Teoría de Einstein-Cartan - Einstein–Cartan theory

En física teórica , la teoría de Einstein-Cartan , también conocida como la teoría de Einstein-Cartan-Sciama-Kibble , es una teoría clásica de la gravitación similar a la relatividad general . La teoría fue propuesta por primera vez por Élie Cartan en 1922. La teoría de Einstein-Cartan es la teoría del calibre de Poincaré más simple .

Visión general

La teoría de Einstein-Cartan se diferencia de la relatividad general de dos maneras: (1) se formula dentro del marco de la geometría de Riemann-Cartan, que posee una simetría de Lorentz calibrada localmente, mientras que la relatividad general se formula dentro del marco de la geometría de Riemann, que no lo hace. ; (2) se plantea un conjunto adicional de ecuaciones que relacionan la torsión con el giro. Esta diferencia puede tenerse en cuenta

relatividad general (Einstein-Hilbert) → relatividad general (Palatini) → Einstein-Cartan

reformulando primero la relatividad general en una geometría de Riemann-Cartan, reemplazando la acción de Einstein-Hilbert sobre la geometría de Riemann por la acción de Palatini sobre la geometría de Riemann-Cartan; y segundo, eliminar la restricción de torsión cero de la acción de Palatini, lo que da como resultado el conjunto adicional de ecuaciones para el giro y la torsión, así como la adición de términos adicionales relacionados con el giro en las propias ecuaciones de campo de Einstein.

La teoría de la relatividad general se formuló originalmente en el marco de la geometría de Riemann por la acción de Einstein-Hilbert , de la cual surgen las ecuaciones de campo de Einstein . En el momento de su formulación original, no existía el concepto de geometría de Riemann-Cartan. Tampoco había una conciencia suficiente del concepto de simetría de calibre para comprender que las geometrías de Riemann no poseen la estructura necesaria para incorporar una simetría de Lorentz calibrada localmente , tal como se requeriría para poder expresar ecuaciones de continuidad y leyes de conservación para rotacional y impulso. simetrías, o para describir espinores en geometrías espaciotemporales curvas. El resultado de agregar esta infraestructura es una geometría de Riemann-Cartan. En particular, para poder describir espinores se requiere la inclusión de una estructura de espín , que es suficiente para producir tal geometría.

La principal diferencia entre una geometría de Riemann-Cartan y la geometría de Riemann es que en la primera, la conexión afín es independiente de la métrica, mientras que en la última se deriva de la métrica como la conexión Levi-Civita , siendo la diferencia entre las dos referido como la contorsion . En particular, la parte antisimétrica de la conexión (denominada torsión ) es cero para las conexiones Levi-Civita, como una de las condiciones definitorias para tales conexiones.

Debido a que la contorsión se puede expresar linealmente en términos de la torsión, entonces también es posible traducir directamente la acción de Einstein-Hilbert en una geometría de Riemann-Cartan, el resultado es la acción de Palatini (ver también variación de Palatini ). Se deriva reescribiendo la acción de Einstein-Hilbert en términos de la conexión afín y luego planteando por separado una restricción que fuerza tanto a la torsión como a la contorsión a ser cero, lo que obliga a la conexión afín a ser igual a la conexión Levi-Civita. Debido a que es una traducción directa de las ecuaciones de acción y campo de la relatividad general, expresada en términos de la conexión Levi-Civita, esto puede considerarse como la teoría de la relatividad general, en sí misma, transpuesta al marco de la geometría de Riemann-Cartan.

La teoría de Einstein-Cartan relaja esta condición y, en consecuencia, relaja la suposición de la relatividad general de que la conexión afín tiene una parte antisimétrica que desaparece ( tensor de torsión ). La acción utilizada es la misma que la acción Palatini, excepto que se elimina la restricción de la torsión. Esto da como resultado dos diferencias con respecto a la relatividad general: (1) las ecuaciones de campo ahora se expresan en términos de conexión afín, en lugar de la conexión Levi-Civita, y por lo tanto tienen términos adicionales en las ecuaciones de campo de Einstein que involucran la contorsion que no están presentes en el ecuaciones de campo derivadas de la formulación de Palatini; (2) ahora está presente un conjunto adicional de ecuaciones que acoplan la torsión al momento angular intrínseco ( espín ) de la materia, de la misma manera en que la conexión afín se acopla a la energía y al momento de la materia. En la teoría de Einstein-Cartan, la torsión es ahora una variable en el principio de acción estacionaria que está acoplada a una formulación espaciotemporal curva de espín (el tensor de espín ). Estas ecuaciones adicionales expresan la torsión linealmente en términos del tensor de espín asociado con la fuente de materia, lo que implica que la torsión generalmente no es cero dentro de la materia.

Una consecuencia de la linealidad es que fuera de la materia hay torsión cero, por lo que la geometría exterior sigue siendo la misma que se describiría en la relatividad general. Las diferencias entre la teoría de Einstein-Cartan y la relatividad general (formulada en términos de la acción de Einstein-Hilbert sobre la geometría de Riemann o la acción de Palatini sobre la geometría de Riemann-Cartan) se basan únicamente en lo que sucede con la geometría dentro de las fuentes de materia. Es decir: "la torsión no se propaga". Se han considerado generalizaciones de la acción de Einstein-Cartan que permiten propagar la torsión.

Debido a que las geometrías de Riemann-Cartan tienen la simetría de Lorentz como una simetría de gauge local, es posible formular las leyes de conservación asociadas. En particular, considerar los tensores métricos y de torsión como variables independientes da la correcta generalización de la ley de conservación para el momento angular total (orbital más intrínseco) a la presencia del campo gravitacional.

Historia

La teoría fue propuesta por primera vez por Élie Cartan en 1922 y expuesta en los años siguientes. Albert Einstein se afilió a la teoría en 1928 durante su fallido intento de hacer coincidir la torsión con el tensor del campo electromagnético como parte de una teoría de campo unificado. Esta línea de pensamiento lo llevó a la teoría relacionada pero diferente del teleparallelismo .

Dennis Sciama y Tom Kibble revisaron de forma independiente la teoría en la década de 1960, y en 1976 se publicó una revisión importante.

La teoría de Einstein-Cartan ha sido eclipsada históricamente por su contraparte libre de torsión y otras alternativas como la teoría de Brans-Dicke porque la torsión parecía agregar poco beneficio predictivo a expensas de la manejabilidad de sus ecuaciones. Dado que la teoría de Einstein-Cartan es puramente clásica, tampoco aborda completamente el tema de la gravedad cuántica . En la teoría de Einstein-Cartan, la ecuación de Dirac se vuelve no lineal y, por lo tanto, el principio de superposición utilizado en las técnicas de cuantificación habituales no funcionaría. Recientemente, el interés en la teoría de Einstein-Cartan se ha dirigido hacia implicaciones cosmológicas , lo más importante, la evitación de una singularidad gravitacional al comienzo del universo. La teoría se considera viable y sigue siendo un tema activo en la comunidad de la física.

Ecuaciones de campo

Las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general se pueden derivar postulando que la acción de Einstein-Hilbert es la verdadera acción del espacio-tiempo y luego variando esa acción con respecto al tensor métrico. Las ecuaciones de campo de la teoría de Einstein-Cartan provienen exactamente del mismo enfoque, excepto que se supone una conexión afín asimétrica general en lugar de la conexión simétrica Levi-Civita (es decir, se supone que el espacio-tiempo tiene torsión además de curvatura ), y luego la la métrica y la torsión se varían de forma independiente.

Vamos a representar la densidad de Lagrange de la materia y representan la densidad de Lagrange del campo gravitatorio. La densidad lagrangiana para el campo gravitacional en la teoría de Einstein-Cartan es proporcional al escalar de Ricci :

donde es el determinante del tensor métrico, y es una constante física que involucra la constante gravitacional y la velocidad de la luz . Según el principio de Hamilton , la variación de la acción total del campo gravitacional y la materia se desvanece:

La variación con respecto al tensor métrico produce las ecuaciones de Einstein:

donde es el tensor de Ricci y es el tensor canónico tensión-energía-momento . El tensor de Ricci ya no es simétrico porque la conexión contiene un tensor de torsión distinto de cero; por lo tanto, el lado derecho de la ecuación tampoco puede ser simétrico, lo que implica que debe incluir una contribución asimétrica que se pueda demostrar que está relacionada con el tensor de espín . Este tensor canónico de energía-momento está relacionado con el tensor simétrico de energía-momento más familiar mediante el procedimiento de Belinfante-Rosenfeld .

La variación con respecto al tensor de torsión produce las ecuaciones de conexión de espín de Cartan

donde está el tensor de espín . Debido a que la ecuación de torsión es una restricción algebraica en lugar de una ecuación diferencial parcial , el campo de torsión no se propaga como una onda y desaparece fuera de la materia. Por lo tanto, en principio, la torsión puede eliminarse algebraicamente de la teoría a favor del tensor de espín, que genera una auto-interacción no lineal "espín-espín" efectiva dentro de la materia.

Evitación de singularidades

Los teoremas de singularidad que se basan y se formulan dentro del marco de la geometría de Riemann (por ejemplo , los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking ) no tienen por qué ser válidos en la geometría de Riemann-Cartan. En consecuencia, la teoría de Einstein-Cartan puede evitar el problema relativista general de la singularidad en el Big Bang . El acoplamiento mínimo entre la torsión y los espinores de Dirac genera una auto-interacción espín-espín no lineal efectiva, que se vuelve significativa dentro de la materia fermiónica a densidades extremadamente altas. Se conjetura que tal interacción reemplazará el Big Bang singular con un Big Bounce similar a una cúspide en un factor de escala mínimo pero finito , antes del cual el universo observable se contraía. Este escenario también explica por qué el Universo actual en escalas más grandes parece espacialmente plano, homogéneo e isotrópico, proporcionando una alternativa física a la inflación cósmica . La torsión permite que los fermiones se extiendan espacialmente en lugar de "puntos" , lo que ayuda a evitar la formación de singularidades como los agujeros negros y elimina la divergencia ultravioleta en la teoría cuántica de campos. Según la relatividad general, el colapso gravitacional de una masa suficientemente compacta forma un agujero negro singular. En la teoría de Einstein-Cartan, en cambio, el colapso alcanza un rebote y forma un puente regular de Einstein-Rosen ( agujero de gusano ) hacia un nuevo universo en crecimiento al otro lado del horizonte de eventos .

Ver también

Referencias

Otras lecturas