Problema de incrustación de Connes - Connes embedding problem

El problema de incrustación de Connes , formulado por Alain Connes en la década de 1970, es un problema importante en la teoría del álgebra de von Neumann . Durante ese tiempo, el problema se reformuló en varias áreas diferentes de las matemáticas. Dan Voiculescu desarrolló su teoría de la entropía libre y descubrió que el problema de incrustación de Connes está relacionado con la existencia de microestados. Algunos resultados de la teoría de las álgebras de von Neumann se pueden obtener asumiendo una solución positiva al problema. El problema está relacionado con algunas cuestiones básicas de la teoría cuántica, lo que llevó a la comprensión de que también tiene importantes implicaciones en la informática.

El problema admite varias formulaciones equivalentes. En particular, es equivalente a los siguientes problemas de larga data:

• Conjetura QWEP de Kirchberg en C * álgebra teoría
• El problema de Tsirelson en la teoría de la información cuántica
• El predual de cualquier álgebra de von Neumann (separable) es finitamente representable en la clase de trazas.

En enero de 2020, Ji, Natarajan, Vidick, Wright y Yuen anunciaron un resultado en la teoría de la complejidad cuántica que implica una respuesta negativa al problema de incrustación de Connes.

Declaración

Sea un ultrafiltro libre en los números naturales y sea R el factor hiperfinito tipo II ₁ con traza . Se puede construir la ultrapotencia de la siguiente manera: sea ​​el álgebra de von Neumann de secuencias limitadas por normas y sea . El cociente resulta ser un factor II ₁ con traza , donde es cualquier secuencia representativa de . ${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle R ^ {\ omega}}$${\ Displaystyle l ^ {\ infty} (R) = \ {(x_ {n}) _ {n} \ subseteq R: \ sup _ {n} || x_ {n} || <\ infty \}}$${\ Displaystyle I _ {\ omega} = \ {(x_ {n}) \ in l ^ {\ infty} (R): \ lim _ {n \ rightarrow \ omega} \ tau (x_ {n} ^ {*} x_ {n}) ^ {\ frac {1} {2}} = 0 \}}$${\ Displaystyle R ^ {\ omega} = l ^ {\ infty} (R) / I _ {\ omega}}$${\ Displaystyle \ tau _ {R ^ {\ omega}} (x) = \ lim _ {n \ rightarrow \ omega} \ tau (x_ {n} + I _ {\ omega})}$${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$${\ Displaystyle x}$

El problema de incrustación de Connes se pregunta si cada factor de tipo II ₁ en un espacio de Hilbert separable puede incrustarse en alguno . ${\ Displaystyle R ^ {\ omega}}$

La solución positiva al problema implicaría que existen subespacios invariantes para una gran clase de operadores en factores II-1 ( Uffe Haagerup ); todos los grupos discretos contables son hiperlineales . Una solución positiva al problema estaría implicada por la igualdad entre la entropía libre y la entropía libre definida por microestados ( Dan Voiculescu ). En enero de 2020, un grupo de investigadores afirmó haber resuelto el problema de forma negativa, es decir, existen factores de von Neumann tipo II ₁ que no incrustan en una ultrapotencia del factor II ₁ hiperfinito . ${\ Displaystyle \ chi ^ {*}}$ ${\ Displaystyle R ^ {\ omega}}$

La clase de isomorfismo de es independiente del ultrafiltro si y solo si la hipótesis del continuo es cierta (Ge-Hadwin y Farah-Hart-Sherman), pero tal propiedad de incrustación no depende del ultrafiltro porque las álgebras de von Neumann actúan sobre espacios de Hilbert separables son, a grandes rasgos, muy pequeños. ${\ Displaystyle R ^ {\ omega}}$

El problema admite varias formulaciones equivalentes.

Conferencias dedicadas al problema de integración de Connes

• El taller de incrustación de problemas y teoría de la información cuántica de Connes; Universidad de Vanderbilt en Nashville Tennessee; 1-7 de mayo de 2020 ( pospuesto; por confirmar )
• El problema de incrustación de Connes con muchas facetas; BIRS, Canadá; 14-19 de julio de 2019
• Escuela de invierno: problema de incrustación de Connes y teoría de la información cuántica; Universidad de Oslo, 07-11 de enero de 2019
• Taller sobre grupos sofic e hiperlineales y la conjetura de incrustación de Connes; UFSC Florianópolis, Brasil; 10-21 de junio de 2018
• Propiedades de aproximación en álgebras de operadores y teoría ergódica; UCLA; 30 de abril - 5 de mayo de 2018
• Álgebras de operadores y teoría de la información cuántica; Institut Henri Poincare, París; Diciembre de 2017
• Taller de Espacios Operadores, Análisis Armónico y Probabilidad Cuántica; ICMAT, Madrid; 20 de mayo al 14 de junio de 2013
• Taller de campo sobre el problema de incrustación de Connes - Universidad de Ottawa, 16-18 de mayo de 2008

Referencias

Otras lecturas

• Capraro, Valerio (2010). "Una encuesta sobre la conjetura de incrustación de Connes". arXiv : 1003.2076 [ math.OA ].
• Farah, I .; Hart, B .; Sherman, D. (2013). "Teoría de modelos de álgebras de operadores I: estabilidad". Boletín de la London Mathematical Society . 45 (4): 825–838. arXiv : 0908.2790 . doi : 10.1112 / blms / bdt014 . S2CID  15024863 .
• Ge; Hadwin (2001). "Ultraproductos de C * -álgebras". Oper. Teoría Adv. Apl . 127 : 305–326. doi : 10.1007 / 978-3-0348-8374-0_17 . ISBN 978-3-0348-9539-2.
• Collins, Benoit; Dykema, Ken (2008). "Una linealización del problema de incrustación de Connes" (PDF) . Revista de Matemáticas de Nueva York . 14 : 617–641.
• Sherman, David (2008). "Notas sobre Automorfismos de Ultrapotencias de II ₁ Factores". arXiv : 0809.4439 [ math.OA ].
• Pisier, Gilles . "Productos tensoriales de C * -álgebras y espacios de operador: El problema de Connes-Kirchberg" (PDF) .