Armónico cúbico - Cubic harmonic

En campos como la química computacional y de estado sólido y de materia condensada física los llamados orbitales atómicos , o spin-orbitales , tal como aparecen en los libros de texto en la física cuántica, a menudo se sustituye parcialmente por armónicos cúbicos por un número de razones. Estos armónicos generalmente se denominan armónicos teserales en el campo de la física de la materia condensada, en el que el nombre armónicos kubicos se refiere más bien a las representaciones irreducibles en el grupo de puntos cúbicos.

Introducción

Los orbitales atómicos similares al hidrógeno con número cuántico principal y número cuántico de momento angular a menudo se expresan como ${\ Displaystyle 2l + 1}$ ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle l}$

${\ Displaystyle \ psi _ {nlm} (\ mathbf {r}) = R_ {nl} (r) Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}$

en el que es la parte radial de la función de onda y es la parte angular dependiente. El son los armónicos esféricos , que son soluciones de la cantidad de movimiento angular del operador. Los armónicos esféricos son representaciones de funciones del grupo de rotación completo SO (3) con simetría rotacional. En muchos campos de la física y la química estos armónicos esféricos son reemplazados por armónicos cúbicos porque la simetría rotacional del átomo y su entorno están distorsionados o porque los armónicos cúbicos ofrecen beneficios computacionales. ${\ Displaystyle R_ {nl} (r)}$${\ Displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}$${\ Displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}$

Simetría y sistema de coordenadas

En muchos casos, especialmente en química y física del estado sólido y de la materia condensada , el sistema bajo investigación no tiene simetría rotacional. A menudo tiene algún tipo de simetría inferior , con una representación de grupo de puntos especial , o no tiene simetría espacial en absoluto . Los sistemas biológicos y bioquímicos , como los aminoácidos y las enzimas, a menudo pertenecen a grupos de puntos de simetría de bajo peso molecular . Los cristales sólidos de los elementos a menudo pertenecen a grupos espaciales y grupos puntuales con alta simetría. (Las representaciones de armónicos cúbicos a menudo se enumeran y se hace referencia a ellas en tablas de grupos de puntos ). El sistema tiene al menos una orientación fija en el espacio euclidiano tridimensional . Por lo tanto, el sistema de coordenadas que se utiliza en tales casos suele ser un sistema de coordenadas cartesiano en lugar de un sistema de coordenadas esféricas . En un sistema de coordenadas cartesiano, los orbitales atómicos se expresan a menudo como

${\ Displaystyle \ psi _ {nlc} (\ mathbf {r}) = R_ {nl} (r) X_ {lc} (\ mathbf {r})}$

con los armónicos cúbicos , como un conjunto de bases . Los cálculos de LCAO y MO en química computacional o cálculos de enlace estricto en física de estado sólido utilizan armónicos cúbicos como base orbital atómica. Los índices lc denotan algún tipo de representación cartesiana. ${\ Displaystyle X_ {lc} (\ mathbf {r})}$

Transformaciones de base

Para las representaciones de los armónicos esféricos se elige un sistema de coordenadas esféricas con un eje principal en la dirección z . Para los armónicos cúbicos, este eje también es la opción más conveniente. Para estados de mayor momento angular número cuántico y una mayor dimensión del número de posibles rotaciones o transformaciones de base en el espacio de Hilbert crece y también lo hace el número de posibles representaciones ortogonales que se pueden construir sobre la base del conjunto de bases de armónicos esféricos -dimensionales. Hay más libertad para elegir una representación que se ajuste a la simetría del grupo de puntos del problema. Las representaciones cúbicas que se enumeran en la tabla son el resultado de las transformaciones, que son rotaciones 2D de 45 ° y una rotación de 90 ° con respecto al eje real si es necesario, como ${\ Displaystyle l}$${\ Displaystyle l (l + 1)}$${\ Displaystyle l (l + 1)}$

${\ Displaystyle X_ {lc} (\ mathbf {r}) = Y_ {l} ^ {0}}$

${\ Displaystyle X_ {lc '} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {i ^ {n_ {c'}} {\ sqrt {2}}}} \ left (Y_ {l} ^ { m} -Y_ {l} ^ {- m} \ right)}$

${\ Displaystyle X_ {lc ''} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {i ^ {n_ {c ''}} {\ sqrt {2}}}} \ left (Y_ {l} ^ {m} + Y_ {l} ^ {- m} \ right)}$

Un número sustancial de armónicos esféricos se enumeran en la Tabla de armónicos esféricos .

Beneficios computacionales

En primer lugar, los armónicos cúbicos son funciones reales , mientras que los armónicos esféricos son funciones complejas . Los números complejos son bidimensionales con una parte real y una parte imaginaria. Los números complejos ofrecen herramientas muy atractivas y efectivas para abordar problemas matemáticos analíticamente, pero no son muy efectivos cuando se utilizan para cálculos numéricos. Omitir la parte imaginaria ahorra la mitad del esfuerzo de cálculo en las sumas, un factor de cuatro en las multiplicaciones y, a menudo, los factores de ocho o incluso más cuando se trata de cálculos con matrices.

Los armónicos cúbicos a menudo se ajustan a la simetría del potencial o el entorno de un átomo. Un entorno común de átomos en sólidos y complejos químicos es un entorno octaédrico con una simetría de grupo de puntos cúbicos octaédricos . Las representaciones de los armónicos cúbicos a menudo tienen una alta simetría y multiplicidad, por lo que operaciones como integraciones se pueden reducir a una parte limitada o irreductible del dominio de la función que debe evaluarse. Un problema con la simetría octaédrica O _{h de} 48 veces se puede calcular mucho más rápido si se limita un cálculo, como una integración, a la parte irreducible del dominio de la función.

Tabla de armónicos cúbicos

Los orbitales s

Los orbitales s solo tienen una parte radial.

${\ Displaystyle \ psi _ {n00} (\ mathbf {r}) = R_ {n0} (r) Y_ {0} ^ {0}}$

${\ Displaystyle s = X_ {00} = Y_ {0} ^ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}}}$

	n = 1	2	3	4	5	6	7
R n0

Los orbitales p

Los tres orbitales p son orbitales atómicos con un número cuántico de momento angular ℓ = 1 . La expresión armónica cúbica de los orbitales p

${\ Displaystyle p_ {z} = N_ {1} ^ {c} {\ frac {z} {r}} = Y_ {1} ^ {0}}$

${\ Displaystyle p_ {x} = N_ {1} ^ {c} {\ frac {x} {r}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ {1} ^ { -1} -Y_ {1} ^ {1} \ right)}$

${\ Displaystyle p_ {y} = N_ {1} ^ {c} {\ frac {y} {r}} = {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ {1} ^ { -1} + Y_ {1} ^ {1} \ right)}$

con

${\ Displaystyle N_ {1} ^ {c} = \ left ({\ frac {3} {4 \ pi}} \ right) ^ {1/2}}$

p z	p x	p y

Los orbitales d

Los cinco orbitales d son orbitales atómicos con un número cuántico de momento angular ℓ = 2 . La parte angular de los orbitales d a menudo se expresa como

${\ Displaystyle \ psi _ {n2c} (\ mathbf {r}) = R_ {n2} (r) X_ {2c} (\ mathbf {r})}$

La parte angular de los orbitales d son los armónicos cúbicos ${\ Displaystyle X_ {2c} (\ mathbf {r})}$

${\ Displaystyle d_ {z ^ {2}} = N_ {2} ^ {c} {\ frac {3z ^ {2} -r ^ {2}} {2r ^ {2} {\ sqrt {3}}} } = Y_ {2} ^ {0}}$

${\ Displaystyle d_ {xz} = N_ {2} ^ {c} {\ frac {xz} {r ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ { 2} ^ {- 1} -Y_ {2} ^ {1} \ right)}$

${\ Displaystyle d_ {yz} = N_ {2} ^ {c} {\ frac {yz} {r ^ {2}}} = {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ { 2} ^ {- 1} + Y_ {2} ^ {1} \ right)}$

${\ Displaystyle d_ {xy} = N_ {2} ^ {c} {\ frac {xy} {r ^ {2}}} = {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ { 2} ^ {- 2} -Y_ {2} ^ {2} \ right)}$

${\ Displaystyle d_ {x ^ {2} -y ^ {2}} = N_ {2} ^ {c} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {2r ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ {2} ^ {- 2} + Y_ {2} ^ {2} \ right)}$

con

${\ Displaystyle N_ {2} ^ {c} = \ left ({\ frac {15} {4 \ pi}} \ right) ^ {1/2}}$

d z 2	d xz	d yz	d xy	d x 2 -y 2

Los orbitales f

Los siete orbitales f son orbitales atómicos con un número cuántico de momento angular ℓ = 3 . a menudo expresado como

${\ Displaystyle \ psi _ {n3c} (\ mathbf {r}) = R_ {n3} (r) X_ {3c} (\ mathbf {r})}$

La parte angular de los orbitales f son los armónicos cúbicos . En muchos casos, se eligen diferentes combinaciones lineales de armónicos esféricos para construir un conjunto de bases de orbitales f cúbicos. ${\ Displaystyle X_ {3c} (\ mathbf {r})}$

${\ Displaystyle f_ {z ^ {3}} = N_ {3} ^ {c} {\ frac {z (2z ^ {2} -3x ^ {2} -3y ^ {2})} {2r ^ {3 } {\ sqrt {15}}}} = Y_ {3} ^ {0}}$

${\ Displaystyle f_ {xz ^ {2}} = N_ {3} ^ {c} {\ frac {x (4z ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2})} {2r ^ {3 } {\ sqrt {10}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ {3} ^ {- 1} -Y_ {3} ^ {1} \ right)}$

${\ Displaystyle f_ {yz ^ {2}} = N_ {3} ^ {c} {\ frac {y (4z ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2})} {2r ^ {3 } {\ sqrt {10}}}} = {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ {3} ^ {- 1} + Y_ {3} ^ {1} \ right)}$

${\ Displaystyle f_ {xyz} = N_ {3} ^ {c} {\ frac {xyz} {r ^ {3}}} = {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ { 3} ^ {- 2} -Y_ {3} ^ {2} \ right)}$

${\ Displaystyle f_ {z (x ^ {2} -y ^ {2})} = N_ {3} ^ {c} {\ frac {z \ left (x ^ {2} -y ^ {2} \ right )} {2r ^ {3}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ {3} ^ {- 2} + Y_ {3} ^ {2} \ right)}$

${\ Displaystyle f_ {x (x ^ {2} -3y ^ {2})} = N_ {3} ^ {c} {\ frac {x \ left (x ^ {2} -3y ^ {2} \ right )} {2r ^ {3} {\ sqrt {6}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ {3} ^ {- 3} -Y_ {3} ^ {3} \ right)}$

${\ Displaystyle f_ {y (3x ^ {2} -y ^ {2})} = N_ {3} ^ {c} {\ frac {y \ left (3x ^ {2} -y ^ {2} \ right )} {2r ^ {3} {\ sqrt {6}}}} = {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ {3} ^ {- 3} + Y_ {3} ^ {3} \ right)}$

con

${\ Displaystyle N_ {3} ^ {c} = \ left ({\ frac {105} {4 \ pi}} \ right) ^ {1/2}}$

f z 3	f xz 2	f yz 2	f xyz	f z (x 2 -y 2 )	f x (x 2 -3y 2 )	f y (3x 2 -y 2 )

Ver también

Referencias