Sistema desmic - Desmic system

Dos tetraedros desmicos. El tercer tetraedro de este sistema no se muestra, pero tiene un vértice en el centro y los otros tres en el plano del infinito.

La configuración de Reye con los mismos 12 vértices que un sistema desmic

En geometría proyectiva , un sistema desmico es un conjunto de tres tetraedros en un espacio proyectivo tridimensional , de manera que dos cualesquiera son desmicos (es decir, relacionados de tal manera que cada borde de uno corta un par de bordes opuestos del otro). Fue introducido por Stephanos  ( 1879 ). Los tres tetraedros de un sistema desmico están contenidos en un lápiz de superficies cuarticas . El nombre "desmic" proviene de la palabra griega δεσμός, que significa banda o cadena, refiriéndose al lápiz de los cuarticos.

Cada línea que pasa por dos vértices de dos tetraedros del sistema también pasa por un vértice del tercer tetraedro. Los 12 vértices del sistema desmico y las 16 líneas así formadas son los puntos y líneas de una configuración de Reye .

Ejemplo

Los tres tetraedros dados por las ecuaciones

• ${\ Displaystyle \ Displaystyle (w ^ {2} -x ^ {2}) (y ^ {2} -z ^ {2}) = 0}$
• ${\ Displaystyle \ Displaystyle (w ^ {2} -y ^ {2}) (x ^ {2} -z ^ {2}) = 0}$
• ${\ Displaystyle \ Displaystyle (w ^ {2} -z ^ {2}) (y ^ {2} -x ^ {2}) = 0}$

Forman un sistema desmico, contenido en el lápiz de los cuarticos.

• ${\ Displaystyle \ Displaystyle a (w ^ {2} x ^ {2} + y ^ {2} z ^ {2}) + b (w ^ {2} y ^ {2} + x ^ {2} z ^ {2}) + c (w ^ {2} z ^ {2} + x ^ {2} y ^ {2}) = 0}$

para a  +  b  +  c  = 0.

Referencias

• Borwein, Peter B (1983), "La conjetura de Desmic", Journal of Combinatorial Theory , Serie A, 35 (1): 1-9, doi : 10.1016 / 0097-3165 (83) 90022-5 , MR  0704251.
• Hudson, RWHT (1990), superficie cuártica de Kummer , Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39790-2, MR  1097176.
• Stephanos, Cyparissos (1879), "Sur les systèmes desmiques de trois tétraèdres" , Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques , Série 2, 3 (1): 424–456, JFM  11.0431.01.

enlaces externos

• Tetraedros desmicos