Simetría diedro en tres dimensiones - Dihedral symmetry in three dimensions

Grupos de puntos en tres dimensiones
Grupo poliédrico , [n, 3], (* n32)
Simetría involutiva C _s , (*) [] =	Simetría cíclica C _nv , (* nn) [n] =	Simetría diedro D _nh , (* n22) [n, 2] =
Simetría tetraédrica T _d , (* 332) [3,3] =	Octaédrica simetría O _h , (* 432) [4,3] =	Simetría icosaédrica I _h , (* 532) [5,3] =

En geometría , la simetría diedro en tres dimensiones es una de las tres secuencias infinitas de grupos de puntos en tres dimensiones que tienen un grupo de simetría que, como grupo abstracto, es un grupo diedro Dih _n (para n ≥ 2).

Tipos

Hay 3 tipos de simetría diédrica en tres dimensiones, cada una de las cuales se muestra a continuación en 3 notaciones: notación Schönflies , notación Coxeter y notación orbifold .

Quiral

D _n , [ n , 2] ⁺ , (22 n ) de orden 2 n - simetría diedro o grupo para-n-gonal (grupo abstracto: Dih _n ).

Achiral

D _nh , [ n , 2], (* 22 n ) de orden 4 n - simetría prismática o grupo orto-n-gonal completo (grupo abstracto: Dih _n × Z ₂ ).
D _nd (o D _nv ), [2 n , 2 ⁺ ], (2 * n ) de orden 4 n - simetría antiprismática o grupo giro-n-gonal completo (grupo abstracto: Dih _{2 n} ).

Para un determinado n , los tres tienen n -fold simetría de rotación alrededor de un eje ( rotación en un ángulo de 360 ° / n no cambia el objeto), y 2-simetría de rotación alrededor de un eje perpendicular, por lo tanto, sobre n de esos. Para n = ∞, corresponden a tres grupos Frieze . Se utiliza la notación Schönflies , con la notación de Coxeter entre paréntesis y la notación orbifold entre paréntesis. El término horizontal (h) se utiliza con respecto a un eje de rotación vertical.

En 2D, el grupo de simetría D _n incluye reflejos en líneas. Cuando el plano 2D está incrustado horizontalmente en un espacio 3D, tal reflexión puede verse como la restricción a ese plano de una reflexión a través de un plano vertical, o como la restricción al plano de una rotación alrededor de la línea de reflexión, por 180 °. En 3D, se distinguen las dos operaciones: el grupo D _n contiene solo rotaciones, no reflexiones. El otro grupo es la simetría piramidal C _nv del mismo orden, 2 n .

Con simetría de reflexión en un plano perpendicular al eje de rotación de n pliegues, tenemos D _nh , [n], (* 22 n ).

D _nd (o D _nv ), [2 n , 2 ⁺ ], (2 * n ) tiene planos de espejo verticales entre los ejes de rotación horizontal, no a través de ellos. Como resultado, el eje vertical es un 2 n -fold rotoreflection eje.

D _nh es el grupo de simetría para un prisma regular de n lados y también para una bipirámide regular de n lados . D _nd es el grupo de simetría para un antiprisma regular de n lados , y también para un trapezoedro regular de n lados . D _n es el grupo de simetría de un prisma parcialmente girado.

n = 1 no se incluye porque las tres simetrías son iguales a otras:

D ₁ y C ₂ : grupo de orden 2 con una única rotación de 180 °.
D _{1 h} y C _{2 v} : grupo de orden 4 con una reflexión en un plano y una rotación de 180 ° alrededor de una recta en ese plano.
D _{1 d} y C _{2 h} : grupo de orden 4 con una reflexión en un plano y una rotación de 180 ° alrededor de una recta perpendicular a ese plano.

Para n = 2 no hay un eje principal y dos ejes adicionales, pero hay tres equivalentes.

D ₂ , [2,2] ⁺ , (222) de orden 4 es uno de los tres tipos de grupos de simetría con el grupo de cuatro de Klein como grupo abstracto. Tiene tres ejes de rotación perpendiculares de 2 pliegues. Es el grupo de simetría de un cuboide con una S escrita en dos caras opuestas, en la misma orientación.
D _{2 h} , [2,2], (* 222) de orden 8 es el grupo de simetría de un cuboide.
D _{2 d} , [4,2 ⁺ ], (2 * 2) de orden 8 es el grupo de simetría de, por ejemplo:
- Un cuboide cuadrado con una diagonal dibujada en una cara cuadrada y una diagonal perpendicular en la otra.
- Un tetraedro regular escalado en la dirección de una línea que conecta los puntos medios de dos bordes opuestos ( D _{2 d} es un subgrupo de T _d ; al escalar, reducimos la simetría).

Subgrupos

D _{2 h} , [2,2], (* 222)	D _{4 h} , [4,2], (* 224)

Para D _nh , [n, 2], (* 22n), ordene 4n

C _nh , [n ⁺ , 2], (n *), orden 2n
C _nv , [n, 1], (* nn), orden 2n
D _n , [n, 2] ⁺ , (22n), orden 2n

Para D _nd , [2n, 2 ⁺ ], (2 * n), ordene 4n

S _{2 n} , [2n ⁺ , 2 ⁺ ], (n ×), orden 2n
C _nv , [n ⁺ , 2], (n *), orden 2n
D _n , [n, 2] ⁺ , (22n), orden 2n

D _nd también es un subgrupo de D _{2 nh} .

Ejemplos de

D _{2 h} , [2,2], (* 222) Orden 8	D _2d , [4,2 ⁺ ], (2 * 2) Orden 8	D _{3 h} , [3,2], (* 223) Orden 12
caminos de costura de baloncesto	trayectorias de costura de béisbol (ignorando la direccionalidad de la costura)	Pelota de playa (ignorando colores)

D _nh , [ n ], (* 22 n ):

prismas

D _{5 h} , [5], (* 225):

Prisma pentagrammico	Antiprisma pentagrammico

D _{4 d} , [8,2 ⁺ ], (2 * 4):

Antiprisma cuadrado chato

D _{5 d} , [10,2 ⁺ ], (2 * 5):

Antiprisma pentagonal	Antiprisma cruzado pentagrammico	trapezoedro pentagonal

D _{17 d} , [34,2 ⁺ ], (2 * 17):

Antiprisma heptadecagonal

Ver también

Referencias

Coxeter , HSM y Moser, WOJ (1980). Generadores y Relaciones para Grupos Discretos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9 . CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
NW Johnson : Geometries and Transformations , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11.5 Grupos esféricos de Coxeter
Conway, John Horton ; Huson, Daniel H. (2002), "La notación orbifold para grupos bidimensionales", Química estructural , Springer Países Bajos, 13 (3): 247-257, doi : 10.1023 / A: 1015851621002

enlaces externos

Resumen gráfico de los 32 grupos de puntos cristalográficos : forman las primeras partes (además de omitir n = 5) de las 7 series infinitas y 5 de los 7 grupos de puntos 3D separados

Languages

In other projects