Forma diagonal - Diagonal form

En matemáticas , una forma diagonal es una forma algebraica ( polinomio homogéneo ) sin términos cruzados que involucren diferentes indeterminados . Es decir, es

${\ Displaystyle \ sum _ {i} a_ {i} {x_ {i}} ^ {m} \}$

para algún grado dado m , sumado para 1 ≤ i ≤ n .

Tales formas F , y las hipersuperficies F = 0 que definen en el espacio proyectivo , son muy especiales en términos geométricos, con muchas simetrías. También se incluyen casos famosos como las curvas de Fermat y otros ejemplos bien conocidos en la teoría de las ecuaciones diofánticas .

Se ha trabajado mucho sobre su teoría: geometría algebraica , funciones zeta locales a través de sumas de Jacobi , método del círculo de Hardy-Littlewood .

Ejemplos

${\ Displaystyle X ^ {2} + Y ^ {2} -Z ^ {2} = 0}$es el círculo unitario en P ²

${\ Displaystyle X ^ {2} -Y ^ {2} -Z ^ {2} = 0}$es la hipérbola unitaria en P ² .

${\ Displaystyle x_ {0} ^ {3} + x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + x_ {3} ^ {3} = 0}$da la superficie cúbica de Fermat en P ³ con 27 líneas. Las 27 líneas en este ejemplo son fáciles de describir explícitamente: son las 9 líneas de la forma ( x  : ax  : Y  : por ) donde un y b son números fijos con el cubo de -1, y sus 18 conjugados bajo permutaciones de coordenadas.

${\ Displaystyle x_ {0} ^ {4} + x_ {1} ^ {4} + x_ {2} ^ {4} + x_ {3} ^ {4} = 0}$da una superficie K3 en P ³ .