanza condicional dada la σ-álgebra de conjuntos invariantes de T .

Corolario ( Teorema ergódico puntual ): En particular, si T también es ergódico, entonces es el σ-álgebra trivial, y por lo tanto con probabilidad 1:

Teorema ergódico de la media

El teorema ergódico de la media de Von Neumann se cumple en los espacios de Hilbert.

Sea U un operador unitario en un espacio de Hilbert H ; más generalmente, un operador lineal isométrico (es decir, un operador lineal no necesariamente sobreyectivo que satisface ‖ Ux ‖ = ‖ x ‖ para todo x en H , o de manera equivalente, que satisface U * U = I, pero no necesariamente UU * = I). Sea P la proyección ortogonal sobre { ψ  ∈  H  |   = ψ} = ker ( I  -  U ).

Entonces, para cualquier x en H , tenemos:

donde el límite es con respecto a la norma en H . En otras palabras, la secuencia de promedios

converge a P en la topología de operador fuerte .

De hecho, no es difícil ver que en este caso cualquiera admite una descomposición ortogonal en partes de y respectivamente. La primera parte es invariante en todas las sumas parciales a medida que crece, mientras que para la última parte, de la serie telescópica se tendría:

Este teorema se especializa en el caso en el que el espacio de Hilbert H consta de L 2 funciones en un espacio de medida y U es un operador de la forma

donde T es un endomorfismo de X que conserva la medida , que en las aplicaciones se considera que representa un paso de tiempo de un sistema dinámico discreto. El teorema ergódico afirma entonces que el comportamiento promedio de una función f en escalas de tiempo suficientemente grandes se aproxima por la componente ortogonal de f, que es invariante en el tiempo.

En otra forma del teorema ergódico media, vamos U t ser un fuertemente continua de grupo de un parámetro de operadores unitarios en H . Entonces el operador

converge en la topología de operador fuerte como T → ∞. De hecho, este resultado también se extiende al caso de un semigrupo de operadores contractivos de un parámetro fuertemente continuo en un espacio reflexivo.

Observación: Se puede desarrollar cierta intuición para el teorema ergódico de la media considerando el caso en el que los números complejos de unidades de longitud se consideran transformaciones unitarias en el plano complejo (por multiplicación por la izquierda). Si elegimos un solo número complejo de unidad de longitud (que consideramos U ), es intuitivo que sus poderes llenarán el círculo. Dado que el círculo es simétrico alrededor de 0, tiene sentido que los promedios de las potencias de U converjan a 0. Además, 0 es el único punto fijo de U , por lo que la proyección en el espacio de puntos fijos debe ser el operador cero. (que concuerda con el límite que se acaba de describir).

Convergencia de las medias ergódicas en las normas L p

Sea ( X , Σ, μ ) como arriba un espacio de probabilidad con una medida que conserva la transformación T , y sea 1 ≤ p ≤ ∞. La expectativa condicional con respecto a la sub-σ-álgebra Σ T de los conjuntos T -invariantes es un proyector lineal E T de la norma 1 del espacio de Banach L p ( X , Σ, μ ) en su subespacio cerrado L p ( X , Σ T , μ ) Este último también puede ser caracterizado como el espacio de todos T -invariant L p -Funciones en X . Las medias ergódicas, como operadores lineales en L p ( X , Σ, μ ) también tienen norma de operador unitario; y, como una simple consecuencia del teorema de Birkhoff-Khinchin, convergen al proyector E T en la topología de operador fuerte de L p si 1 ≤ p ≤ ∞, y en la topología de operador débil si p = ∞. Más es cierto si 1 < p ≤ ∞ entonces el teorema de convergencia dominada ergódica de Wiener – Yoshida – Kakutani establece que las medias ergódicas de ƒ ∈ L p están dominadas en L p ; sin embargo, si ƒ ∈ L 1 , los medios ergódicos pueden no ser equidominados en L p . Finalmente, si se supone que ƒ está en la clase Zygmund, eso es | ƒ | log + (| ƒ |) es integrable, entonces las medias ergódicas están incluso dominadas en L 1 .

Tiempo de estancia

Sea ( X , Σ, μ ) un espacio de medida tal que μ ( X ) es finito y distinto de cero. El tiempo empleado en un conjunto A medible se denomina tiempo de estancia . Una consecuencia inmediata del teorema ergódico es que, en un sistema ergódico, la medida relativa de A es igual al tiempo medio de estancia :

para todos x excepto para un conjunto de medida cero, donde χ A es la función indicadora de A .

Los tiempos de ocurrencia de un conjunto medible A se define como el conjunto k 1 , k 2 , k 3 , ..., de tiempos k tales que T k ( x ) está en A , ordenados en orden creciente. Las diferencias entre los tiempos de ocurrencia consecutivos R i = k i - k i -1 son llamados los tiempos de recurrencia de A . Otra consecuencia del teorema ergódico es que el tiempo de recurrencia promedio de A es inversamente proporcional a la medida de A , asumiendo que el punto inicial x está en A , de modo que k 0 = 0.

(Ver casi con seguridad ). Es decir, cuanto más pequeña es A , más tiempo se tarda en volver a ella.

Flujos ergódicos en colectores

La ergodicidad del flujo geodésico en superficies compactas de Riemann de curvatura negativa variable y en variedades compactas de curvatura negativa constante de cualquier dimensión fue probada por Eberhard Hopf en 1939, aunque se habían estudiado casos especiales anteriormente: ver, por ejemplo, los billares de Hadamard (1898). y Billar Artin (1924). La relación entre los flujos geodésicos en las superficies de Riemann y los subgrupos de un parámetro en SL (2, R ) fue descrita en 1952 por SV Fomin e IM Gelfand . El artículo sobre flujos de Anosov proporciona un ejemplo de flujos ergódicos en SL (2, R ) y en superficies de Riemann de curvatura negativa. Gran parte del desarrollo allí descrito se generaliza a variedades hiperbólicas, ya que pueden verse como cocientes del espacio hiperbólico por la acción de una red en el grupo de Lie semisimple SO (n, 1) . La ergodicidad del flujo geodésico en los espacios simétricos de Riemann fue demostrada por FI Mautner en 1957. En 1967 DV Anosov y Ya. G. Sinai demostró la ergodicidad del flujo geodésico en colectores compactos de curvatura seccional negativa variable . Calvin C. Moore en 1966 dio un criterio simple para la ergodicidad de un flujo homogéneo en un espacio homogéneo de un grupo de Lie semisimple . Muchos de los teoremas y resultados de esta área de estudio son típicos de la teoría de la rigidez .

En la década de 1930, GA Hedlund demostró que el flujo del horociclo en una superficie hiperbólica compacta es mínimo y ergódico. Ergodicity único del flujo fue establecido por Hillel Furstenberg en 1972. teoremas de Ratner proporcionan una importante generalización de ergodicity para flujos unipotentes en los espacios homogéneos de la forma Γ \  G , donde G es un grupo de Lie y Γ es un enrejado en  G .

En los últimos 20 años, se han realizado muchos trabajos tratando de encontrar un teorema de clasificación de medidas similar a los teoremas de Ratner pero para acciones diagonalizables, motivados por conjeturas de Furstenberg y Margulis . Elon Lindenstrauss demostró un resultado parcial importante (resolviendo esas conjeturas con una suposición adicional de entropía positiva) , y recibió la medalla Fields en 2010 por este resultado.

Ver también

Referencias

Referencias históricas

Referencias modernas

enlaces externos