Derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes - Derivation of the Navier–Stokes equations

La intención de este artículo es resaltar los puntos importantes de la derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes , así como su aplicación y formulación para diferentes familias de fluidos .

Supuestos básicos

Las ecuaciones de Navier-Stokes se basan en el supuesto de que el fluido, en la escala de interés, es un continuo , una sustancia continua en lugar de partículas discretas. Otro supuesto necesario es que todos los campos de interés, incluidos la presión , la velocidad del flujo , la densidad y la temperatura, son diferenciables , al menos débilmente .

Las ecuaciones se derivan de los principios básicos de continuidad de masa , momento y energía . A veces es necesario considerar un volumen arbitrario finito, llamado volumen de control , sobre el cual se pueden aplicar estos principios. Este volumen finito se denota por Ω y su superficie límite ∂Ω . El volumen de control puede permanecer fijo en el espacio o puede moverse con el fluido.

El derivado material

Los cambios en las propiedades de un fluido en movimiento se pueden medir de dos formas diferentes. Se puede medir una propiedad dada ya sea realizando la medición en un punto fijo en el espacio a medida que pasan las partículas del fluido, o siguiendo una parcela de fluido a lo largo de su línea de corriente . La derivada de un campo con respecto a una posición fija en el espacio se denomina derivada euleriana , mientras que la derivada que sigue a una parcela en movimiento se denomina derivada advectiva o material (o lagrangiana ).

La derivada material se define como el operador no lineal :

${\ Displaystyle {\ frac {D} {Dt}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla}$

donde u es la velocidad del flujo. El primer término en el lado derecho de la ecuación es la derivada euleriana ordinaria (la derivada en un marco de referencia fijo, que representa cambios en un punto con respecto al tiempo) mientras que el segundo término representa cambios de una cantidad con respecto a la posición ( ver advección ). Esta derivada "especial" es de hecho la derivada ordinaria de una función de muchas variables a lo largo de una trayectoria que sigue el movimiento del fluido; puede derivarse mediante la aplicación de la regla de la cadena en la que se comprueba el cambio de todas las variables independientes a lo largo de la ruta (es decir, la derivada total ).

Por ejemplo, la medición de los cambios en la velocidad del viento en la atmósfera se puede obtener con la ayuda de un anemómetro en una estación meteorológica o observando el movimiento de un globo meteorológico. En el primer caso, el anemómetro mide la velocidad de todas las partículas en movimiento que pasan a través de un punto fijo en el espacio, mientras que en el segundo caso el instrumento mide los cambios de velocidad a medida que se mueve con el flujo.

Ecuaciones de continuidad

La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación de continuidad especial . Una ecuación de continuidad puede derivarse de los principios de conservación de:

• masa ,
• impulso ,
• energía .

Una ecuación de continuidad (o ley de conservación ) es una relación integral que establece que la tasa de cambio de alguna propiedad integrada φ definida sobre un volumen de control Ω debe ser igual a la cantidad que se pierde o se gana a través de los límites Γ del volumen más lo que se crea o consumido por fuentes y sumideros dentro del volumen. Esto se expresa mediante la siguiente ecuación de continuidad integral:

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Omega} \ varphi \ d \ Omega = - \ int _ {\ Gamma} \ varphi \ mathbf {u \ cdot n} \ d \ Gamma - \ int _ {\ Omega} s \ d \ Omega}$

donde u es la velocidad de flujo del fluido, n es el vector normal unitario que apunta hacia afuera y s representa las fuentes y sumideros en el flujo, tomando los sumideros como positivos.

El teorema de la divergencia se puede aplicar a la integral de superficie , transformándola en una integral de volumen :

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Omega} \ varphi \ d \ Omega = - \ int _ {\ Omega} \ nabla \ cdot (\ varphi \ mathbf {u}) \ d \ Omega - \ int _ {\ Omega} s \ d \ Omega.}$

Aplicando el teorema del transporte de Reynolds a la integral de la izquierda y luego combinando todas las integrales:

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial t}} \ d \ Omega = - \ int _ {\ Omega} \ nabla \ cdot (\ varphi \ mathbf {u} ) \ d \ Omega - \ int _ {\ Omega} s \ d \ Omega \ quad \ Flecha derecha \ quad \ int _ {\ Omega} \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial t}} + \ nabla \ cdot (\ varphi \ mathbf {u}) + s \ right) d \ Omega = 0.}$

La integral debe ser cero para cualquier volumen de control; esto solo puede ser cierto si el integrando en sí es cero, de modo que:

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial t}} + \ nabla \ cdot (\ varphi \ mathbf {u}) + s = 0.}$

A partir de esta valiosa relación (una ecuación de continuidad muy genérica ), se pueden escribir de manera concisa tres conceptos importantes: conservación de la masa, conservación del momento y conservación de la energía. La validez se mantiene si φ es un vector, en cuyo caso el producto vector-vector en el segundo término será una díada .

Conservación de momento

Se obtiene una ecuación general de la cantidad de movimiento cuando se aplica la relación de conservación a la cantidad de movimiento. Cuando la propiedad intensiva φ se considera como el flujo de masa (también densidad de momento ), es decir, el producto de la densidad de masa y la velocidad de flujo ρ u , por sustitución en la ecuación continua general:

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} (\ rho \ mathbf {u}) + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {u}) = \ mathbf { s} }$

donde u ⊗ u es una díada , un caso especial de producto tensorial , que da como resultado un tensor de segundo rango; la divergencia de un tensor de segundo rango es nuevamente un vector (un tensor de primer rango).

Usando la fórmula para la divergencia de una díada,

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {a} \ otimes \ mathbf {b}) = (\ nabla \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} }$

entonces tenemos

${\ Displaystyle \ mathbf {u} {\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} + \ rho {\ frac {\ parcial \ mathbf {u}} {\ parcial t}} + \ mathbf {u} \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho + \ rho \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} + \ rho \ mathbf {u} \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = \ mathbf {s }}$

Tenga en cuenta que el gradiente de un vector es un caso especial de la derivada covariante , la operación da como resultado tensores de segundo rango; excepto en las coordenadas cartesianas, es importante entender que esto no es simplemente un gradiente elemento por elemento. Reordenando y reconociendo que u ⋅ ∇ ρ + ρ ∇ ⋅ u = ∇ ⋅ ( ρ u ) :

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {u} \ left ({\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho + \ rho \ nabla \ cdot \ mathbf {u} \ derecha) + \ rho \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ mathbf {u}} {\ parcial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ derecha ) & = \ mathbf {s} \\ [6px] \ mathbf {u} \ left ({\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) \ derecha) + \ rho \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ mathbf {u}} {\ parcial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ derecha) & = \ mathbf { s} \ end {alineado}}}$

La expresión más a la izquierda entre paréntesis es, por continuidad de masa (mostrada en un momento), igual a cero. Observando que lo que queda en el lado izquierdo de la ecuación es la derivada material de la velocidad del flujo:

${\ Displaystyle \ rho {\ frac {D \ mathbf {u}} {Dt}} = \ rho \ left ({\ frac {\ parcial \ mathbf {u}} {\ parcial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ right) = \ mathbf {s}}$

Esto parece ser simplemente una expresión de la segunda ley de Newton ( F = m a ) en términos de fuerzas de cuerpo en lugar de fuerzas de puntos. Cada término en cualquier caso de las ecuaciones de Navier-Stokes es una fuerza corporal. Una forma más corta, aunque menos rigurosa, de llegar a este resultado sería la aplicación de la regla de la cadena a la aceleración:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ rho {\ frac {d} {dt}} {\ bigl (} \ mathbf {u} (x, y, z, t) {\ bigr)} = \ mathbf {s } \ quad & \ Rightarrow & \ rho \ left ({\ frac {\ parcial \ mathbf {u}} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial \ mathbf {u}} {\ parcial x}} { \ frac {dx} {dt}} + {\ frac {\ parcial \ mathbf {u}} {\ y parcial}} {\ frac {dy} {dt}} + {\ frac {\ parcial \ mathbf {u} } {\ parcial z}} {\ frac {dz} {dt}} \ right) & = \ mathbf {s} \\\ quad & \ Rightarrow & \ rho \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {u }} {\ t parcial}} + u {\ frac {\ parcial \ mathbf {u}} {\ parcial x}} + v {\ frac {\ parcial \ mathbf {u}} {\ parcial y}} + w {\ frac {\ parcial \ mathbf {u}} {\ parcial z}} \ right) & = \ mathbf {s} \\\ quad & \ Rightarrow & \ rho \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf { u}} {\ t parcial}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ right) & = \ mathbf {s} \ end {alineado}}}$

donde u = ( u , v , w ) . La razón por la que esto es "menos riguroso" es que no hemos demostrado que la elección de

${\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ left ({\ frac {dx} {dt}}, {\ frac {dy} {dt}}, {\ frac {dz} {dt}} \ right)}$

es correcto; sin embargo, tiene sentido ya que con esa elección de camino la derivada está "siguiendo" una "partícula" fluida, y para que la segunda ley de Newton funcione, las fuerzas deben sumarse siguiendo una partícula. Por esta razón, la derivada convectiva también se conoce como derivada de partículas.

Conservación de la masa

También se puede considerar la misa. Cuando se considera la propiedad intensiva φ como la masa, por sustitución en la ecuación del continuo general, y tomando s = 0 (sin fuentes ni sumideros de masa):

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}$

donde ρ es la densidad de masa (masa por unidad de volumen) y u es la velocidad del flujo. Esta ecuación se llama la ecuación de continuidad de masa , o simplemente la ecuación de continuidad. Esta ecuación generalmente acompaña a la ecuación de Navier-Stokes.

En el caso de un fluido incompresible , Dρ/Dt= 0 (la densidad que sigue la trayectoria de un elemento fluido es constante) y la ecuación se reduce a:

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0}$

que es de hecho una declaración de la conservación del volumen.

Ecuación de impulso de Cauchy

La densidad genérico de la fuente de impulso s visto anteriormente se hace específico por primera vez por dividirlo en dos nuevos términos, uno para describir las tensiones internas y uno para las fuerzas externas, tales como la gravedad. Al examinar las fuerzas que actúan sobre un pequeño cubo en un fluido, se puede demostrar que

${\ Displaystyle \ rho {\ frac {D \ mathbf {u}} {Dt}} = \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} + \ mathbf {f}}$

donde σ es el tensor de tensión de Cauchy y f representa las fuerzas corporales presentes. Esta ecuación se llama ecuación del momento de Cauchy y describe la conservación del momento no relativista de cualquier continuo que conserve la masa. σ es un tensor simétrico de rango dos dado por sus componentes covariantes. En coordenadas ortogonales en tres dimensiones se representa como la matriz de 3 × 3 :

${\ Displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {xx} & \ tau _ {xy} & \ tau _ {xz} \\\ tau _ {yx} & \ sigma _ {yy } & \ tau _ {yz} \\\ tau _ {zx} & \ tau _ {zy} & \ sigma _ {zz} \ end {pmatrix}}}$

donde σ son tensiones normales y τ tensiones cortantes . Esta matriz se divide en dos términos:

${\ Displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {xx} & \ tau _ {xy} & \ tau _ {xz} \\\ tau _ {yx} & \ sigma _ {yy } & \ tau _ {yz} \\\ tau _ {zx} & \ tau _ {zy} & \ sigma _ {zz} \ end {pmatrix}} = - {\ begin {pmatrix} p & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & p \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {xx} + p & \ tau _ {xy} & \ tau _ {xz} \\\ tau _ {yx} & \ sigma _ {yy} + p & \ tau _ {yz} \\\ tau _ {zx} & \ tau _ {zy} & \ sigma _ {zz} + p \ end {pmatrix}} = - p \ mathbf {I} + {\ boldsymbol {\ tau}}}$

donde I es la matriz identidad de 3 × 3 y τ es el tensor de tensión desviador . Tenga en cuenta que la presión mecánica p es igual al negativo de la tensión normal media:

${\ Displaystyle p = - {\ tfrac {1} {3}} \ left (\ sigma _ {xx} + \ sigma _ {yy} + \ sigma _ {zz} \ right).}$

La motivación para hacer esto es que la presión es típicamente una variable de interés, y también esto simplifica la aplicación a familias de fluidos específicas más adelante, ya que el tensor τ más a la derecha en la ecuación anterior debe ser cero para un fluido en reposo. Tenga en cuenta que τ no tiene rastro . La ecuación de Cauchy ahora se puede escribir en otra forma más explícita:

${\ Displaystyle \ rho {\ frac {D \ mathbf {u}} {Dt}} = - \ nabla p + \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} + \ mathbf {f}}$

Esta ecuación aún está incompleta. Para finalizar, hay que hacer hipótesis sobre las formas de τ y p , es decir, se necesita una ley constitutiva para el tensor de tensiones que se pueden obtener para las familias de fluidos específicos y de la presión. Algunas de estas hipótesis conducen a las ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos) , otras conducen a las ecuaciones de Navier-Stokes. Además, si se supone que el flujo es compresible, se requerirá una ecuación de estado, lo que probablemente requerirá una formulación de conservación de energía.

Aplicación a diferentes fluidos.

La forma general de las ecuaciones de movimiento no está "lista para su uso", el tensor de tensión aún se desconoce, por lo que se necesita más información; esta información es normalmente algún conocimiento del comportamiento viscoso del fluido. Para diferentes tipos de flujo de fluidos, esto da como resultado formas específicas de las ecuaciones de Navier-Stokes.

Fluido newtoniano

Fluido newtoniano comprimible

La formulación de los fluidos newtonianos proviene de una observación realizada por Newton que, para la mayoría de los fluidos,

${\ Displaystyle \ tau \ propto {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}}}$

Para aplicar esto a las ecuaciones de Navier-Stokes, Stokes hizo tres suposiciones:

• El tensor de tensión es una función lineal del tensor de velocidad de deformación o, de manera equivalente, el gradiente de velocidad.
• El fluido es isotrópico.
• Para un fluido en reposo, ∇ ⋅ τ debe ser cero (para que resulte la presión hidrostática ).

La lista anterior establece el argumento clásico de que el tensor de velocidad de deformación por corte (la parte de corte (simétrica) del gradiente de velocidad) es un tensor de corte puro y no incluye ninguna parte de entrada / salida (ninguna parte de compresión / expansión). Esto significa que su traza es cero, y esto se logra restando ∇ ⋅ u de manera simétrica de los elementos diagonales del tensor. La contribución de la compresión a la tensión viscosa se agrega como un tensor diagonal separado.

La aplicación de estos supuestos conducirá a:

${\ Displaystyle \ tau = \ mu \ left (\ nabla \ mathbf {u} + \ left (\ nabla \ mathbf {u} \ right) ^ {\ mathsf {T}} \ right) + \ lambda \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {u} \ derecha) \ mathbf {I}}$

o en forma tensorial

${\ Displaystyle \ tau _ {ij} = \ mu \ left ({\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial x_ {j}}} + {\ frac {\ parcial u_ {j}} {\ parcial x_ {i}}} \ derecha) + \ delta _ {ij} \ lambda {\ frac {\ parcial u_ {k}} {\ parcial x_ {k}}}}$

Es decir, el desviador del tensor de velocidad de deformación se identifica con el desviador del tensor de tensión, hasta un factor μ .

δ _ij es el delta de Kronecker . μ y λ son constantes de proporcionalidad asociadas con el supuesto de que la tensión depende de la deformación linealmente; μ se llama el primer coeficiente de viscosidad o viscosidad de cizallamiento (generalmente llamado simplemente "viscosidad") y λ es el segundo coeficiente de viscosidad o viscosidad volumétrica (y está relacionado con la viscosidad a granel ). El valor de λ , que produce un efecto viscoso asociado al cambio de volumen, es muy difícil de determinar, ni siquiera se conoce su signo con absoluta certeza. Incluso en flujos comprimibles, el término que involucra a λ es a menudo insignificante; sin embargo, ocasionalmente puede ser importante incluso en flujos casi incompresibles y es motivo de controversia. Cuando se toma distinto de cero, la aproximación más común es λ ≈ -2/3μ .

Una sustitución sencilla de τ _ij en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento producirá las ecuaciones de Navier-Stokes , que describen un fluido newtoniano compresible:

${\ Displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ parcial \ mathbf {u}} {\ parcial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ right) = - \ nabla p + \ nabla \ cdot \ left [\ mu \ left (\ nabla \ mathbf {u} + \ left (\ nabla \ mathbf {u} \ right) ^ {\ mathsf {T}} \ right) \ right] + \ nabla \ cdot \ left [\ lambda \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {u} \ right) \ mathbf {I} \ right] + \ rho \ mathbf {g}}$

La fuerza del cuerpo se ha descompuesto en densidad y aceleración externa, es decir, f = ρ g . La ecuación de continuidad de masa asociada es:

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}$

Además de esta ecuación, se necesita una ecuación de estado y una ecuación para la conservación de la energía. La ecuación de estado a utilizar depende del contexto (a menudo la ley de los gases ideales ), la conservación de la energía se leerá:

${\ Displaystyle \ rho {\ frac {Dh} {Dt}} = {\ frac {Dp} {Dt}} + \ nabla \ cdot (k \ nabla T) + \ Phi}$

Aquí, h es la entalpía específica , T es la temperatura y Φ es una función que representa la disipación de energía debido a efectos viscosos:

${\ Displaystyle \ Phi = \ mu \ left (2 \ left ({\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} \ derecha) ^ {2} +2 \ left ({\ frac {\ parcial v} { \ parcial y}} \ derecha) ^ {2} +2 \ izquierda ({\ frac {\ parcial w} {\ parcial z}} \ derecha) ^ {2} + \ izquierda ({\ frac {\ parcial v} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} \ derecha) ^ {2} + \ izquierda ({\ frac {\ parcial w} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial v} {\ parcial z}} \ derecha) ^ {2} + \ izquierda ({\ frac {\ parcial u} {\ parcial z}} + {\ frac {\ parcial w} {\ parcial x} } \ derecha) ^ {2} \ derecha) + \ lambda (\ nabla \ cdot \ mathbf {u}) ^ {2}.}$

Con una buena ecuación de estado y buenas funciones para la dependencia de parámetros (como la viscosidad) de las variables, este sistema de ecuaciones parece modelar adecuadamente la dinámica de todos los gases conocidos y la mayoría de los líquidos.

Fluido newtoniano incompresible

Para el caso especial (pero muy común) de flujo incompresible, las ecuaciones de momento se simplifican significativamente. Utilizando las siguientes suposiciones:

• La viscosidad μ ahora será una constante
• El segundo efecto de viscosidad λ = 0
• La ecuación de continuidad de masa simplificada ∇ ⋅ u = 0

Esto da ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles, que describen el fluido newtoniano incompresible:

${\ Displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ parcial \ mathbf {u}} {\ parcial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ right) = - \ nabla p + \ nabla \ cdot \ left [\ mu \ left (\ nabla \ mathbf {u} + \ left (\ nabla \ mathbf {u} \ right) ^ {\ mathsf {T}} \ right) \ right] + \ rho \ mathbf {g}}$

luego, mirando los términos viscosos de la ecuación de momento x , por ejemplo, tenemos:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ izquierda (2 \ mu {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} \ derecha) + {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} \ izquierda (\ mu \ izquierda ({\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial v} {\ parcial x}} \ derecha) \ derecha) + {\ frac {\ parcial} {\ parcial z}} \ izquierda (\ mu \ izquierda ({\ frac {\ parcial u} {\ parcial z}} + {\ frac {\ parcial w} {\ parcial x}} \ derecha) \ derecha) \\ [8px] & \ qquad = 2 \ mu {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {2}}} + \ mu {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial y ^ {2}}} + \ mu {\ frac {\ parcial ^ {2} v} {\ parcial y \, \ parcial x}} + \ mu {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial z ^ {2}}} + \ mu {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial z \, \ parcial x}} \\ [8px ] & \ qquad = \ mu {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {2}}} + \ mu {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial y ^ { 2}}} + \ mu {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial z ^ {2}}} + \ mu {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ { 2}}} + \ mu {\ frac {\ parcial ^ {2} v} {\ parcial y \, \ parcial x}} + \ mu {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial z \ , \ parcial x}} \\ [8px] & \ qquad = \ mu \ nabla ^ {2} u + \ mu {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} {\ cance lto {0} {\ left ({\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial v} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial w} {\ parcial z }} \ right)}} \\ [8px] & \ qquad = \ mu \ nabla ^ {2} u \ end {alineado}} \,}$

Del mismo modo para el y y z direcciones impulso que hemos mu ∇ ² v y mu ∇ ² w .

La solución anterior es clave para derivar las ecuaciones de Navier-Stokes a partir de la ecuación de movimiento en la dinámica de fluidos cuando la densidad y la viscosidad son constantes.

Fluidos no newtonianos

Un fluido no newtoniano es un fluido cuyas propiedades de flujo difieren de alguna manera de las de los fluidos newtonianos . Más comúnmente, la viscosidad de los fluidos no newtonianos es una función de la velocidad de corte o del historial de velocidad de corte. Sin embargo, hay algunos fluidos no newtonianos con viscosidad independiente del cizallamiento que, no obstante, exhiben diferencias de tensión normales u otro comportamiento no newtoniano. Muchas soluciones salinas y polímeros fundidos son fluidos no newtonianos, al igual que muchas sustancias que se encuentran comúnmente, como la salsa de tomate , las natillas , la pasta de dientes , las suspensiones de almidón, la pintura , la sangre y el champú . En un fluido newtoniano, la relación entre el esfuerzo cortante y la velocidad de corte es lineal, pasando por el origen, siendo la constante de proporcionalidad el coeficiente de viscosidad. En un fluido no newtoniano, la relación entre el esfuerzo cortante y la velocidad de corte es diferente e incluso puede depender del tiempo. El estudio de los fluidos no newtonianos se suele llamar reología . Aquí se dan algunos ejemplos.

Fluido de Bingham

En los fluidos de Bingham, la situación es ligeramente diferente:

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} = {\ begin {cases} 0, & \ tau <\ tau _ {0} \\ [5px] {\ dfrac {\ tau - \ tau _ {0}} {\ mu}}, & \ tau \ geq \ tau _ {0} \ end {cases}}}$

Estos son fluidos capaces de soportar algo de cizallamiento antes de que comiencen a fluir. Algunos ejemplos comunes son la pasta de dientes y la arcilla .

Fluido de ley de potencia

Un fluido de ley de potencia es un fluido idealizado para el cual el esfuerzo cortante , τ , está dado por

${\ Displaystyle \ tau = K \ left ({\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} \ derecha) ^ {n}}$

Esta forma es útil para aproximar todo tipo de fluidos generales, incluido el adelgazamiento por cizallamiento (como la pintura de látex) y el espesamiento por cizallamiento (como la mezcla de agua con almidón de maíz).

Formulación de función de flujo

En el análisis de un flujo, a menudo es deseable reducir el número de ecuaciones y / o el número de variables. La ecuación incompresible de Navier-Stokes con continuidad de masa (cuatro ecuaciones en cuatro incógnitas) se puede reducir a una sola ecuación con una sola variable dependiente en 2D, o una ecuación vectorial en 3D. Esto está habilitado por dos identidades de cálculo vectorial :

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ nabla \ times (\ nabla \ phi) & = 0 \\\ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {A}) & = 0 \ end {alineado}}}$

para cualquier escalar diferenciable φ y el vector A . La primera identidad implica que cualquier término de la ecuación de Navier-Stokes que pueda representarse como el gradiente de un escalar desaparecerá cuando se tome la curva de la ecuación. Por lo general, se eliminarán la presión py la aceleración externa g , lo que da como resultado (esto es cierto tanto en 2D como en 3D):

${\ Displaystyle \ nabla \ times \ left ({\ frac {\ parcial \ mathbf {u}} {\ parcial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ right) = \ nu \ nabla \ times \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {u} \ right)}$

donde se asume que todas las fuerzas corporales se pueden describir como gradientes (por ejemplo, es cierto para la gravedad), y la densidad se ha dividido para que la viscosidad se convierta en viscosidad cinemática .

La segunda identidad de cálculo vectorial anterior establece que la divergencia del rizo de un campo vectorial es cero. Dado que la ecuación de continuidad de la masa (incompresible) especifica que la divergencia de la velocidad del flujo es cero, podemos reemplazar la velocidad del flujo con el rizo de algún vector ψ para que la continuidad de la masa siempre se satisfaga:

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad \ nabla \ cdot (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad 0 = 0}$

Entonces, siempre que la velocidad del flujo se represente mediante u = ∇ × ψ , la continuidad de la masa se satisface incondicionalmente. Con esta nueva variable de vector dependiente, la ecuación de Navier-Stokes (con el rizo tomado como arriba) se convierte en una única ecuación de vector de cuarto orden, que ya no contiene la variable de presión desconocida y ya no depende de una ecuación de continuidad de masa separada:

${\ Displaystyle \ nabla \ times \ left ({\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) + (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi} }) \ cdot \ nabla (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) \ right) = \ nu \ nabla \ times \ left (\ nabla ^ {2} (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi }})\Derecha)}$

Además de contener derivadas de cuarto orden, esta ecuación es bastante complicada y, por lo tanto, poco común. Tenga en cuenta que si se omite la diferenciación cruzada, el resultado es una ecuación vectorial de tercer orden que contiene un campo vectorial desconocido (el gradiente de presión) que puede determinarse a partir de las mismas condiciones de contorno que se aplicarían a la ecuación de cuarto orden anterior.

Flujo 2D en coordenadas ortogonales

La verdadera utilidad de esta formulación se ve cuando el flujo es de naturaleza bidimensional y la ecuación está escrita en un sistema de coordenadas ortogonales general , en otras palabras, un sistema donde los vectores base son ortogonales. Tenga en cuenta que esto de ninguna manera limita la aplicación a las coordenadas cartesianas , de hecho, la mayoría de los sistemas de coordenadas comunes son ortogonales, incluidos los familiares como los cilíndricos y los oscuros como los toroidales .

La velocidad del flujo 3D se expresa como (tenga en cuenta que la discusión no utilizó coordenadas hasta ahora):

${\ Displaystyle \ mathbf {u} = u_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + u_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + u_ {3} \ mathbf {e} _ {3} }$

donde e _i son vectores base, no necesariamente constantes y no necesariamente normalizados, y u _i son componentes de la velocidad del flujo; sean también las coordenadas del espacio ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) .

Ahora suponga que el flujo es 2D. Esto no significa que el flujo está en un plano, más bien significa que el componente de la velocidad del flujo en una dirección es cero y los componentes restantes son independientes de la misma dirección. En ese caso (tome el componente 3 como cero):

${\ Displaystyle \ mathbf {u} = u_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + u_ {2} \ mathbf {e} _ {2}; \ qquad {\ frac {\ parcial u_ {1}} {\ parcial x_ {3}}} = {\ frac {\ parcial u_ {2}} {\ parcial x_ {3}}} = 0}$

La función vectorial ψ todavía se define mediante:

${\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}}$

pero esto también debe simplificarse de alguna manera ya que el flujo se asume en 2D. Si se asumen coordenadas ortogonales, el rizo adquiere una forma bastante simple y la ecuación anterior expandida se convierte en:

${\ Displaystyle u_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + u_ {2} \ mathbf {e} _ {2} = {\ frac {\ mathbf {e} _ {1}} {h_ {2} h_ {3}}} \ izquierda [{\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {2}}} \ izquierda (h_ {3} \ psi _ {3} \ derecha) - {\ frac {\ parcial} { \ parcial x_ {3}}} \ izquierda (h_ {2} \ psi _ {2} \ derecha) \ derecha] +}$

${\ Displaystyle {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \} + {\ frac {\ mathbf {e} _ {2}} {h_ {3} h_ { 1}}} \ izquierda [{\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {3}}} \ izquierda (h_ {1} \ psi _ {1} \ derecha) - {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {1}}} \ izquierda (h_ {3} \ psi _ {3} \ derecha) \ derecha] + {\ frac {\ mathbf {e} _ {3}} {h_ {1} h_ {2}} } \ izquierda [{\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {1}}} \ izquierda (h_ {2} \ psi _ {2} \ derecha) - {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {2 }}} \ izquierda (h_ {1} \ psi _ {1} \ derecha) \ derecha]}$

El examen de esta ecuación muestra que podemos establecer ψ ₁ = ψ ₂ = 0 y mantener la igualdad sin pérdida de generalidad, de modo que:

${\ Displaystyle u_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + u_ {2} \ mathbf {e} _ {2} = {\ frac {\ mathbf {e} _ {1}} {h_ {2} h_ {3}}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {2}}} \ izquierda (h_ {3} \ psi _ {3} \ derecha) - {\ frac {\ mathbf {e} _ { 2}} {h_ {3} h_ {1}}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {1}}} \ izquierda (h_ {3} \ psi _ {3} \ derecha)}$

la importancia aquí es que solo queda un componente de ψ , por lo que el flujo 2D se convierte en un problema con solo una variable dependiente. La ecuación de Navier-Stokes con diferenciación cruzada se convierte en dos ecuaciones 0 = 0 y una ecuación significativa.

El componente restante ψ ₃ = ψ se llama función de flujo . La ecuación para ψ se puede simplificar ya que una variedad de cantidades ahora será igual a cero, por ejemplo:

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ psi}} = {\ frac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {3 }}} \ left (\ psi h_ {1} h_ {2} \ right) = 0}$

si los factores de escala h ₁ y h ₂ también son independientes de x ₃ . Además, a partir de la definición del vector laplaciano

${\ Displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) = \ nabla (\ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ psi}}) - \ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ psi}} = - \ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ psi}}}$

La manipulación de la ecuación de Navier-Stokes diferenciada cruzada utilizando las dos ecuaciones anteriores y una variedad de identidades eventualmente producirá la ecuación escalar 1D para la función de flujo:

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ left (\ nabla ^ {2} \ psi \ right) + (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) \ cdot \ nabla \ izquierda (\ nabla ^ {2} \ psi \ right) = \ nu \ nabla ^ {4} \ psi}$

donde ∇ ⁴ es el operador biharmonic . Esto es muy útil porque es una única ecuación escalar autónoma que describe la conservación de la masa y el momento en 2D. Las únicas otras ecuaciones que necesita esta ecuación diferencial parcial son las condiciones iniciales y de contorno.

Derivación de la ecuación de la función de flujo escalar

Distribuir el rizo : ${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} (\ nabla \ times (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}})) + \ nabla \ times {\ bigl (} (\ nabla \ veces {\ boldsymbol {\ psi}}) \ cdot \ nabla (\ nabla \ veces {\ boldsymbol {\ psi}}) {\ bigr)} = \ nu \ nabla \ veces \ left (\ nabla ^ {2} ( \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) \ right)}$ Reemplazo del rizo del rizo con el Laplaciano y expansión de la convección y la viscosidad: ${\ estilo de visualización - {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ izquierda (\ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ derecha) + \ nabla \ veces \ izquierda (\ nabla \ izquierda ( {\ frac {(\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) \ cdot (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}})} {2}} \ right) + \ left (\ nabla \ times (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) \ right) \ times (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) \ right) = \ nu \ left (\ nabla ^ {2} (\ nabla (\ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ psi}})) - \ nabla ^ {4} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right)}$ Arriba, la curvatura de un gradiente es cero y la divergencia de ψ es cero. Negar: ${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ left (\ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right) + \ nabla \ times \ left (\ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ times (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) \ right) = \ nu \ nabla ^ {4} {\ boldsymbol {\ psi}}}$ Expandiendo el rizo del producto cruzado en cuatro términos: ${\ Displaystyle {\ frac {\ Partical} {\ Partical t}} \ left (\ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right) + (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}} ) \ cdot \ nabla \ left (\ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right) - \ left (\ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right) \ cdot \ nabla (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) + \ left (\ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right) (\ nabla \ cdot (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}})) - (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) \ left (\ nabla \ cdot \ left (\ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right) \ right) = \ nu \ nabla ^ {4} {\ boldsymbol {\ psi}}}$ Solo uno de los cuatro términos del rizo expandido es distinto de cero. El segundo es cero porque es el producto escalar de los vectores ortogonales, el tercero es cero porque contiene la divergencia de la velocidad del flujo y el cuarto es cero porque la divergencia de un vector con solo el componente tres es cero (ya que se supone que nada (excepto quizás h 3 ) depende del componente tres). ${\ displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ left (\ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right) + (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}} ) \ cdot \ nabla \ left (\ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right) = \ nu \ nabla ^ {4} {\ boldsymbol {\ psi}}}$ Esta ecuación vectorial es una ecuación escalar significativa y dos ecuaciones 0 = 0 .

Los supuestos para la ecuación de la función de flujo son:

• El flujo es incompresible y newtoniano.
• Las coordenadas son ortogonales .
• El flujo es 2D: u ₃ =∂ u ₁/∂ x ₃ = ∂ u ₂/∂ x ₃ = 0
• Los dos primeros factores de escala del sistema de coordenadas son independientes de la última coordenada: ∂ h ₁/∂ x ₃ = ∂ h ₂/∂ x ₃= 0 , de lo contrario aparecen términos adicionales.

La función de flujo tiene algunas propiedades útiles:

• Dado que −∇ ² ψ = ∇ × (∇ × ψ ) = ∇ × u , la vorticidad del flujo es solo el negativo de la función laplaciana de la corriente.
• Las curvas de nivel de la función de flujo son líneas de flujo .

El tensor de estrés

La derivación de la ecuación de Navier-Stokes implica la consideración de las fuerzas que actúan sobre los elementos fluidos, de modo que una cantidad llamada tensor de tensión aparece naturalmente en la ecuación de cantidad de movimiento de Cauchy . Dado que se toma la divergencia de este tensor, se acostumbra escribir la ecuación completamente simplificada, de modo que se pierda la apariencia original del tensor de tensión.

Sin embargo, el tensor de tensión todavía tiene algunos usos importantes, especialmente en la formulación de condiciones de contorno en interfaces de fluidos . Recordando que σ = - p I + τ , para un fluido newtoniano el tensor de tensión es:

${\ Displaystyle \ sigma _ {ij} = - p \ delta _ {ij} + \ mu \ left ({\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial x_ {j}}} + {\ frac {\ parcial u_ {j}} {\ parcial x_ {i}}} \ derecha) + \ delta _ {ij} \ lambda \ nabla \ cdot \ mathbf {u}.}$

Si se supone que el fluido es incompresible, el tensor se simplifica significativamente. En coordenadas cartesianas 3D, por ejemplo:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ sigma}} & = - {\ begin {pmatrix} p & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & p \ end {pmatrix}} + \ mu {\ begin {pmatrix} 2 \ estilo de visualización {\ frac {\ u parcial} {\ x parcial}} y \ estilo de visualización {{\ frac {\ u parcial} {\ y parcial}} + {\ frac {\ parcial v} {\ parcial x}}} y \ displaystyle {{\ frac {\ u parcial} {\ z parcial}} + {\ frac {\ w parcial} {\ x parcial}}} \\\ estilo de visualización {{\ frac {\ v parcial} {\ x parcial }} + {\ frac {\ u parcial} {\ y parcial}}} & 2 \ estilo de visualización {\ frac {\ v parcial} {\ y parcial}} y \ estilo de visualización {{\ frac {\ v parcial} {\ parcial z}} + {\ frac {\ parcial w} {\ parcial y}}} \\\ estilo de visualización {{\ frac {\ parcial w} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial u} {\ parcial z}}} & \ displaystyle {{\ frac {\ parcial w} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial v} {\ parcial z}}} & 2 \ displaystyle {\ frac {\ parcial w} { \ parcial z}} \ end {pmatrix}} \\ [6px] & = - p \ mathbf {I} + \ mu \ left (\ nabla \ mathbf {u} + \ left (\ nabla \ mathbf {u} \ derecha) ^ {\ mathsf {T}} \ right) \\ [6px] & = - p \ mathbf {I} +2 \ mu \ mathbf {e} \ end {alineado}}}$

e es eltensor de la tasa de deformación, por definición:

${\ Displaystyle e_ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial x_ {j}}} + {\ frac {\ parcial u_ { j}} {\ parcial x_ {i}}} \ derecha).}$

Referencias

• Batchelor, G. K. (2000). Introducción a la dinámica de fluidos . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66396-0.
• Blanco, Frank M. (2006). Flujo de fluido viscoso (3ª ed.). Nueva York: McGraw Hill. ISBN 0-07-240231-8.
• Módulo de tensión superficial , por John WM Bush, en MIT OCW
• Galdi, Introducción a la teoría matemática de las ecuaciones de Navier-Stokes: problemas de estado estacionario. Springer 2011