Curva convexa - Convex curve
En geometría , una curva convexa es una curva simple en el plano euclidiano que se encuentra completamente a un lado de todas y cada una de sus líneas tangentes .
El límite de un conjunto convexo es siempre una curva convexa.
Definiciones
Definición por líneas de apoyo
Cualquier línea recta L divide el plano euclidiano en dos semiplanos cuya unión es todo el plano y cuya intersección es L . Decimos que una curva C "se encuentra en un lado de L " si está completamente contenida en uno de los semiplanos. Una curva plana se llama convexa si se encuentra a un lado de cada una de sus rectas tangentes. En otras palabras, una curva convexa es una curva que tiene una línea de apoyo a través de cada uno de sus puntos.
Definición por conjuntos convexos
Una curva convexa se puede definir como el límite de un conjunto convexo en el plano euclidiano . Esta definición es más restrictiva que la definición en términos de líneas tangentes; en particular, con esta definición, una curva convexa no puede tener puntos finales.
A veces, se utiliza una definición más flexible, en la que una curva convexa es una curva que forma un subconjunto del límite de un conjunto convexo. Para esta variación, una curva convexa puede tener puntos finales.
Curva estrictamente convexa
Una curva estrictamente convexa es una curva convexa que no contiene ningún segmento de línea . De manera equivalente, una curva estrictamente convexa es una curva que interseca cualquier línea en como máximo dos puntos, o una curva simple en posición convexa , lo que significa que ninguno de sus puntos es una combinación convexa de ningún otro subconjunto de sus puntos.
Propiedades
Cada curva convexa que es el límite de un conjunto convexo cerrado tiene una longitud finita bien definida . Es decir, estas curvas son un subconjunto de las curvas rectificables .
De acuerdo con el teorema de los cuatro vértices , cada curva convexa suave que es el límite de un conjunto convexo cerrado tiene al menos cuatro vértices , puntos que son mínimos locales o máximos locales de curvatura .
Tangentes paralelas
Una curva C es convexa si y solo si no hay tres puntos diferentes en C tales que las tangentes en estos puntos sean paralelas.
Prueba :
⇒ Si hay tres tangentes paralelas, entonces una de ellas, digamos L , debe estar entre las otras dos. Esto significa que C se encuentra a ambos lados de L , por lo que no puede ser convexo.
⇐ Si C no es convexo, entonces, por definición, hay un punto p en C tal que la recta tangente en p (llámelo L ) tiene C en ambos lados. Desde C está cerrado, si se traza la parte de C que se encuentra en un lado de L que finalmente consiguen en un punto Q1 más alejado del L . La tangente a C en q1 (llamarlo L1 ) debe estar paralela a L . Lo mismo es cierto en el otro lado de L - hay un punto q2 y una tangente L2 que es paralela a L . Por tanto, hay tres puntos diferentes, { p , q1 , q2 }, de modo que sus tangentes son paralelas.
Monotonicidad del ángulo de giro
Una curva se llama simple si no se cruza. Una curva simple C de plano regular cerrado es convexa si y solo si su curvatura es siempre no negativa o siempre no positiva, es decir, si y solo si el ángulo de giro (el ángulo de la tangente a la curva) es débilmente monótono función de la parametrización de la curva.
Prueba :
⇐ Si C no es convexo, entonces por el lema de las tangentes paralelas hay tres puntos { p , q1 , q2 } tales que las tangentes en estos puntos son paralelas. Al menos dos deben tener sus tangentes firmadas apuntando en la misma dirección. Sin pérdida de generalidad , suponga que estos puntos son q1 y q2 . Esto significa que la diferencia en el ángulo de giro al pasar de q1 a q2 es un múltiplo de 2π. Hay dos posibilidades:
- La diferencia en el ángulo de giro de q1 a q2 es 0. Entonces, si el ángulo de giro fuera una función monótona, debería ser constante entre q1 y q2 , de modo que la curva entre estas dos líneas debería ser una línea recta. Pero esto significaría que las dos rectas tangentes L1 y L2 son la misma recta, una contradicción.
- La diferencia en el ángulo de giro de q1 a q2 es un múltiplo distinto de cero de 2π. Debido a que la curva es simple (no se interseca a sí misma), el cambio total en el ángulo de giro alrededor de la curva debe ser exactamente 2π. Esto significa que la diferencia en el ángulo de giro de q2 a q1 debe ser 0, por lo que con el mismo razonamiento anterior llegamos a una contradicción.
Por tanto, hemos demostrado que si C no es convexo, el ángulo de giro no puede ser una función monótona.
⇒ Suponga que el ángulo de giro no es monótono. Entonces podemos encontrar tres puntos en la curva, s1 < s0 < s2 , de manera que el ángulo de giro en s1 y s2 sea el mismo y diferente al ángulo de giro en s0 . En una simple curva cerrada, se cubren todos los ángulos de giro. En particular, hay un punto s3 en el que el ángulo de giro es menos el ángulo de giro en s1 . Ahora tenemos tres puntos, { s1 , s2 , s3 }, cuyo ángulo de giro difiere en un múltiplo de π. Hay dos posibilidades:
- Si las tangentes en estos tres puntos son todas distintas, entonces son paralelas y, según el lema de las tangentes paralelas , C no es convexa.
- De lo contrario, hay dos puntos distintos de C , por ejemplo p y q , que se encuentran en la misma línea tangente, L . Hay dos sub-casos:
- Si L no está contenido en C , y luego considerar la perpendicular línea a L en un punto determinado, r , que no es un punto de C . Esta línea perpendicular corta a C en dos puntos, digamos r1 y r2 . La tangente a C en r1 tiene al menos uno de los puntos { p , q , r2 } en cada lado, por lo que C no es convexo.
- Si L está contenido en C , entonces los dos puntos p y q tienen el mismo ángulo de giro y por lo que deben ser s1 y s2 . Pero esto contradice la suposición de que hay un punto s0 entre s1 y s2 con un ángulo de giro diferente.
Así hemos demostrado que si el ángulo de giro no es monótono, la curva no puede ser convexa.
Formas relacionadas
Las curvas suaves convexas con un eje de simetría a veces se pueden llamar óvalos . Sin embargo, en la geometría proyectiva finita , los óvalos se definen en cambio como conjuntos para los cuales cada punto tiene una línea única separada del resto del conjunto, una propiedad que en la geometría euclidiana es cierta para las curvas cerradas estrictamente convexas suaves.