Geometría elíptica - Elliptic geometry

La geometría elíptica es un ejemplo de una geometría en la que no se cumple el postulado paralelo de Euclides . En cambio, como en la geometría esférica , no hay líneas paralelas ya que dos líneas cualesquiera deben cruzarse. Sin embargo, a diferencia de la geometría esférica, generalmente se supone que dos líneas se cruzan en un solo punto (en lugar de dos). Debido a esto, la geometría elíptica descrita en este artículo a veces se denomina geometría elíptica única, mientras que la geometría esférica a veces se denomina geometría elíptica doble .

La aparición de esta geometría en el siglo XIX estimuló el desarrollo de la geometría no euclidiana en general, incluida la geometría hiperbólica .

La geometría elíptica tiene una variedad de propiedades que difieren de las de la geometría plana euclidiana clásica. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es siempre mayor que 180 °.

Definiciones

En geometría elíptica, dos líneas perpendiculares a una línea dada deben cruzarse. De hecho, todas las perpendiculares de un lado se cruzan en un solo punto llamado polo absoluto de esa línea. Las perpendiculares del otro lado también se cruzan en un punto. Sin embargo, a diferencia de la geometría esférica, los polos de ambos lados son iguales. Esto se debe a que no hay puntos antípodas en la geometría elíptica. Por ejemplo, esto se logra en el modelo hiperesférico (descrito a continuación) haciendo que los "puntos" en nuestra geometría sean realmente pares de puntos opuestos en una esfera. La razón para hacer esto es que permite que la geometría elíptica satisfaga el axioma de que hay una línea única que pasa por dos puntos cualesquiera.

Cada punto corresponde a una línea polar absoluta de la que es el polo absoluto. Cualquier punto de esta línea polar forma un par conjugado absoluto con el polo. Este par de puntos es ortogonal y la distancia entre ellos es un cuadrante .

La distancia entre un par de puntos es proporcional al ángulo entre sus polares absolutos.

Como explica HSM Coxeter :

El nombre "elíptico" es posiblemente engañoso. No implica ninguna conexión directa con la curva llamada elipse, sino solo una analogía bastante inverosímil. Una cónica central se llama elipse o hipérbola según no tenga asíntotas o dos asíntotas . De manera análoga, se dice que un plano no euclidiano es elíptico o hiperbólico según que cada una de sus líneas no contenga ningún punto en el infinito o dos puntos en el infinito.

Dos dimensiones

Plano elíptico

El plano elíptico es el plano proyectivo real provisto de una métrica : Kepler y Desargues usaron la proyección gnomónica para relacionar un plano σ con puntos en un hemisferio tangente a él. Con O el centro del hemisferio, un punto P en σ determina una línea OP que corta al hemisferio, y cualquier línea L ⊂ σ determina un plano OL que corta al hemisferio en la mitad de un gran círculo . El hemisferio está delimitado por un plano que pasa por O y es paralelo a σ. Ninguna línea ordinaria de σ corresponde a este plano; en su lugar, se agrega una línea en el infinito a σ. Como cualquier línea en esta extensión de σ corresponde a un plano que pasa por O, y dado que cualquier par de tales planos se interseca en una línea que pasa por O, se puede concluir que cualquier par de líneas en la extensión se interseca: el punto de intersección se encuentra donde el plano la intersección se encuentra con σ o la línea en el infinito. Así se confirma el axioma de la geometría proyectiva, que requiere que todos los pares de líneas en un plano se intersequen.

Dados P y Q en σ, la distancia elíptica entre ellos es la medida del ángulo POQ , generalmente tomado en radianes. Arthur Cayley inició el estudio de la geometría elíptica cuando escribió "Sobre la definición de distancia". Esta aventura en la abstracción de la geometría fue seguida por Felix Klein y Bernhard Riemann que condujeron a la geometría no euclidiana y la geometría riemanniana .

Comparación con la geometría euclidiana

Comparación de geometrías elípticas, euclidianas e hiperbólicas en dos dimensiones

En la geometría euclidiana, una figura se puede escalar hacia arriba o hacia abajo indefinidamente, y las figuras resultantes son similares, es decir, tienen los mismos ángulos y las mismas proporciones internas. En geometría elíptica, este no es el caso. Por ejemplo, en el modelo esférico podemos ver que la distancia entre dos puntos debe ser estrictamente menor que la mitad de la circunferencia de la esfera (porque se identifican los puntos antípodas). Por lo tanto, un segmento de línea no puede ampliarse indefinidamente. Un geómetra que mide las propiedades geométricas del espacio que habita puede detectar, a través de medidas, que existe una cierta escala de distancia que es una propiedad del espacio. En escalas mucho más pequeñas que esta, el espacio es aproximadamente plano, la geometría es aproximadamente euclidiana y las figuras se pueden escalar hacia arriba y hacia abajo sin dejar de ser aproximadamente similares.

Gran parte de la geometría euclidiana se traslada directamente a la geometría elíptica. Por ejemplo, el primero y el cuarto de los postulados de Euclides, que hay una línea única entre dos puntos cualesquiera y que todos los ángulos rectos son iguales, se sostienen en la geometría elíptica. El postulado 3, que se puede construir un círculo con cualquier centro y radio dados, falla si "cualquier radio" se toma como "cualquier número real", pero se mantiene si se toma como "la longitud de cualquier segmento de línea dado". Por lo tanto, cualquier resultado en la geometría euclidiana que se siga de estos tres postulados se mantendrá en la geometría elíptica, como la proposición 1 del libro I de los Elementos , que establece que, dado cualquier segmento de recta, se puede construir un triángulo equilátero con el segmento como base.

La geometría elíptica también es como la geometría euclidiana en que el espacio es continuo, homogéneo, isotrópico y sin límites. La isotropía está garantizada por el cuarto postulado, que todos los ángulos rectos son iguales. Para un ejemplo de homogeneidad, observe que la proposición I.1 de Euclides implica que el mismo triángulo equilátero se puede construir en cualquier ubicación, no solo en ubicaciones que son especiales de alguna manera. La falta de límites se deriva del segundo postulado, la extensibilidad de un segmento de línea.

Una forma en que la geometría elíptica difiere de la geometría euclidiana es que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180 grados. En el modelo esférico, por ejemplo, se puede construir un triángulo con vértices en las ubicaciones donde los tres ejes de coordenadas cartesianas positivas intersecan la esfera, y sus tres ángulos internos son 90 grados, sumando 270 grados. Para triángulos suficientemente pequeños, el exceso de más de 180 grados puede hacerse arbitrariamente pequeño.

El teorema de Pitágoras falla en geometría elíptica. En el triángulo de 90 ° –90 ° –90 ° descrito anteriormente, los tres lados tienen la misma longitud y, en consecuencia, no satisfacen . El resultado pitagórico se recupera en el límite de pequeños triángulos.

La relación entre la circunferencia de un círculo y su área es menor que en la geometría euclidiana. En general, el área y el volumen no se escalan como la segunda y tercera potencias de las dimensiones lineales.

Espacio elíptico (el caso 3D)

Nota: Esta sección utiliza el término "espacio elíptico" para referirse específicamente a la geometría elíptica tridimensional. Esto contrasta con la sección anterior, que trataba sobre geometría elíptica bidimensional. Los cuaterniones se utilizan para dilucidar este espacio.

El espacio elíptico se puede construir de manera similar a la construcción del espacio vectorial tridimensional: con clases de equivalencia . Se utilizan arcos dirigidos sobre grandes círculos de la esfera. Así como los segmentos de línea dirigidos son equipollentes cuando son paralelos, de la misma longitud y orientados de manera similar, los arcos dirigidos que se encuentran en los círculos máximos son equipollentes cuando tienen la misma longitud, orientación y círculo mayor. Estas relaciones de equipollencia producen el espacio vectorial 3D y el espacio elíptico, respectivamente.

El acceso a la estructura del espacio elíptico se proporciona a través del álgebra vectorial de William Rowan Hamilton : visualizó una esfera como un dominio de raíces cuadradas de menos uno. Entonces la fórmula de Euler (donde r está en la esfera) representa el gran círculo en el plano que contiene 1 y r . Los puntos opuestos ry - r corresponden a círculos dirigidos de manera opuesta. Un arco entre θ y φ es equivalente a uno entre 0 y φ - θ. En el espacio elíptico, la longitud del arco es menor que π, por lo que los arcos se pueden parametrizar con θ en [0, π) o (–π / 2, π / 2].

Pues se dice que el módulo o norma de z es uno (Hamilton lo llamó tensor de z). Pero dado que r se extiende sobre una esfera en el espacio tridimensional, exp (θ r) varía sobre una esfera en el espacio cuádruple, ahora llamada esfera tridimensional, ya que su superficie tiene tres dimensiones. Hamilton llamó a su álgebra cuaterniones y rápidamente se convirtió en una herramienta útil y celebrada de las matemáticas. Su espacio de cuatro dimensiones se desarrolla en coordenadas polares con t en los números reales positivos .

Al hacer trigonometría en la Tierra o en la esfera celeste , los lados de los triángulos son grandes arcos de círculo. El primer éxito de los cuaterniones fue una traducción de la trigonometría esférica al álgebra. Hamilton llamó a un cuaternión de norma uno versor , y estos son los puntos del espacio elíptico.

Con r fijo, los versors

forman una línea elíptica . La distancia de a 1 es a . Para un versor u arbitrario  , la distancia será θ para la cual cos θ = ( u + u ) / 2 ya que esta es la fórmula para la parte escalar de cualquier cuaternión.

Un movimiento elíptico se describe mediante el mapeo de cuaterniones.

donde u y v son versores fijos.

Las distancias entre puntos son las mismas que entre los puntos de imagen de un movimiento elíptico. En el caso de que u y v son conjugados cuaternión uno de otro, el movimiento es una rotación espacial , y su parte vector es el eje de rotación. En el caso de u = 1, el movimiento elíptico se denomina traslación de Clifford a la derecha o parataxia . El caso v = 1 corresponde a la traducción de Clifford a la izquierda.

Las líneas elípticas que atraviesan el versor  u pueden tener la forma

o para una r fija  .

Son las traslaciones de Clifford derecha e izquierda de  u a lo largo de una línea elíptica que pasa por 1. El espacio elíptico se forma a partir de S 3 identificando los puntos antípodas.

El espacio elíptico tiene estructuras especiales llamadas paralelos de Clifford y superficies de Clifford .

Los puntos versores del espacio elíptico son mapeados por la transformada de Cayley a ℝ 3 para una representación alternativa del espacio.

Espacios de mayor dimensión

Modelo hiperesférico

El modelo hiperesférico es la generalización del modelo esférico a dimensiones superiores. Los puntos de n espaciales elíptica -dimensional son los pares de vectores unitarios ( x , - x ) en R n 1 , es decir, pares de puntos opuestos en la superficie de la bola unidad en ( n  + 1) espacio -dimensional ( la hiperesfera n- dimensional). Las líneas en este modelo son círculos máximos , es decir, intersecciones de la hiperesfera con hiperesuperficies planas de dimensión n que pasan por el origen.

Geometría elíptica proyectiva

En el modelo proyectivo de geometría elíptica, los puntos del espacio proyectivo real n- dimensional se utilizan como puntos del modelo. Esto modela una geometría elíptica abstracta que también se conoce como geometría proyectiva .

Los puntos del espacio proyectivo n- dimensional se pueden identificar con líneas a través del origen en el espacio ( n  + 1) -dimensional, y se pueden representar de forma no exclusiva mediante vectores distintos de cero en R n +1 , entendiendo que u y λ u , para cualquier escalar λ distinto de cero  , representan el mismo punto. La distancia se define usando la métrica

es decir, la distancia entre dos puntos es el ángulo entre sus líneas correspondientes en R n +1 . La fórmula de la distancia es homogénea en cada variable, con du , μ v ) = d ( u ,  v ) si λ y μ son escalares distintos de cero, por lo que define una distancia en los puntos del espacio proyectivo.

Una propiedad notable de la geometría elíptica proyectiva es que para dimensiones uniformes, como el plano, la geometría no es orientable . Borra la distinción entre rotación en sentido horario y antihorario identificándolos.

Modelo estereográfico

Mediante proyección estereográfica se puede obtener un modelo que represente el mismo espacio que el modelo hiperesférico . Sea E n la representación de R n ∪ {∞}, es decir, el espacio real n- dimensional extendido por un solo punto en el infinito. Podemos definir una métrica, la métrica cordal , en E n por

donde u y v son dos vectores cualesquiera en R n y es la norma euclidiana habitual. También definimos

El resultado es un espacio métrico en E n , que representa la distancia a lo largo de una cuerda de los puntos correspondientes en el modelo hiperesférico, al que se mapea bijetivamente por proyección estereográfica. Obtenemos un modelo de geometría esférica si usamos la métrica

La geometría elíptica se obtiene identificando los puntos u y - u , y tomando la distancia de v a este par como el mínimo de las distancias de v a cada uno de estos dos puntos.

Autoconsistencia

Dado que la geometría elíptica esférica se puede modelar como, por ejemplo, un subespacio esférico de un espacio euclidiano, se deduce que si la geometría euclidiana es autoconsistente, también lo es la geometría elíptica esférica. Por tanto, no es posible probar el postulado paralelo basado en los otros cuatro postulados de la geometría euclidiana.

Tarski demostró que la geometría euclidiana elemental es completa : existe un algoritmo que, para cada proposición, puede demostrar que es verdadera o falsa. (Esto no viola el teorema de Gödel , porque la geometría euclidiana no puede describir una cantidad suficiente de aritmética para que se aplique el teorema). Por lo tanto, se deduce que la geometría elíptica elemental también es autoconsistente y completa.

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos