Geometría convexa - Convex geometry
En matemáticas , la geometría convexa es la rama de la geometría que estudia los conjuntos convexos , principalmente en el espacio euclidiano . Los conjuntos convexos ocurren naturalmente en muchas áreas: geometría computacional , análisis convexo , geometría discreta , análisis funcional , geometría de números , geometría integral , programación lineal , teoría de probabilidades , teoría de juegos , etc.
Clasificación
De acuerdo con la Clasificación de Materias de Matemáticas MSC2010, la disciplina matemática Convexa y Geometría Discreta incluye tres ramas principales:
- convexidad general
- politopos y poliedros
- geometría discreta
(aunque solo partes de los dos últimos se incluyen en la geometría convexa).
La convexidad general se subdivide de la siguiente manera:
- convexidad axiomática y generalizada
- conjuntos convexos sin restricciones de dimensión
- conjuntos convexos en espacios vectoriales topológicos
- conjuntos convexos en 2 dimensiones (incluidas curvas convexas)
- conjuntos convexos en 3 dimensiones (incluidas superficies convexas)
- conjuntos convexos en n dimensiones (incluidas las hipersuperficies convexas)
- espacios de Banach de dimensión finita
- conjuntos convexos aleatorios y geometría integral
- teoría asintótica de cuerpos convexos
- aproximación por conjuntos convexos
- variantes de conjuntos convexos (en forma de estrella, ( m, n ) -convexos, etc.)
- Teoremas tipo Helly y teoría transversal geométrica
- otros problemas de convexidad combinatoria
- longitud, área, volumen
- volúmenes mixtos y temas relacionados
- valoraciones sobre cuerpos convexos
- desigualdades y problemas extremos
- funciones convexas y programas convexos
- convexidad esférica e hiperbólica
El término geometría convexa también se usa en combinatoria como un nombre alternativo para un antimatroide , que es uno de los modelos abstractos de conjuntos convexos.
Nota histórica
La geometría convexa es una disciplina matemática relativamente joven. Aunque las primeras contribuciones conocidas a la geometría convexa se remontan a la antigüedad y se pueden rastrear en las obras de Euclides y Arquímedes , se convirtió en una rama independiente de las matemáticas a principios del siglo XX, principalmente debido a las obras de Hermann Brunn y Hermann Minkowski. en dimensiones dos y tres. Una gran parte de sus resultados pronto se generalizó a espacios de mayores dimensiones, y en 1934 T. Bonnesen y W. Fenchel dieron un estudio completo de la geometría convexa en el espacio euclidiano R n . El mayor desarrollo de la geometría convexa en el siglo XX y sus relaciones con numerosas disciplinas matemáticas se resumen en el Manual de geometría convexa editado por PM Gruber y JM Wills.
Ver también
Notas
Referencias
Artículos expositivos sobre geometría convexa
- K. Ball, Una introducción elemental a la geometría convexa moderna, en: Flavors of Geometry, págs. 1-58, Math. Sci. Res. Inst. Publ. Vol. 31, Universidad de Cambridge. Press, Cambridge, 1997, disponible en línea .
- M. Berger, Convexidad, Amer. Matemáticas. Mensual, Vol. 97 (1990), 650-678. DOI: 10.2307 / 2324573
- PM Gruber, Aspectos de la convexidad y sus aplicaciones, Exposición. Math., Vol. 2 (1984), 47-83.
- V. Klee, ¿Qué es un conjunto convexo? Amer. Matemáticas. Mensual, Vol. 78 (1971), 616—631, DOI: 10.2307 / 2316569
Libros sobre geometría convexa
- T. Bonnesen, W. Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Julius Springer, Berlín, 1934. Traducción al inglés: Teoría de los cuerpos convexos, BCS Associates, Moscú, ID, 1987.
- RJ Gardner, tomografía geométrica, Cambridge University Press, Nueva York, 1995. Segunda edición: 2006.
- PM Gruber , geometría convexa y discreta, Springer-Verlag, Nueva York, 2007.
- PM Gruber, JM Wills (editores), Manual de geometría convexa. Vol. A. B, Holanda Septentrional, Ámsterdam, 1993.
- G. Pisier, El volumen de los cuerpos convexos y la geometría del espacio de Banach, Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
- R. Schneider, Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1993; Segunda edición: 2014.
- AC Thompson, geometría de Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
- A. Koldobsky, V. Yaskin, La interfaz entre la geometría convexa y el análisis armónico, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2008.
Artículos sobre la historia de la geometría convexa.
- W. Fenchel, Convexidad a través de las edades, Sociedad Matemática Danesa (danesa) (1929-1973), págs. 103-116, Dansk. Estera. Forening, Copenhague, 1973. Traducción al inglés: Convexity through the age, en: PM Gruber, JM Wills (editores), Convexity and its Applications, págs. 120-130, Birkhauser Verlag, Basilea, 1983.
- PM Gruber, Zur Geschichte der Konvexgeometrie und der Geometrie der Zahlen, en: G. Fischer, et al. (editores), Ein Jahrhundert Mathematik 1890-1990, págs. 421-455, Dokumente Gesch. Math., Vol. 6, F. Wieweg y Sohn, Braunschweig; Deutsche Mathematiker Vereinigung, Friburgo, 1990.
- PM Gruber, Historia de la convexidad, en: PM Gruber, JM Wills (editores), Manual de geometría convexa. Vol. A, págs. 1-15, Holanda Septentrional, Ámsterdam, 1993.
enlaces externos
- Medios relacionados con la geometría convexa en Wikimedia Commons