Aproximación eikonal - Eikonal approximation

En la física teórica , la aproximación eikonal ( griego εἰκών para semejanza, icono o imagen) es un método aproximado útil en la onda de dispersión de ecuaciones que se producen en la óptica , sismología , mecánica cuántica , la electrodinámica cuántica , y de ampliación de ondas parcial .

Descripción informal

La principal ventaja que ofrece la aproximación eikonal es que las ecuaciones se reducen a una ecuación diferencial en una sola variable. Esta reducción a una sola variable es el resultado de la aproximación en línea recta o la aproximación eikonal que nos permite elegir la línea recta como una dirección especial.

Relación con la aproximación WKB

Los primeros pasos involucrados en la aproximación eikonal en mecánica cuántica están muy relacionados con la aproximación WKB para ondas unidimensionales. El método WKB, como la aproximación eikonal, reduce las ecuaciones a una ecuación diferencial en una sola variable. Pero la dificultad de la aproximación WKB es que esta variable está descrita por la trayectoria de la partícula que, en general, es complicada.

Descripción formal

Haciendo uso de la aproximación WKB podemos escribir la función de onda del sistema disperso en términos de la acción S :

${\ Displaystyle \ Psi = e ^ {iS / {\ hbar}}}$

Insertando la función de onda Ψ en la ecuación de Schrödinger sin la presencia de un campo magnético obtenemos

${\ Displaystyle - {\ frac {{\ hbar} ^ {2}} {2m}} {\ nabla} ^ {2} \ Psi = (EV) \ Psi}$

${\ Displaystyle - {\ frac {{\ hbar} ^ {2}} {2m}} {\ nabla} ^ {2} {e ^ {iS / {\ hbar}}} = (EV) e ^ {iS / {\ hbar}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2m}} {(\ nabla S)} ^ {2} - {\ frac {i \ hbar} {2m}} {\ nabla} ^ {2} S = EV}$

Escribimos S como una serie de potencias en ħ

${\ Displaystyle S = S_ {0} + {\ frac {\ hbar} {i}} S_ {1} + ...}$

Para el orden cero:

${\ displaystyle {\ frac {1} {2m}} {(\ nabla S_ {0})} ^ {2} = EV}$

Si consideramos el caso unidimensional, entonces . ${\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ rightarrow {\ partial _ {z}} ^ {2}}$

Obtenemos una ecuación diferencial con la condición de contorno :

${\ Displaystyle {\ frac {S (z = z_ {0})} {\ hbar}} = kz_ {0}}$

para , . ${\ displaystyle V \ rightarrow 0}$${\ displaystyle z \ rightarrow - \ infty}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} {\ frac {S_ {0}} {\ hbar}} = {\ sqrt {k ^ {2} -2mV / {\ hbar} ^ {2}}} }$

${\ Displaystyle {\ frac {S_ {0} (z)} {\ hbar}} = kz - {\ frac {m} {{\ hbar} ^ {2} k}} \ int _ {- \ infty} ^ {z} {Vdz '}}$

Ver también

• Ecuación de Eikonal
• Principio de correspondencia
• Principio de mínima acción

Referencias

Notas

• [1] Aproximación Eikonal KV Shajesh Departamento de Física y Astronomía, Universidad de Oklahoma

Otras lecturas

• RR Dubey (1995). Comparación de la solución exacta con la aproximación de Eikonal para la dispersión elástica de iones pesados (3ª ed.). NASA.
• W. Qian; H. Narumi; N. Daigaku. P. Kenkyūjo (1989). Aproximación eikonal en versión de onda parcial (3ª ed.). Nagoya.
• M. Lévy; J. Sucher (1969). "Aproximación Eikonal en teoría cuántica de campos" . Phys. Rev . Maryland, Estados Unidos. Código Bibliográfico : 1969PhRv..186.1656L . doi : 10.1103 / PhysRev.186.1656 .
• IT Todorov (1970). "Ecuación cuasipotencial correspondiente a la aproximación eikonal relativista" . Phys. Rev. D . Nueva Jersey, Estados Unidos. Código Bibliográfico : 1971PhRvD ... 3.2351T . doi : 10.1103 / PhysRevD.3.2351 . Archivado desde el original el 23 de febrero de 2013.
• DR Harrington (1969). "Dispersión múltiple, la aproximación de Glauber y la aproximación de Eikonal fuera de la cáscara" . Phys. Rev . Nueva Jersey, Estados Unidos. Código Bibliográfico : 1969PhRv..184.1745H . doi : 10.1103 / PhysRev.184.1745 .