Sobre (matemáticas) - Envelope (mathematics)

Construcción de la envolvente de una familia de curvas.

En geometría , una envolvente de una familia plana de curvas es una curva que es tangente a cada miembro de la familia en algún punto, y estos puntos de tangencia juntos forman la envolvente completa. Clásicamente, un punto de la envolvente se puede considerar como la intersección de dos curvas " infinitesimalmente adyacentes", es decir, el límite de intersecciones de curvas cercanas. Esta idea se puede generalizar a una envolvente de superficies en el espacio, y así sucesivamente a dimensiones superiores.

Para tener una envolvente, es necesario que los miembros individuales de la familia de curvas sean curvas diferenciables, ya que el concepto de tangencia no se aplica de otra manera, y tiene que haber una transición suave procediendo a través de los miembros. Pero estas condiciones no son suficientes: una familia determinada puede no tener un sobre. Un ejemplo simple de esto lo da una familia de círculos concéntricos de radio en expansión.

Envolvente de una familia de curvas

Sea cada curva C _t de la familia como la solución de una ecuación f _t ( x ,  y ) = 0 (ver curva implícita ), donde t es un parámetro. Escriba F ( t ,  x ,  y ) = f _t ( x ,  y ) y suponga que F es diferenciable.

La envolvente de la familia C _t se define entonces como el conjunto de puntos ( x , y ) para los cuales, simultáneamente, ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$

${\ Displaystyle F (t, x, y) = 0 ~~ {\ mathsf {y}} ~~ {\ parcial F \ sobre \ parcial t} (t, x, y) = 0}$

para algún valor de t , donde es la derivada parcial de F con respecto a t . ${\ Displaystyle \ F parcial / \ t parcial}$

Si t y u , t ≠ u son dos valores del parámetro, entonces la intersección de las curvas C _t y C _u está dada por

${\ Displaystyle F (t, x, y) = F (u, x, y) = 0 \,}$

o equivalente,

${\ Displaystyle F (t, x, y) = 0 ~~ {\ mathsf {y}} ~~ {\ frac {F (u, x, y) -F (t, x, y)} {ut}} = 0.}$

Dejando u → t da la definición anterior.

Un caso especial importante es cuando F ( t ,  x ,  y ) es un polinomio en t . Esto incluye, al borrar denominadores , el caso en el que F ( t ,  x ,  y ) es una función racional en t . En este caso, la definición equivale a que t es una raíz doble de F ( t ,  x ,  y ), por lo que la ecuación de la envolvente se puede encontrar estableciendo el discriminante de F en 0 (porque la definición exige F = 0 en algún ty primera derivada = 0, es decir, su valor 0 y es mínimo / máximo en ese t).

Por ejemplo, sea C _t ser la línea cuya x y Y intercepta están t y 11- t , esto se muestra en la animación de arriba. La ecuación de C _t es

${\ Displaystyle {\ frac {x} {t}} + {\ frac {y} {11-t}} = 1}$

o, aclarando fracciones,

${\ Displaystyle x (11-t) + yt-t (11-t) = t ^ {2} + (- x + y-11) t + 11x = 0. \,}$

La ecuación de la envolvente es entonces

${\ Displaystyle (-x + y-11) ^ {2} -44x = (xy) ^ {2} -22 (x + y) + 121 = 0. \,}$

A menudo, cuando F no es una función racional del parámetro, puede reducirse a este caso mediante una sustitución adecuada. Por ejemplo, si la familia está dada por C _θ con una ecuación de la forma u ( x ,  y ) cos θ + v ( x ,  y ) sin θ = w ( x ,  y ), entonces poniendo t = e ^{i θ} , cos θ = ( t + 1 / t ) / 2, sin θ = ( t -1 / t ) / 2 i cambia la ecuación de la curva a

${\ Displaystyle u {1 \ over 2} (t + {1 \ over t}) + v {1 \ over 2i} (t- {1 \ over t}) = w}$

o

${\ Displaystyle (u-iv) t ^ {2} -2wt + (u + iv) = 0. \,}$

La ecuación de la envolvente se obtiene estableciendo el discriminante en 0:

${\ Displaystyle (u-iv) (u + iv) -w ^ {2} = 0 \,}$

o

${\ Displaystyle u ^ {2} + v ^ {2} = w ^ {2}. \,}$

Definiciones alternativas

1. La envolvente E ₁ es el límite de intersecciones de las curvas cercanas C _t .
2. La envolvente E ₂ es una curva tangente a todos los C _t .
3. La envolvente E ₃ es el límite de la región llena por las curvas C _t .

Entonces , y , donde es el conjunto de puntos definidos al comienzo de la sección principal de esta subsección. ${\ Displaystyle E_ {1} \ subseteq {\ mathcal {D}}}$${\ Displaystyle E_ {2} \ subseteq {\ mathcal {D}}}$${\ Displaystyle E_ {3} \ subseteq {\ mathcal {D}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$

Ejemplos de

Ejemplo 1

Estas definiciones E ₁ , E ₂ y E ₃ de la envolvente pueden ser conjuntos diferentes. Considere, por ejemplo, la curva y = x ³ parametrizada por γ: R → R ² donde γ ( t ) = ( t , t ³ ) . La familia de curvas de un parámetro vendrá dada por las rectas tangentes a γ.

Primero calculamos el discriminante . La función generadora es ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$

${\ Displaystyle F (t, (x, y)) = 3t ^ {2} xy-2t ^ {3}.}$

Cálculo de la derivada parcial F _t = 6 t ( x - t ) . De ello se deduce que x = t o t = 0 . Primero suponga que x = t y t ≠ 0 . Sustituyendo en F: y así, asumiendo que t ≠ 0, se sigue que F = F _t = 0 si y solo si ( x , y ) = ( t , t ³ ) . Luego, asumiendo que t = 0 y sustituyendo en F da F (0, ( x , y )) = - y . Entonces, asumiendo t = 0 , se sigue que F = F _t = 0 si y solo si y = 0 . Por lo tanto, el discriminante es la curva original y su línea tangente en γ (0): ${\ Displaystyle F (t, (t, y)) = t ^ {3} -y \,}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}: y = x ^ {3} \} \ cup \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}: y = 0 \} \.}$

A continuación, calculamos E ₁ . Una curva viene dada por F ( t , ( x , y )) = 0 y una curva cercana está dada por F ( t + ε, ( x , y )) donde ε es un número muy pequeño. El punto de intersección proviene de mirar el límite de F ( t , ( x , y )) =  F ( t + ε, ( x , y )) cuando ε tiende a cero. Observe que F ( t , ( x , y )) =  F ( t + ε, ( x , y )) si y solo si

${\ displaystyle L: = F (t, (x, y)) - F (t + \ varepsilon, (x, y)) = 2 \ varepsilon ^ {3} +6 \ varepsilon t ^ {2} +6 \ varepsilon ^ {2} t- (3 \ varepsilon ^ {2} +6 \ varepsilon t) x = 0.}$

Si t ≠ 0, entonces L tiene un solo factor de ε. Suponiendo que t ≠ 0, entonces la intersección está dada por

${\ Displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {1} {\ varepsilon}} L = 6t (tx) \.}$

Dado que t ≠ 0, se sigue que x = t . El valor de y se calcula sabiendo que este punto debe estar en una línea tangente a la curva original γ: que F ( t , ( x , y )) = 0 . Sustituir y resolver da y = t ³ . Cuando t = 0 , L es divisible por ε ² . Suponiendo que t = 0, entonces la intersección está dada por

${\ Displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {1} {\ varepsilon ^ {2}}} L = 3x \.}$

De ello se deduce que x = 0 , y sabiendo que F ( t , ( x , y )) = 0 da y = 0 . Resulta que

${\ Displaystyle E_ {1} = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}: y = x ^ {3} \} \.}$

A continuación, calculamos E ₂ . La curva en sí es la curva que es tangente a todas sus propias líneas tangentes. Resulta que

${\ Displaystyle E_ {2} = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}: y = x ^ {3} \} \.}$

Finalmente calculamos E ₃ . Cada punto en el plano tiene al menos una línea tangente a γ que lo atraviesa, por lo que la región llena por las líneas tangentes es el plano completo. El límite E ₃ es, por tanto, el conjunto vacío. De hecho, considere un punto en el plano, digamos ( x ₀ , y ₀ ). Este punto se encuentra en una recta tangente si y sólo si existe una t tal que

${\ Displaystyle F (t, (x_ {0}, y_ {0})) = 3t ^ {2} x_ {0} -y_ {0} -2t ^ {3} = 0 \.}$

Este es un cúbico en t y, como tal, tiene al menos una solución real. De ello se deduce que al menos una recta tangente a γ debe pasar por cualquier punto dado del plano. Si y > x ³ e y > 0, entonces cada punto ( x , y ) tiene exactamente una recta tangente a γ que la atraviesa. Lo mismo es cierto si y < x ³ y <0 . Si y < x ³ y y > 0, entonces cada punto ( x , y ) tiene exactamente tres líneas tangentes distintas a γ que lo atraviesan. Lo mismo es cierto si y > x ³ e y <0 . Si y = x ³ y y ≠ 0 entonces cada punto ( x , y ) tiene exactamente dos rectas tangentes a γ que lo atraviesan (esto corresponde al cúbico que tiene una raíz ordinaria y una raíz repetida). Lo mismo es cierto si y ≠ x ³ e y = 0 . Si y = x ³ y x = 0 , es decir, x = y = 0 , entonces este punto tiene una sola línea tangente a γ que lo atraviesa (esto corresponde al cúbico que tiene una raíz real de multiplicidad 3). Resulta que

${\ Displaystyle E_ {3} = \ varnothing.}$

Ejemplo 2

Esta gráfica da la envolvente de la familia de líneas que conectan los puntos ( t , 0), (0, k - t ), en la que k toma el valor 1.

En el arte de las cuerdas es común interconectar dos líneas de pines igualmente espaciados. ¿Qué curva se forma?

Por simplicidad, configurar los pines en el x - y Y -axes; un diseño no ortogonal es una rotación y un escalado . Un hilo de línea recta general conecta los dos puntos (0, k - t ) y ( t , 0), donde k es una constante de escala arbitraria, y la familia de líneas se genera variando el parámetro t . De la geometría simple, la ecuación de esta línea recta es y = - ( k  -  t ) x / t + k  -  t . Reordenando y fundiendo en la forma F ( x , y , t ) = 0 da:

${\ Displaystyle F (x, y, t) = - {\ frac {kx} {t}} - t + x + ky = 0 \,}$

(1)

Ahora diferencia F ( x , y , t ) con respecto a t y establece el resultado igual a cero, para obtener

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial F (x, y, t)} {\ parcial t}} = {\ frac {kx} {t ^ {2}}} - 1 = 0 \,}$

(2)

Estas dos ecuaciones definen conjuntamente la ecuación de la envolvente. De (2) tenemos:

${\ Displaystyle t = {\ sqrt {kx}} \,}$

Sustituyendo este valor de t en (1) y simplificando da una ecuación para la envolvente:

${\ Displaystyle y = ({\ sqrt {x}} - {\ sqrt {k}}) ^ {2} \,}$

(3)

O, reorganizando en una forma más elegante que muestra la simetría entre xey:

${\ Displaystyle {\ sqrt {x}} + {\ sqrt {y}} = {\ sqrt {k}}}$

(4)

Podemos tomar una rotación de los ejes en el que el b eje es la línea y = x nordeste orientado y el un eje es la línea y = -x sureste orientado. Estos nuevos ejes están relacionados con los ejes xy originales por x = (b + a) / √ 2 e y = (ba) / √ 2 . Obtenemos, después de la sustitución en (4) y la expansión y simplificación,

${\ Displaystyle b = {\ frac {1} {k {\ sqrt {2}}}} a ^ {2} + {\ frac {k} {2 {\ sqrt {2}}}}}$,

(5)

que aparentemente es la ecuación de una parábola con eje a lo largo de a = 0 , o y = x .

Ejemplo 3

Sea I ⊂ R un intervalo abierto y sea γ: I → R ² una curva plana suave parametrizada por la longitud del arco . Considere la familia de un parámetro de líneas normales a γ ( I ). Una línea es normal a γ en γ ( t ) si pasa por γ ( t ) y es perpendicular al vector tangente a γ en γ ( t ). Sea T el vector unitario tangente a γ y sea N el vector unitario normal . Usando un punto para denotar el producto escalar , la familia generadora para la familia de un parámetro de líneas normales viene dada por F  : I × R ² → R donde

${\ Displaystyle F (t, {\ mathbf {x}}) = ({\ mathbf {x}} - \ gamma (t)) \ cdot {\ mathbf {T}} (t) \.}$

Claramente ( x - γ) · T = 0 si y solo si x - γ es perpendicular a T , o de manera equivalente, si y solo si x - γ es paralelo a N , o de manera equivalente, si y solo si x = γ + λ N para algunos λ ∈ R . Resulta que

${\ Displaystyle L_ {t_ {0}}: = \ {{\ mathbf {x}} \ in \ mathbb {R} ^ {2}: F (t_ {0}, {\ mathbf {x}}) = 0 \}}$

es exactamente la línea normal a γ en γ ( t ₀ ). Para encontrar el discriminante de F necesitamos calcular su derivada parcial con respecto a t :

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial F} {\ parcial t}} (t, {\ mathbf {x}}) = \ kappa (t) ({\ mathbf {x}} - \ gamma (t)) \ cdot {\ mathbf {N}} (t) -1 \,}$

donde κ es la curvatura de la curva plana de γ. Se ha visto que F = 0 si y sólo si x - γ = λ N para algunos λ ∈ R . Suponiendo que F = 0 da

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial F} {\ parcial t}} = \ lambda \ kappa (t) -1 \.}$

Suponiendo que κ ≠ 0, se sigue que λ = 1 / κ y así

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} = \ gamma (t) + {\ frac {1} {\ kappa (t)}} {\ mathbf {N}} (t) \.}$

Ésta es exactamente la evolución de la curva γ.

Ejemplo 4

Un astroide como la envolvente de la familia de líneas que conectan los puntos ( s , 0), (0, t ) con s ²  +  t ²  = 1

El siguiente ejemplo muestra que, en algunos casos, la envolvente de una familia de curvas puede verse como el límite topológico de una unión de conjuntos, cuyos límites son las curvas de la envolvente. Para y considere el triángulo rectángulo (abierto) en un plano cartesiano con vértices , y${\ Displaystyle s> 0}$${\ Displaystyle t> 0}$${\ displaystyle (0,0)}$${\ displaystyle (s, 0)}$${\ displaystyle (0, t)}$

${\ Displaystyle T_ {s, t}: = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {2}: \ {\ frac {x} {s}} + {\ frac {y} {t}} <1 \ right \}.}$

Fije un exponente y considere la unión de todos los triángulos sujetos a la restricción , que es el conjunto abierto ${\ Displaystyle \ alpha> 0}$${\ Displaystyle T_ {s, t}}$${\ Displaystyle \ textstyle s ^ {\ alpha} + t ^ {\ alpha} = 1}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {\ alpha}: = \ bigcup _ {s ^ {\ alpha} + t ^ {\ alpha} = 1} T_ {s, t}.}$

Para escribir una representación cartesiana , comience con cualquiera , satisfactorio y cualquiera . La desigualdad de Hölder en con respecto a los exponentes conjugados y da: ${\ Displaystyle \ textstyle \ Delta _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ textstyle s> 0}$${\ Displaystyle \ textstyle t> 0}$${\ Displaystyle \ textstyle s ^ {\ alpha} + t ^ {\ alpha} = 1}$${\ Displaystyle \ textstyle (x, y) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle p: = 1 + {\ frac {1} {\ alpha}}}$${\ Displaystyle \ textstyle q: = {1+ \ alpha}}$

${\ displaystyle x ^ {\ frac {\ alpha} {\ alpha +1}} + y ^ {\ frac {\ alpha} {\ alpha +1}} \ leq \ left ({\ frac {x} {s} } + {\ frac {y} {t}} \ right) ^ {\ frac {\ alpha} {\ alpha +1}} {\ Big (} s ^ {\ alpha} + t ^ {\ alpha} {\ Grande)} ^ {\ frac {1} {\ alpha +1}} = \ left ({\ frac {x} {s}} + {\ frac {y} {t}} \ right) ^ {\ frac { \ alpha} {\ alpha +1}}}$,

con igualdad si y solo si . En términos de una unión de conjuntos, la última desigualdad dice: el punto pertenece al conjunto , es decir, pertenece a alguno con , si y solo si satisface ${\ Displaystyle \ textstyle s: \, t = x ^ {\ frac {1} {1+ \ alpha}}: \, y ^ {\ frac {1} {1+ \ alpha}}}$${\ Displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ Delta _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ textstyle T_ {s, t}}$${\ Displaystyle \ textstyle s ^ {\ alpha} + t ^ {\ alpha} = 1}$

${\ displaystyle x ^ {\ frac {\ alpha} {\ alpha +1}} + y ^ {\ frac {\ alpha} {\ alpha +1}} <1.}$

Además, el límite del conjunto es la envolvente de la familia correspondiente de segmentos de línea. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ Delta _ {\ alpha}}$

${\ Displaystyle \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {2}: \ {\ frac {x} {s}} + {\ frac {y} {t}} = 1 \ right \} \, \ qquad s ^ {\ alpha} + t ^ {\ alpha} = 1}$

(es decir, las hipotenusas de los triángulos), y tiene una ecuación cartesiana

${\ displaystyle x ^ {\ frac {\ alpha} {\ alpha +1}} + y ^ {\ frac {\ alpha} {\ alpha +1}} = 1.}$

Observe que, en particular, el valor da el arco de parábola del Ejemplo 2 , y el valor (lo que significa que todas las hipotenusas son segmentos de longitud unitaria) da el astroide . ${\ Displaystyle \ alpha = 1}$${\ Displaystyle \ alpha = 2}$

Ejemplo 5

La envolvente de las órbitas de los proyectiles (con velocidad inicial constante) es una parábola cóncava. La velocidad inicial es de 10 m / s. Tomamos g = 10 m / s ² .

Consideramos el siguiente ejemplo de envolvente en movimiento. Suponga que a la altura inicial 0, se lanza un proyectil al aire con velocidad inicial constante v pero diferentes ángulos de elevación θ. Sea x el eje horizontal en la superficie de movimiento y denote y el eje vertical. Entonces el movimiento da el siguiente sistema dinámico diferencial :

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = - g, \; {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = 0, }$

que cumple cuatro condiciones iniciales :

${\ Displaystyle {\ frac {dx} {dt}} {\ bigg |} _ {t = 0} = v \ cos \ theta, \; {\ frac {dy} {dt}} {\ bigg |} _ { t = 0} = v \ sin \ theta, \; x {\ bigg |} _ {t = 0} = y {\ bigg |} _ {t = 0} = 0.}$

Aquí t denota el tiempo de movimiento, θ es el ángulo de elevación, g denota la aceleración gravitacional y v es la velocidad inicial constante (no la velocidad ). La solución del sistema anterior puede tomar una forma implícita :

${\ displaystyle F (x, y, \ theta) = x \ tan \ theta - {\ frac {gx ^ {2}} {2v ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}} - y = 0. }$

Para encontrar su ecuación de envolvente, se puede calcular la derivada deseada:

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial F} {\ parcial \ theta}} = {\ frac {x} {\ cos ^ {2} \ theta}} - {\ frac {gx ^ {2} \ tan \ theta } {v ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}} = 0.}$

Al eliminar θ, se puede llegar a la siguiente ecuación de envolvente:

${\ Displaystyle y = {\ frac {v ^ {2}} {2g}} - {\ frac {g} {2v ^ {2}}} x ^ {2}.}$

Claramente, la envolvente resultante también es una parábola cóncava .

Envolvente de una familia de superficies

Una familia de superficies de un parámetro en el espacio euclidiano tridimensional viene dada por un conjunto de ecuaciones

${\ Displaystyle F (x, y, z, a) = 0}$

dependiendo de un parámetro real a . Por ejemplo, los planos tangentes a una superficie a lo largo de una curva en la superficie forman tal familia.

Dos superficies correspondientes a diferentes valores a y a 'se cruzan en una curva común definida por

${\ Displaystyle F (x, y, z, a) = 0, \, \, {F (x, y, z, a ^ {\ prime}) - F (x, y, z, a) \ over a ^ {\ prime} -a} = 0.}$

En el límite cuando a 'se acerca a a , esta curva tiende a una curva contenida en la superficie en un

${\ Displaystyle F (x, y, z, a) = 0, \, \, {\ parcial F \ sobre \ parcial a} (x, y, z, a) = 0.}$

Esta curva se denomina característica de la familia en a . A medida que a varía, el lugar de estas curvas características define una superficie llamada envoltura de la familia de superficies.

La envolvente de una familia de superficies es tangente a cada superficie de la familia a lo largo de la curva característica en esa superficie.

Generalizaciones

La idea de una envolvente de una familia de subvariedades suaves sigue de forma natural. En general, si tenemos una familia de subvariedades con codimensión c, entonces necesitamos tener al menos una familia de parámetros c de tales subvariedades. Por ejemplo: una familia de curvas de un parámetro en tres espacios ( c = 2) no tiene, genéricamente, una envolvente.

Aplicaciones

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Las envolventes están conectadas al estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y, en particular, a soluciones singulares de EDO. Considere, por ejemplo, la familia de un parámetro de rectas tangentes a la parábola y = x ² . Estos están dados por la familia generadora F ( t , ( x , y )) = t ² - 2 tx + y . El conjunto de nivel cero F ( t ₀ , ( x , y )) = 0 da la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto ( t ₀ , t ₀ ² ). La ecuación t ² - 2 tx + y = 0 siempre se puede resolver para y como una función de x y, por lo tanto, considere

${\ Displaystyle t ^ {2} -2tx + y (x) = 0. \}$

Sustituyendo

${\ Displaystyle t = \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) / 2}$

da la EDO

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2} \! \! - 4x {\ frac {dy} {dx}} + 4y = 0.}$

No es sorprendente que y  = 2 tx  -  t ² sean todas soluciones para esta EDO. Sin embargo, la envolvente de esta familia de líneas de un parámetro, que es la parábola y  =  x ² , también es una solución para esta EDO. Otro ejemplo famoso es la ecuación de Clairaut .

Ecuaciones diferenciales parciales

Las envolventes se pueden utilizar para construir soluciones más complicadas de ecuaciones diferenciales parciales (PDE) de primer orden a partir de otras más simples. Sea F ( x , u , D u ) = 0 una PDE de primer orden, donde x es una variable con valores en un conjunto abierto Ω ⊂  R ⁿ , u es una función desconocida de valor real, D u es el gradiente de u , y F es una función continuamente diferenciable que es regular en D u . Suponga que u ( x ; a ) es una familia de soluciones de parámetros m : es decir, para cada a  ∈  A  ⊂  R ^m fija , u ( x ; a ) es una solución de la ecuación diferencial. Se puede construir una nueva solución de la ecuación diferencial resolviendo primero (si es posible)

${\ Displaystyle D_ {a} u (x; a) = 0 \,}$

para a  = φ ( x ) en función de x . La envolvente de la familia de funciones { u (·, a )} _{a ∈ A} está definida por

${\ Displaystyle v (x) = u (x; \ varphi (x)), \ quad x \ in \ Omega,}$

y también resuelve la ecuación diferencial (siempre que exista como una función continuamente diferenciable).

Geométricamente, la gráfica de v ( x ) es en todas partes tangente a la gráfica de algún miembro de la familia u ( x ; a ). Dado que la ecuación diferencial es de primer orden, solo pone una condición en el plano tangente al gráfico, de modo que cualquier función en todas partes tangente a una solución también debe ser una solución. La misma idea subyace a la solución de una ecuación de primer orden como integral del cono de Monge . El cono de Monge es un campo de cono en el R ^{n +1} de las variables ( x , u ) recortadas por la envolvente de los espacios tangentes al PDE de primer orden en cada punto. Una solución de la PDE es entonces una envolvente del campo del cono.

En la geometría de Riemann , si una familia suave de geodésicas a través de un punto P en una variedad de Riemann tiene una envolvente, entonces P tiene un punto conjugado donde cualquier geodésica de la familia se cruza con la envolvente. Lo mismo es cierto de manera más general en el cálculo de variaciones : si una familia de extremales a un funcional a través de un punto dado P tiene un sobre, a continuación, a un punto en un extremal intersecta el sobre es un punto conjugado a P .

Cáusticos

Cáustico reflectante generado a partir de un círculo y rayos paralelos.

En óptica geométrica , un cáustico es la envoltura de una familia de rayos de luz . En esta imagen hay un arco de círculo. Los rayos de luz (que se muestran en azul) provienen de una fuente en el infinito y, por lo tanto, llegan paralelos. Cuando golpean el arco circular, los rayos de luz se dispersan en diferentes direcciones de acuerdo con la ley de reflexión . Cuando un rayo de luz golpea el arco en un punto, la luz se reflejará como si hubiera sido reflejada por la línea tangente del arco en ese punto. Los rayos de luz reflejados dan una familia de líneas de un solo parámetro en el plano. La envolvente de estas líneas es el cáustico reflectante . Un cáustico reflectante generalmente constará de puntos lisos y puntos de cúspide ordinarios .

Desde el punto de vista del cálculo de variaciones, el principio de Fermat (en su forma moderna) implica que los rayos de luz son los extremos de la longitud funcional.

${\ Displaystyle L [\ gamma] = \ int _ {a} ^ {b} | \ gamma '(t) | \, dt}$

entre curvas suaves γ en [ a , b ] con puntos finales fijos γ ( a ) y γ ( b ). El cáustico determinado por un punto dado P (en la imagen el punto está en el infinito) es el conjunto de puntos conjugados a P .

Principio de Huygens

La luz puede pasar a través de medios anisotrópicos no homogéneos a diferentes velocidades según la dirección y la posición inicial de un rayo de luz. El límite del conjunto de puntos a los que la luz puede viajar desde un punto dado q después de un tiempo t se conoce como el frente de onda después del tiempo t , denotado aquí por Φ _q ( t ). Consiste precisamente en los puntos a los que se puede llegar desde q en el tiempo t viajando a la velocidad de la luz. El principio de Huygens afirma que el conjunto de frente de onda Φ _{q 0} ( s + t ) es la envolvente de la familia de frentes de onda Φ _q ( s ) para q  ∈ Φ _{q 0} ( t ). De manera más general, el punto q ₀ podría reemplazarse por cualquier curva, superficie o conjunto cerrado en el espacio.

Ver también

• Superficie reglada
• Cáustico (matemáticas)

Referencias

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Sobre" . MathWorld .
• "Envolvente de una familia de curvas planas" en MathCurve.