Geometría convexa - Convex geometry

En matemáticas , la geometría convexa es la rama de la geometría que estudia los conjuntos convexos , principalmente en el espacio euclidiano . Los conjuntos convexos ocurren naturalmente en muchas áreas: geometría computacional , análisis convexo , geometría discreta , análisis funcional , geometría de números , geometría integral , programación lineal , teoría de probabilidades , teoría de juegos , etc.

Clasificación

De acuerdo con la Clasificación de Materias de Matemáticas MSC2010, la disciplina matemática Convexa y Geometría Discreta incluye tres ramas principales:

  • convexidad general
  • politopos y poliedros
  • geometría discreta

(aunque solo partes de los dos últimos se incluyen en la geometría convexa).

La convexidad general se subdivide de la siguiente manera:

  • convexidad axiomática y generalizada
  • conjuntos convexos sin restricciones de dimensión
  • conjuntos convexos en espacios vectoriales topológicos
  • conjuntos convexos en 2 dimensiones (incluidas curvas convexas)
  • conjuntos convexos en 3 dimensiones (incluidas superficies convexas)
  • conjuntos convexos en n dimensiones (incluidas las hipersuperficies convexas)
  • espacios de Banach de dimensión finita
  • conjuntos convexos aleatorios y geometría integral
  • teoría asintótica de cuerpos convexos
  • aproximación por conjuntos convexos
  • variantes de conjuntos convexos (en forma de estrella, ( m, n ) -convexos, etc.)
  • Teoremas tipo Helly y teoría transversal geométrica
  • otros problemas de convexidad combinatoria
  • longitud, área, volumen
  • volúmenes mixtos y temas relacionados
  • valoraciones sobre cuerpos convexos
  • desigualdades y problemas extremos
  • funciones convexas y programas convexos
  • convexidad esférica e hiperbólica

El término geometría convexa también se usa en combinatoria como un nombre alternativo para un antimatroide , que es uno de los modelos abstractos de conjuntos convexos.

Nota histórica

La geometría convexa es una disciplina matemática relativamente joven. Aunque las primeras contribuciones conocidas a la geometría convexa se remontan a la antigüedad y se pueden rastrear en las obras de Euclides y Arquímedes , se convirtió en una rama independiente de las matemáticas a principios del siglo XX, principalmente debido a las obras de Hermann Brunn y Hermann Minkowski. en dimensiones dos y tres. Una gran parte de sus resultados pronto se generalizó a espacios de mayores dimensiones, y en 1934 T. Bonnesen y W. Fenchel dieron un estudio completo de la geometría convexa en el espacio euclidiano R n . El mayor desarrollo de la geometría convexa en el siglo XX y sus relaciones con numerosas disciplinas matemáticas se resumen en el Manual de geometría convexa editado por PM Gruber y JM Wills.

Ver también

Notas

Referencias

Artículos expositivos sobre geometría convexa

  • K. Ball, Una introducción elemental a la geometría convexa moderna, en: Flavors of Geometry, págs. 1-58, Math. Sci. Res. Inst. Publ. Vol. 31, Universidad de Cambridge. Press, Cambridge, 1997, disponible en línea .
  • M. Berger, Convexidad, Amer. Matemáticas. Mensual, Vol. 97 (1990), 650-678. DOI: 10.2307 / 2324573
  • PM Gruber, Aspectos de la convexidad y sus aplicaciones, Exposición. Math., Vol. 2 (1984), 47-83.
  • V. Klee, ¿Qué es un conjunto convexo? Amer. Matemáticas. Mensual, Vol. 78 (1971), 616—631, DOI: 10.2307 / 2316569

Libros sobre geometría convexa

  • T. Bonnesen, W. Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Julius Springer, Berlín, 1934. Traducción al inglés: Teoría de los cuerpos convexos, BCS Associates, Moscú, ID, 1987.
  • RJ Gardner, tomografía geométrica, Cambridge University Press, Nueva York, 1995. Segunda edición: 2006.
  • PM Gruber , geometría convexa y discreta, Springer-Verlag, Nueva York, 2007.
  • PM Gruber, JM Wills (editores), Manual de geometría convexa. Vol. A. B, Holanda Septentrional, Ámsterdam, 1993.
  • G. Pisier, El volumen de los cuerpos convexos y la geometría del espacio de Banach, Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
  • R. Schneider, Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1993; Segunda edición: 2014.
  • AC Thompson, geometría de Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
  • A. Koldobsky, V. Yaskin, La interfaz entre la geometría convexa y el análisis armónico, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2008.

Artículos sobre la historia de la geometría convexa.

  • W. Fenchel, Convexidad a través de las edades, Sociedad Matemática Danesa (danesa) (1929-1973), págs. 103-116, Dansk. Estera. Forening, Copenhague, 1973. Traducción al inglés: Convexity through the age, en: PM Gruber, JM Wills (editores), Convexity and its Applications, págs. 120-130, Birkhauser Verlag, Basilea, 1983.
  • PM Gruber, Zur Geschichte der Konvexgeometrie und der Geometrie der Zahlen, en: G. Fischer, et al. (editores), Ein Jahrhundert Mathematik 1890-1990, págs. 421-455, Dokumente Gesch. Math., Vol. 6, F. Wieweg y Sohn, Braunschweig; Deutsche Mathematiker Vereinigung, Friburgo, 1990.
  • PM Gruber, Historia de la convexidad, en: PM Gruber, JM Wills (editores), Manual de geometría convexa. Vol. A, págs. 1-15, Holanda Septentrional, Ámsterdam, 1993.

enlaces externos