Contraposición - Contraposition

En lógica y matemáticas , la contraposición se refiere a la inferencia de pasar de un enunciado condicional a su contrapositivo lógicamente equivalente , y un método de prueba asociado conocido como prueba por contraposición. El contrapositivo de un enunciado tiene su antecedente y consecuente invertido y volteado .

Declaración condicional . En fórmulas : el contrapositivo dees.

Si P , entonces Q . - Si no Q , entonces no P . " Si está lloviendo, entonces uso mi abrigo" - "Si no uso mi abrigo, entonces no está lloviendo".

La ley de la contraposición dice que un enunciado condicional es verdadero si, y solo si, su contrapositivo es verdadero.

El contrapositivo ( ) se puede comparar con otras tres declaraciones:

Inversión (la inversa ),
"Si no está lloviendo, entonces no uso mi abrigo ". A diferencia del contrapositivo, el valor de verdad del inverso no depende en absoluto de si la proposición original era verdadera o no, como se evidencia aquí.
Conversión (lo contrario ),
"Si uso mi abrigo, entonces está lloviendo ". El inverso es en realidad el contrapositivo del inverso, por lo que siempre tiene el mismo valor de verdad que el inverso (que, como se dijo anteriormente, no siempre comparte el mismo valor de verdad que el de la proposición original).
Negación (el complemento lógico ),
" No es el caso de que si llueve entonces me pongo mi abrigo ", o de manera equivalente, " A veces, cuando llueve, no me pongo mi abrigo ". Si la negación es cierta, entonces la proposición original ( y por extensión el contrapositivo) es falso.

Tenga en cuenta que si es verdadero y se da uno que es falso (es decir, ), entonces se puede concluir lógicamente que también debe ser falso (es decir, ). A esto se le suele llamar la ley de lo contrapositivo o la regla de inferencia del modus tollens .

Explicación intuitiva

Venn A subconjunto B.svg

En el diagrama de Euler que se muestra, si algo está en A, también debe estar en B. Entonces podemos interpretar que "todo A está en B" como:

También está claro que cualquier cosa que no esté dentro de B (la región azul) tampoco puede estar dentro de A. Esta declaración, que se puede expresar como:

es lo contrario de la declaración anterior. Por tanto, se puede decir que

.

En la práctica, esta equivalencia se puede utilizar para facilitar la prueba de una declaración. Por ejemplo, si se desea demostrar que todas las niñas de los Estados Unidos (A) tienen el cabello castaño (B), se puede intentar probar directamente comprobando que todas las niñas de los Estados Unidos sí tienen el cabello castaño, o intentar probarlo directamente. Demuestre comprobando que todas las chicas sin cabello castaño están fuera de los EE. UU. En particular, si uno encontrara al menos una chica sin cabello castaño dentro de los EE. UU., Entonces uno lo habría refutado , y de manera equivalente .

En general, para cualquier declaración en donde A implica B , no B siempre implica no una . Como resultado, probar o refutar cualquiera de estas declaraciones automáticamente prueba o refuta la otra, ya que son lógicamente equivalentes entre sí.

Definicion formal

Una proposición Q está implicada por una proposición P cuando se cumple la siguiente relación:

Esto establece que, "si , entonces ", o "si Sócrates es un hombre , entonces Sócrates es humano ". En un condicional como este, es el antecedente y es el consecuente . Un enunciado es contrapositivo del otro sólo cuando su antecedente es el consecuente negado del otro, y viceversa. Por lo tanto, un contrapositivo generalmente toma la forma de:

.

Es decir, "Si no- , entonces no- " o, más claramente, "Si no es el caso, entonces P no es el caso". Usando nuestro ejemplo, esto se traduce como "Si Sócrates no es humano , entonces Sócrates no es un hombre ". Se dice que esta declaración se contrapone al original y es lógicamente equivalente a ella. Debido a su equivalencia lógica , afirmar uno enuncia efectivamente el otro; cuando uno es verdadero , el otro también es verdadero, y cuando uno es falso, el otro también es falso.

Estrictamente hablando, una contraposición solo puede existir en dos condicionales simples. Sin embargo, también puede existir una contraposición en dos condicionales universales complejos, si son similares. Por lo tanto,, o "Todos los s son s", se contrapone a , o "Todos los no son no s".

Prueba simple por definición de un condicional

En la lógica de primer orden , el condicional se define como:

que puede hacerse equivalente a su contrapositivo, de la siguiente manera:

Prueba simple por contradicción

Dejar:

Se da que, si A es verdadero, entonces B es verdadero, y también se da que B no es verdadero. Entonces podemos mostrar que A no debe ser verdadero por contradicción. Porque si A fuera verdad, entonces B también tendría que ser verdad (por Modus Ponens ). Sin embargo, se da que B no es cierto, por lo que tenemos una contradicción. Por lo tanto, A no es verdadera (asumiendo que estamos tratando con declaraciones bivalentes que son verdaderas o falsas):

Podemos aplicar el mismo proceso al revés, comenzando con los supuestos de que:

Aquí, también sabemos que B es verdadero o falso. Si B no es cierto, entonces A tampoco lo es. Sin embargo, se da que A es cierto, por lo que la suposición de que B no es cierto conduce a una contradicción, lo que significa que no es el caso que B no sea cierto. Por tanto, B debe ser verdadera:

Combinando los dos enunciados demostrados juntos, obtenemos la equivalencia lógica buscada entre un condicional y su contrapositivo:

Prueba más rigurosa de la equivalencia de contrapositivos

La equivalencia lógica entre dos proposiciones significa que son verdaderas juntas o falsas juntas. Para demostrar que los contrapositivos son lógicamente equivalentes , debemos comprender cuándo la implicación material es verdadera o falsa.

Esto solo es falso cuando es verdadero y es falso. Por lo tanto, podemos reducir esta proposición al enunciado "Falso cuando y no- " (es decir, "Verdadero cuando no es el caso que y no- "):

Los elementos de una conjunción se pueden revertir sin efecto (por conmutatividad ):

Definimos como igual a " ", y como igual a (de esto, es igual a , que es igual a solo ):

Esto dice "No es el caso que ( R es verdadero y S es falso)", que es la definición de un condicional material. Entonces podemos hacer esta sustitución:

Al invertir R y S nuevamente en y , obtenemos el contrapositivo deseado:

Comparaciones

nombre formulario descripción
implicación si P entonces Q la primera declaración implica la verdad de la segunda
inverso si no es P, entonces no Q negación de ambas declaraciones
conversar si Q entonces P reversión de ambas declaraciones
contrapositivo si no Q entonces no P inversión y negación de ambos enunciados
negación P y no Q contradice la implicación

Ejemplos de

Tomemos el enunciado " Todos los objetos rojos tienen color " . Esto se puede expresar de manera equivalente como " Si un objeto es rojo, entonces tiene color " .

  • El contrapositivo es " Si un objeto no tiene color, entonces no es rojo " . Esto se sigue lógicamente de nuestro enunciado inicial y, al igual que él, es evidentemente cierto.
  • La inversa es " Si un objeto no es rojo, entonces no tiene color " . Un objeto que es azul no es rojo y aún tiene color. Por tanto, en este caso lo inverso es falso.
  • Lo contrario es " Si un objeto tiene color, entonces es rojo " . Los objetos pueden tener otros colores, por lo que la inversa de nuestra afirmación es falsa.
  • La negación es " Existe un objeto rojo que no tiene color " . Esta afirmación es falsa porque la afirmación inicial que niega es verdadera.

En otras palabras, el contrapositivo es lógicamente equivalente a un enunciado condicional dado , aunque no es suficiente para un bicondicional .

De manera similar, tome el enunciado " Todos los cuadriláteros tienen cuatro lados " , o exprese de manera equivalente " Si un polígono es un cuadrilátero, entonces tiene cuatro lados " .

  • El contrapositivo es " Si un polígono no tiene cuatro lados, entonces no es un cuadrilátero " . Esto se sigue lógicamente y, como regla, los contrapositivos comparten el valor de verdad de su condicional.
  • La inversa es " Si un polígono no es un cuadrilátero, entonces no tiene cuatro lados " . En este caso, a diferencia del último ejemplo, la inversa del enunciado es verdadera.
  • Lo contrario es " Si un polígono tiene cuatro lados, entonces es un cuadrilátero " . Nuevamente, en este caso, a diferencia del último ejemplo, el inverso del enunciado es verdadero.
  • La negación es " Hay al menos un cuadrilátero que no tiene cuatro lados " . Esta afirmación es claramente falsa.

Dado que el enunciado y el recíproco son ambos verdaderos, se le llama bicondicional y se puede expresar como " Un polígono es un cuadrilátero si, y solo si, tiene cuatro lados " (la frase si y solo si a veces se abrevia como iff .) Es decir, tener cuatro lados es necesario para ser un cuadrilátero, y solo suficiente para considerarlo un cuadrilátero.

Verdad

  • Si un enunciado es verdadero, entonces su contrapositivo es verdadero (y viceversa).
  • Si un enunciado es falso, entonces su contrapositivo es falso (y viceversa).
  • Si el inverso de un enunciado es verdadero, entonces su inverso es verdadero (y viceversa).
  • Si la inversa de una declaración es falsa, entonces su inversa es falsa (y viceversa).
  • Si la negación de un enunciado es falso, entonces el enunciado es verdadero (y viceversa).
  • Si un enunciado (o su contrapositivo) y el inverso (o el inverso) son ambos verdaderos o ambos falsos, entonces se conoce como un bicondicional lógico .

Solicitud

Debido a que el contrapositivo de un enunciado siempre tiene el mismo valor de verdad (verdad o falsedad) que el enunciado mismo, puede ser una herramienta poderosa para probar teoremas matemáticos (especialmente si la verdad del contrapositivo es más fácil de establecer que la verdad del enunciado sí mismo). Una prueba por contraposición (contrapositiva) es una prueba directa de la contraposición de una declaración. Sin embargo, métodos indirectos como la prueba por contradicción también se pueden utilizar con contraposición, como, por ejemplo, en la prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 . Mediante la definición de un número racional , se puede hacer la afirmación de que " Si es racional, entonces se puede expresar como una fracción irreducible ". Esta afirmación es cierta porque es una reafirmación de una definición. El contrapositivo de esta afirmación es " Si no se puede expresar como una fracción irreducible, entonces no es racional ". Este contrapositivo, como el enunciado original, también es cierto. Por lo tanto, si se puede demostrar que no se puede expresar como una fracción irreducible, entonces debe darse el caso de que no sea un número racional. Esto último puede probarse por contradicción.

El ejemplo anterior empleó el contrapositivo de una definición para demostrar un teorema. También se puede probar un teorema demostrando el contrapositivo del enunciado del teorema. Para demostrar que si un entero positivo N es un número no cuadrado , su raíz cuadrada es irracional , podemos probar de manera equivalente su contraposición, que si un entero positivo N tiene una raíz cuadrada que es racional, entonces N es un número cuadrado. Esto se puede demostrar por el ajuste N igual a la expresión racional a / b con un y b ser números enteros positivos sin factor primo común, y cuadratura para obtener N = un 2 / b 2 y tomando nota de que, puesto que N es un entero positivo b = 1 de modo que N = a 2 , un número cuadrado.

Correspondencia a otros marcos matemáticos

Lógica intuicionista

En la lógica intuicionista , no se puede probar que el enunciado sea ​​equivalente a . Podemos probar que eso implica , pero la implicación inversa, de a , requiere la ley del medio excluido o un axioma equivalente.

Cálculo de probabilidades

La contraposición representa una instancia del teorema de Bayes que en una forma específica se puede expresar como:

.

En la ecuación anterior, la probabilidad condicional generaliza el enunciado lógico , es decir, además de asignar VERDADERO o FALSO también podemos asignar cualquier probabilidad al enunciado. El término denota la tasa base (también conocida como la probabilidad previa ) de . Suponga que eso es equivalente a ser VERDADERO, y eso es equivalente a ser FALSO. Entonces es fácil ver que cuándo, es decir, cuándo es VERDADERO. Esto se debe a que la fracción en el lado derecho de la ecuación anterior es igual a 1 y, por lo tanto, es equivalente a ser VERDADERO. Por tanto, el teorema de Bayes representa una generalización de la contraposición .

Lógica subjetiva

La contraposición representa una instancia del teorema subjetivo de Bayes en lógica subjetiva expresada como:

,

donde denota un par de opiniones condicionales binomiales dadas por la fuente . El parámetro denota la tasa base (también conocida como la probabilidad previa ) de . Se denota el par de opiniones condicionales invertidas . La opinión condicional generaliza el enunciado lógico , es decir, además de asignar VERDADERO o FALSO la fuente puede asignar cualquier opinión subjetiva al enunciado. El caso en el que es una opinión VERDADERA absoluta es equivalente a que la fuente diga que es VERDADERO, y el caso en el que es una opinión FALSA absoluta es equivalente a que la fuente diga que es FALSO. En el caso de que la opinión condicional sea ​​VERDADERA absoluta, el operador del teorema subjetivo de Bayes de la lógica subjetiva produce una opinión condicional FALSA absoluta y, por lo tanto, una opinión condicional VERDADERA absoluta que es equivalente a ser VERDADERA. Por tanto, el teorema subjetivo de Bayes representa una generalización tanto de la contraposición como del teorema de Bayes .

Ver también

Referencias

Fuentes

  • Audun Jøsang, 2016, Lógica subjetiva; Un formalismo para el razonamiento bajo incertidumbre Springer, Cham, ISBN  978-3-319-42337-1

enlaces externos