Teoría K algebraica equivariante - Equivariant algebraic K-theory

Para la teoría K topológica equivariante, consulte la teoría K topológica .

En matemáticas, la teoría K algebraica equivariante es una teoría K algebraica asociada a la categoría de haces coherentes equivariantes en un esquema algebraico X con acción de un grupo algebraico lineal G , a través de la construcción Q de Quillen ; así, por definición, ${\ Displaystyle \ operatorname {Coh} ^ {G} (X)}$

{\ Displaystyle K_ {i} ^ {G} (X) = \ pi _ {i} (B ^ {+} \ operatorname {Coh} ^ {G} (X)).}

En particular, es el grupo de Grothendieck . La teoría fue desarrollada por RW Thomason en la década de 1980. Específicamente, demostró análogos equivariantes de teoremas fundamentales como el teorema de localización. ${\ Displaystyle K_ {0} ^ {G} (C)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Coh} ^ {G} (X)}$

De manera equivalente, se puede definir como el de la categoría de roldanas coherentes en la pila de cociente . (Por lo tanto, la teoría K equivariante es un caso específico de la teoría K de una pila ). ${\ Displaystyle K_ {i} ^ {G} (X)}$ ${\ Displaystyle K_ {i}}$ ${\ Displaystyle [X / G]}$

Una versión del teorema del punto fijo de Lefschetz es válida en el marco de la teoría K equivariante (algebraica).

Teoremas fundamentales

Sea X un esquema algebraico equivariante.

Teorema de localización : dada una inmersión cerrada de esquemas algebraicos equivariantes y una inmersión abierta , existe una secuencia larga y exacta de grupos ${\ Displaystyle Z \ hookrightarrow X}$ ${\ Displaystyle ZU \ hookrightarrow X}$

{\ Displaystyle \ cdots \ to K_ {i} ^ {G} (Z) \ to K_ {i} ^ {G} (X) \ to K_ {i} ^ {G} (U) \ to K_ {i- 1} ^ {G} (Z) \ to \ cdots}

Ejemplos de

Uno de los ejemplos fundamentales de grupos de teoría K equivariantes son los grupos K equivariantes de roldanas coherentes -equivariantes en puntos a, entonces . Dado que es equivalente a la categoría de representaciones de dimensiones finitas . Entonces, el grupo de Grothendieck , denotado es . ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle K_ {i} ^ {G} (*)}$ ${\ Displaystyle {\ text {Coh}} ^ {G} (*)}$ ${\ Displaystyle {\ text {Rep}} (G)}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle {\ text {Rep}} (G)}$ ${\ Displaystyle R (G)}$ ${\ Displaystyle K_ {0} ^ {G} (*)}$

Anillo toro

Dado un toro algebraico, una representación de dimensión finita viene dada por una suma directa de módulos -dimensionales llamados pesos de . Existe un isomorfismo explícito entre y dado enviando a su carácter asociado. ${\ Displaystyle \ mathbb {T} \ cong \ mathbb {G} _ {m} ^ {k}}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle K _ {\ mathbb {T}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [t_ {1}, \ ldots, t_ {k}]}$ ${\ Displaystyle [V]}$

Referencias

N. Chris y V. Ginzburg, Teoría de la representación y geometría compleja, Birkhäuser, 1997.
Baum, P., Fulton, W., Quart, G .: Lefschetz Riemann Roch para variedades singulares. Acta. Matemáticas. 143, 193–211 (1979)
Thomason, RW: Teoría K algebraica de acciones de esquema de grupo. En: Browder, W. (ed.) Topología algebraica y teoría K algebraica. (Ann. Math. Stud., Vol. 113, págs. 539 563) Princeton: Princeton University Press 1987
Thomason, RW: Teorema de Lefschetz-Riemann-Roch y fórmula de seguimiento coherente. Inventar. Matemáticas. 85, 515–543 (1986)
Thomason, RW, Trobaugh, T .: Teoría K algebraica superior de esquemas y categorías derivadas. En: Cartier, P., Illusie, L., Katz, NM, Laumon, G., Manin, Y., Ribet, KA (eds.) The Grothendieck Festschrift, vol. III. (Prog. Math. Vol. 88, págs. 247 435) Boston Basel Berlín: Birkhfiuser 1990
Thomason, RW, Une formule de Lefschetz en K-théorie équivariante algébrique, Duke Math. J. 68 (1992), 447–462.

Otras lecturas

Dan Edidin, Riemann – Roch para pilas Deligne – Mumford , 2012

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