Modelado de diodos - Diode modelling

En electrónica , el modelado de diodos se refiere a los modelos matemáticos utilizados para aproximar el comportamiento real de diodos reales para permitir cálculos y análisis de circuitos. Un diodo 'es I - V curva es no lineal .

Un modelo físico muy preciso, pero complicado, compone la curva IV a partir de tres exponenciales con una inclinación ligeramente diferente (es decir, factor de idealidad), que corresponden a diferentes mecanismos de recombinación en el dispositivo; a corrientes muy grandes y muy pequeñas, la curva puede continuar con segmentos lineales (es decir, comportamiento resistivo).

En una aproximación relativamente buena, un diodo se modela mediante la ley del diodo de Shockley exponencial simple . Esta no linealidad aún complica los cálculos en circuitos que involucran diodos, por lo que a menudo se usan modelos incluso más simples.

Este artículo analiza el modelado de diodos de unión pn , pero las técnicas pueden generalizarse a otros diodos de estado sólido .

Modelado de señales grandes

Modelo de diodo Shockley

La ecuación del diodo de Shockley relaciona la corriente del diodo de un diodo de unión pn con el voltaje del diodo . Esta relación es la característica del diodo IV : ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle V_ {D}}$

${\ Displaystyle I = I_ {S} \ left (e ^ {\ frac {V_ {D}} {nV _ {\ text {T}}}} - 1 \ right)}$,

donde es la corriente de saturación o la corriente de escala del diodo (la magnitud de la corriente que fluye por negativo en exceso de unos pocos , típicamente ^10-12 A). La corriente de escala es proporcional al área de la sección transversal del diodo. Continuando con los símbolos: es el voltaje térmico ( , aproximadamente 26 mV a temperaturas normales), y se conoce como el factor de idealidad del diodo (para los diodos de silicio es aproximadamente de 1 a 2). ${\ Displaystyle I_ {S}}$${\ Displaystyle V_ {D}}$${\ Displaystyle V _ {\ text {T}}}$ ${\ Displaystyle V _ {\ text {T}}}$${\ Displaystyle kT / q}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$

Cuando la fórmula se puede simplificar a: ${\ Displaystyle V_ {D} \ gg nV _ {\ text {T}}}$

${\ Displaystyle I \ approx I_ {S} \ cdot e ^ {\ frac {V_ {D}} {nV _ {\ text {T}}}}}$.

Sin embargo, esta expresión es solo una aproximación de una característica IV más compleja. Su aplicabilidad es particularmente limitada en el caso de uniones ultra-superficiales, para las que existen mejores modelos analíticos.

Ejemplo de circuito de diodo-resistor

Para ilustrar las complicaciones de usar esta ley, considere el problema de encontrar el voltaje a través del diodo en la Figura 1.

Figura 1: Circuito de diodos con carga resistiva.

Debido a que la corriente que fluye a través del diodo es la misma que la corriente en todo el circuito, podemos establecer otra ecuación. Según las leyes de Kirchhoff , la corriente que fluye en el circuito es

${\ Displaystyle I = {\ frac {V_ {S} -V_ {D}} {R}}}$.

Estas dos ecuaciones determinan la corriente del diodo y el voltaje del diodo. Para resolver estas dos ecuaciones, podríamos sustituir la corriente de la segunda ecuación en la primera ecuación y luego intentar reorganizar la ecuación resultante para obtener en términos de . Una dificultad con este método es que la ley del diodo no es lineal. Sin embargo, una fórmula que expresa directamente en términos de sin la participación se puede obtener usando la Lambert W -Función , que es la función inversa de , es decir, . Esta solución se analiza a continuación. ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle V_ {D}}$${\ Displaystyle V_ {S}}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle V_ {S}}$${\ Displaystyle V_ {D}}$${\ Displaystyle f (w) = we ^ {w}}$${\ Displaystyle w = W (f)}$

Solución explícita

Una expresión explícita para la corriente del diodo se puede obtener en términos de Lambert W -función (también llamada la función Omega). A continuación se incluye una guía para estas manipulaciones. Se introduce una nueva variable como ${\ Displaystyle w}$

${\ Displaystyle w = {\ frac {I_ {S} R} {nV _ {\ text {T}}}} \ left ({\ frac {I} {I_ {S}}} + 1 \ right)}$.

Siguiendo las sustituciones : ${\ Displaystyle I / I_ {S} = e ^ {V_ {D} / nV _ {\ text {T}}} - 1}$

${\ Displaystyle we ^ {w} = {\ frac {I_ {S} R} {nV _ {\ text {T}}}} e ^ {\ frac {V_ {D}} {nV _ {\ text {T}} }} e ^ {{\ frac {I_ {S} R} {nV _ {\ text {T}}}} \ left ({\ frac {I} {I_ {S}}} + 1 \ right)}}$

y : ${\ Displaystyle V_ {D} = V_ {S} -IR}$

${\ Displaystyle we ^ {w} = {\ frac {I_ {S} R} {nV _ {\ text {T}}}} e ^ {\ frac {V_ {S}} {nV _ {\ text {T}} }} e ^ {\ frac {-IR} {nV _ {\ text {T}}}} e ^ {\ frac {IRI_ {S}} {nV _ {\ text {T}} I_ {S}}} e ^ {\ frac {I_ {S} R} {nV _ {\ text {T}}}}}$

El reordenamiento de la ley de diodos en términos de w se convierte en:

${\ Displaystyle we ^ {w} = {\ frac {I_ {S} R} {nV _ {\ text {T}}}} e ^ {\ frac {V_ {s} + I_ {s} R} {nV_ { \ text {T}}}}}$,

que utilizando la función de Lambert se convierte en ${\ Displaystyle W}$

${\ Displaystyle w = W \ left ({\ frac {I_ {S} R} {nV _ {\ text {T}}}} e ^ {\ frac {V_ {s} + I_ {s} R} {nV_ { \ text {T}}}} \ right)}$.

Con las aproximaciones (válidas para los valores más comunes de los parámetros) y , esta solución se convierte en ${\ Displaystyle I_ {s} R \ ll V_ {S}}$${\ Displaystyle I / I_ {S} \ gg 1}$

${\ Displaystyle I \ approx {\ frac {nV _ {\ text {T}}} {R}} W \ left ({\ frac {I_ {S} R} {nV _ {\ text {T}}}} e ^ {\ frac {V_ {s}} {nV _ {\ text {T}}}} \ right)}$.

Una vez que se determina la corriente, el voltaje del diodo se puede encontrar usando cualquiera de las otras ecuaciones.

Para x grande, se puede aproximar mediante . Para parámetros físicos y resistencias comunes, será del orden de 10 ⁴⁰ . ${\ Displaystyle W (x)}$${\ Displaystyle W (x) = \ ln x- \ ln \ ln x + o (1)}$${\ Displaystyle {\ frac {I_ {S} R} {nV _ {\ text {T}}}} e ^ {\ frac {V_ {s}} {nV _ {\ text {T}}}}}$

Solución iterativa

El voltaje del diodo se puede encontrar en términos de para cualquier conjunto particular de valores mediante un método iterativo usando una calculadora o computadora. La ley del diodo se reordena dividiendo por y sumando 1. La ley del diodo se convierte en ${\ Displaystyle V_ {D}}$${\ Displaystyle V_ {S}}$${\ Displaystyle I_ {S}}$

${\ Displaystyle e ^ {\ frac {V_ {D}} {nV _ {\ text {T}}}} = {\ frac {I} {I_ {S}}} + 1}$.

Al tomar logaritmos naturales de ambos lados, se elimina el exponencial y la ecuación se convierte en

${\ Displaystyle {\ frac {V_ {D}} {nV _ {\ text {T}}}} = \ ln \ left ({\ frac {I} {I_ {S}}} + 1 \ right)}$.

Para cualquiera , esta ecuación determina . Sin embargo, también debe satisfacer la ecuación de la ley de Kirchhoff, dada anteriormente. Esta expresión se sustituye para obtener ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle V_ {D}}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle I}$

${\ Displaystyle {\ frac {V_ {D}} {nV _ {\ text {T}}}} = \ ln \ left ({\ frac {V_ {S} -V_ {D}} {RI_ {S}}} +1 \ right)}$,

o

${\ Displaystyle V_ {D} = nV _ {\ text {T}} \ ln \ left ({\ frac {V_ {S} -V_ {D}} {RI_ {S}}} + 1 \ right)}$.

El voltaje de la fuente es un valor dado conocido, pero está en ambos lados de la ecuación, lo que fuerza una solución iterativa: se adivina un valor inicial para y se coloca en el lado derecho de la ecuación. Realizando las distintas operaciones en el lado derecho, obtenemos un nuevo valor para . Este nuevo valor ahora se sustituye en el lado derecho y así sucesivamente. Si esta iteración converge, los valores de se acercan cada vez más a medida que el proceso continúa, y podemos detener la iteración cuando la precisión es suficiente. Una vez que se encuentra, se puede encontrar a partir de la ecuación de la ley de Kirchhoff. ${\ Displaystyle V_ {S}}$${\ Displaystyle V_ {D}}$${\ Displaystyle V_ {D}}$${\ Displaystyle V_ {D}}$${\ Displaystyle V_ {D}}$${\ Displaystyle V_ {D}}$${\ Displaystyle I}$

A veces, un procedimiento iterativo depende fundamentalmente de la primera suposición. En este ejemplo, casi cualquier primera conjetura servirá, digamos . A veces, un procedimiento iterativo no converge en absoluto: en este problema una iteración basada en la función exponencial no converge, y es por eso que las ecuaciones se reordenaron para usar un logaritmo. Encontrar una formulación iterativa convergente es un arte y cada problema es diferente. ${\ Displaystyle V_ {D} = 600 \, {\ text {mV}}}$

Solución gráfica

Determinación gráfica del punto de funcionamiento a través de la intersección de la característica del diodo con la línea de carga resistiva.

El análisis gráfico es una forma sencilla de derivar una solución numérica a las ecuaciones trascendentales que describen el diodo. Como ocurre con la mayoría de los métodos gráficos, tiene la ventaja de que es fácil de visualizar. Al trazar las curvas I - V , es posible obtener una solución aproximada con cualquier grado arbitrario de precisión. Este proceso es el equivalente gráfico de los dos enfoques anteriores, que son más fáciles de implementar por computadora.

Este método traza las dos ecuaciones de corriente-voltaje en un gráfico y el punto de intersección de las dos curvas satisface ambas ecuaciones, dando el valor de la corriente que fluye a través del circuito y el voltaje a través del diodo. La figura ilustra dicho método.

Modelo lineal por partes

Aproximación lineal por partes de la característica del diodo.

En la práctica, el método gráfico es complicado y poco práctico para circuitos complejos. Otro método de modelado de un diodo se llama modelado lineal por partes (PWL) . En matemáticas, esto significa tomar una función y dividirla en varios segmentos lineales. Este método se utiliza para aproximar la curva característica del diodo como una serie de segmentos lineales. El diodo real se modela como 3 componentes en serie: un diodo ideal, una fuente de voltaje y una resistencia .

La figura muestra una curva de diodo IV real que se aproxima mediante un modelo lineal por partes de dos segmentos. Normalmente, el segmento de línea inclinada sería elegido tangente a la curva de diodos en el punto Q . Entonces, la pendiente de esta línea viene dada por el recíproco de la resistencia de pequeña señal del diodo en el punto Q.

Diodo matemáticamente idealizado

IV característica de un diodo ideal.

En primer lugar, considere un diodo matemáticamente idealizado. En tal diodo ideal, si el diodo tiene polarización inversa, la corriente que fluye a través de él es cero. Este diodo ideal comienza a conducir a 0 V y para cualquier voltaje positivo fluye una corriente infinita y el diodo actúa como un cortocircuito. Las características IV de un diodo ideal se muestran a continuación:

Diodo ideal en serie con fuente de voltaje

Ahora considere el caso cuando agregamos una fuente de voltaje en serie con el diodo en la forma que se muestra a continuación:

Diodo ideal con una fuente de voltaje en serie.

Cuando está polarizado hacia adelante, el diodo ideal es simplemente un cortocircuito y cuando está polarizado hacia atrás, un circuito abierto.

Si el ánodo del diodo está conectado a 0  V, el voltaje en el cátodo estará en Vt y, por lo tanto, el potencial en el cátodo será mayor que el potencial en el ánodo y el diodo tendrá polarización inversa. Para que el diodo conduzca, el voltaje en el ánodo deberá llevarse a Vt . Este circuito se aproxima al voltaje de corte presente en diodos reales. La característica IV combinada de este circuito se muestra a continuación:

IV característica de un diodo ideal con una fuente de voltaje en serie.

El modelo de diodo Shockley se puede utilizar para predecir el valor aproximado de . ${\ Displaystyle V_ {t}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & I = I_ {S} \ left (e ^ {\ frac {V_ {D}} {n \ cdot V _ {\ text {T}}}} - 1 \ right) \\ \ Flecha izquierda {} & \ ln \ izquierda (1 + {\ frac {I} {I_ {S}}} \ derecha) = {\ frac {V_ {D}} {n \ cdot V _ {\ text {T}} }} \\\ Flecha izquierda {} & V_ {D} = n \ cdot V _ {\ text {T}} \ ln \ left (1 + {\ frac {I} {I_ {S}}} \ right) \ approx n \ cdot V _ {\ text {T}} \ ln \ left ({\ frac {I} {I_ {S}}} \ right) \\\ Flecha izquierda {} & V_ {D} \ approx n \ cdot V _ {\ text {T}} \ cdot \ ln {10} \ cdot \ log _ {10} {\ left ({\ frac {I} {I_ {S}}} \ right)} \ end {alineado}}}$

Usando y : ${\ Displaystyle n = 1}$${\ Displaystyle T = 25 \, {\ text {° C}}}$

${\ Displaystyle V_ {D} \ approx 0.05916 \ cdot \ log _ {10} {\ left ({\ frac {I} {I_ {S}}} \ right)}}$

Los valores típicos de la corriente de saturación a temperatura ambiente son:

• ${\ Displaystyle I_ {S} = 10 ^ {- 12}}$ para diodos de silicio;
• ${\ Displaystyle I_ {S} = 10 ^ {- 6}}$ para diodos de germanio.

Como la variación de va con el logaritmo de la razón , su valor varía muy poco para una gran variación de la razón. El uso de logaritmos en base 10 facilita pensar en órdenes de magnitud. ${\ Displaystyle V_ {D}}$${\ Displaystyle {\ frac {I} {I_ {S}}}}$

Para una corriente de 1.0  mA:

• ${\ Displaystyle V_ {D} \ aproximadamente 0,53 \, {\ text {V}}}$ para diodos de silicio (9 órdenes de magnitud);
• ${\ Displaystyle V_ {D} \ aproximadamente 0,18 \, {\ text {V}}}$ para diodos de germanio (3 órdenes de magnitud).

Para una corriente de 100  mA:

• ${\ Displaystyle V_ {D} \ aproximadamente 0,65 \, {\ text {V}}}$ para diodos de silicio (11 órdenes de magnitud);
• ${\ Displaystyle V_ {D} \ aproximadamente 0,30 \, {\ text {V}}}$ para diodos de germanio (5 órdenes de magnitud).

Los valores de 0,6 o 0,7 voltios se utilizan comúnmente para diodos de silicio.

Diodo con fuente de voltaje y resistencia limitadora de corriente

Lo último que se necesita es una resistencia para limitar la corriente, como se muestra a continuación:

Diodo ideal con una fuente de voltaje en serie y una resistencia.

La característica IV del circuito final se ve así:

IV característica de un diodo ideal con una fuente de voltaje y una resistencia en serie.

El diodo real ahora se puede reemplazar con el diodo ideal combinado, la fuente de voltaje y la resistencia y luego el circuito se modela usando solo elementos lineales. Si el segmento de línea inclinada es tangente a la curva del diodo real en el punto Q , este circuito aproximado tiene el mismo circuito de pequeña señal en el punto Q que el diodo real.

Diodos PWL dobles o modelo PWL de 3 líneas

IV característica del modelo estándar PWL (marcado por triángulos rojos), como se describe arriba. Como referencia se muestra el modelo estándar de diodo Shockley (marcado con diamantes azules). Los parámetros de Shockley son I _s = 1e - 12 A, V _t = 0.0258 V

Cuando se desea más precisión en el modelado de la característica de encendido del diodo, el modelo se puede mejorar duplicando el modelo PWL estándar. Este modelo utiliza dos diodos lineales por partes en paralelo, como una forma de modelar un solo diodo con mayor precisión.

Modelo de diodo PWL de 2 ramas. La rama superior tiene un voltaje directo más bajo y una resistencia más alta. Esto permite que el diodo se encienda más gradualmente y, en este sentido, modela con mayor precisión un diodo real. La rama inferior tiene un voltaje directo más alto y una resistencia más baja, lo que permite una corriente alta a un voltaje alto

Gráfico de la característica IV de este modelo (marcado con triángulos rojos), en comparación con el modelo estándar de diodo Shockley (marcado con diamantes azules). Los parámetros de Shockley son I _s = 1e - 12 A, V _t = 0.0258 V

Modelado de pequeña señal

Resistencia

Utilizando la ecuación de Shockley, la resistencia de diodos de pequeña señal del diodo se puede derivar de un cierto punto de funcionamiento ( Q-punto ) donde la corriente de polarización de CC es y el punto Q aplica voltaje es . Para comenzar, se encuentra la conductancia de señal pequeña del diodo , es decir, el cambio en la corriente en el diodo causado por un pequeño cambio en el voltaje a través del diodo, dividido por este cambio de voltaje, a saber: ${\ Displaystyle r_ {D}}$${\ Displaystyle I_ {Q}}$${\ Displaystyle V_ {Q}}$ ${\ Displaystyle g_ {D}}$

${\ Displaystyle g_ {D} = \ left. {\ frac {dI} {dV}} \ right | _ {Q} = {\ frac {I_ {s}} {n \ cdot V _ {\ text {T}} }} e ^ {\ frac {V_ {Q}} {n \ cdot V _ {\ text {T}}}} \ approx {\ frac {I_ {Q}} {n \ cdot V _ {\ text {T}} }}}$.

La última aproximación supone que la corriente de polarización es lo suficientemente grande como para que se pueda ignorar el factor de 1 en el paréntesis de la ecuación del diodo de Shockley. Esta aproximación es precisa incluso con voltajes bastante pequeños, porque el voltaje térmico a 300 K tiende a ser grande, lo que significa que la exponencial es muy grande. ${\ Displaystyle I_ {Q}}$ ${\ Displaystyle V _ {\ text {T}} \ aproximadamente 25 \, {\ text {mV}}}$ ${\ Displaystyle V_ {Q} / V _ {\ text {T}}}$

Teniendo en cuenta que la resistencia de señal pequeña es el recíproco de la conductancia de señal pequeña recién encontrada, la resistencia del diodo es independiente de la corriente alterna, pero depende de la corriente continua, y se da como ${\ Displaystyle r_ {D}}$

${\ Displaystyle r_ {D} = {\ frac {n \ cdot V _ {\ text {T}}} {I_ {Q}}}}$.

Capacidad

Se sabe que la carga en el diodo que transporta la corriente es ${\ Displaystyle I_ {Q}}$

${\ Displaystyle Q = I_ {Q} \ tau _ {F} + Q_ {J}}$,

donde es el tiempo de tránsito hacia adelante de los portadores de carga: el primer término en la carga es la carga en tránsito a través del diodo cuando fluye la corriente . El segundo término es la carga almacenada en la unión misma cuando se ve como un condensador simple ; es decir, como un par de electrodos con cargas opuestas. Es la carga almacenada en el diodo en virtud de que simplemente tiene un voltaje a través de él, independientemente de la corriente que conduzca. ${\ Displaystyle \ tau _ {F}}$${\ Displaystyle I_ {Q}}$

De manera similar a la anterior, la capacitancia del diodo es el cambio en la carga del diodo con el voltaje del diodo:

${\ Displaystyle C_ {D} = {\ frac {dQ} {dV_ {Q}}} = {\ frac {dI_ {Q}} {dV_ {Q}}} \ tau _ {F} + {\ frac {dQ_ {J}} {dV_ {Q}}} \ approx {\ frac {I_ {Q}} {V _ {\ text {T}}}} \ tau _ {F} + C_ {J}}$,

donde es la capacitancia de la unión y el primer término se llama capacitancia de difusión , porque está relacionado con la corriente que se difunde a través de la unión. ${\ Displaystyle C_ {J} = {\ frac {dQ_ {J}} {dV_ {Q}}}}$

Variación de voltaje directo con temperatura

La ecuación del diodo Shockley tiene un exponencial de , lo que llevaría a esperar que el voltaje directo aumente con la temperatura. De hecho, generalmente este no es el caso: a medida que aumenta la temperatura, aumenta la corriente de saturación y este efecto domina. Entonces, a medida que el diodo se calienta , el voltaje directo (para una corriente dada) disminuye . ${\ Displaystyle V_ {D} / (kT / q)}$${\ Displaystyle I_ {S}}$

Aquí hay algunos datos experimentales detallados, que muestran esto para un diodo de silicio 1N4005. De hecho, algunos diodos de silicio se utilizan como sensores de temperatura; por ejemplo, la serie CY7 de OMEGA tiene un voltaje directo de 1.02  V en nitrógeno líquido (77  K), 0.54  V a temperatura ambiente y 0.29  V a 100 ° C.

Además, hay un pequeño cambio en el intervalo de banda del parámetro del material con la temperatura. Para los LED, este cambio de banda prohibida también cambia su color: se mueven hacia el extremo azul del espectro cuando se enfrían.

Dado que el voltaje directo del diodo cae a medida que aumenta su temperatura, esto puede conducir a una fuga térmica en los circuitos de transistores bipolares (la unión base-emisor de un BJT actúa como un diodo), donde un cambio en la polarización conduce a un aumento en la disipación de potencia. , lo que a su vez cambia aún más el sesgo.

Ver también

• Transistor de unión bipolar
• Modelado de dispositivos semiconductores

Referencias