Confusión de lo inverso - Confusion of the inverse

La confusión de la inversa , también llamada falacia de probabilidad condicional o falacia inversa , es una falacia lógica en la que una probabilidad condicional se equipara con su inversa; es decir, dados dos eventos A y B , se supone que la probabilidad de que suceda A dado que ha ocurrido B es aproximadamente la misma que la probabilidad de B dado A , cuando en realidad no hay evidencia para esta suposición. Más formalmente, se supone que P ( A | B ) es aproximadamente igual a P ( B | A ).

Ejemplos de

Ejemplo 1

Tamaño relativo	Maligno	Benigno	Total
Prueba positiva	0,8 (verdadero positivo)	9,9 (falso positivo)	10,7
Prueba negativa	0,2 (falso negativo)	89,1 (verdadero negativo)	89,3
Total	1	99	100

En un estudio, se pidió a los médicos que dieran las posibilidades de malignidad con una probabilidad previa de ocurrencia del 1% . Una prueba puede detectar el 80% de las neoplasias malignas y tiene una tasa de falsos positivos del 10%. ¿Cuál es la probabilidad de malignidad dado un resultado positivo de la prueba? Aproximadamente 95 de cada 100 médicos respondieron que la probabilidad de malignidad sería de alrededor del 75%, aparentemente porque los médicos creían que las posibilidades de malignidad dado un resultado positivo de la prueba eran aproximadamente las mismas que las posibilidades de un resultado positivo de la prueba dada la malignidad.

La probabilidad correcta de malignidad dado un resultado positivo de la prueba como se indicó anteriormente es del 7.5%, derivado del teorema de Bayes :

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {} \ qquad P ({\ text {maligno}} | {\ text {positivo}}) \\ [8pt] & = {\ frac {P ({\ text {positivo }} | {\ text {maligno}}) P ({\ text {maligno}})} {P ({\ text {positivo}} | {\ text {maligno}}) P ({\ text {maligno}} ) + P ({\ text {positivo}} | {\ text {benigno}}) P ({\ text {benigno}})}} \\ [8pt] & = {\ frac {(0.80 \ cdot 0.01)} {(0,80 \ cdot 0,01) + (0,10 \ cdot 0,99)}} = 0,075 \ end {alineado}}}$

Otros ejemplos de confusión incluyen:

• Los consumidores de drogas duras tienden a consumir marihuana ; por lo tanto, los consumidores de marihuana tienden a consumir drogas duras (la primera probabilidad es el consumo de marihuana dado el consumo de drogas duras, la segunda es el consumo de drogas duras dado el consumo de marihuana).
• La mayoría de los accidentes ocurren dentro de las 25 millas de su casa; por lo tanto, estará más seguro cuando esté lejos de casa.
• Los terroristas tienden a tener experiencia en ingeniería; entonces, los ingenieros tienen una tendencia al terrorismo.

Para otros errores en la probabilidad condicional, consulte el problema de Monty Hall y la falacia de la tasa base . Compare con la conversión ilícita .

Ejemplo 2

Tamaño relativo (%)	Voy a	Bien	Total
Prueba positiva	0,99 (verdadero positivo)	0,99 (falso positivo)	1,98
Prueba negativa	0.01 (falso negativo)	98.01 (verdadero negativo)	98.02
Total	1	99	100

Para identificar a las personas que tienen una enfermedad grave en una forma curable temprana, se puede considerar la detección de un grupo grande de personas. Si bien los beneficios son obvios, un argumento en contra de tales exámenes es la alteración causada por los resultados falsos positivos de los exámenes de detección: si en la prueba inicial se descubre incorrectamente que una persona que no tiene la enfermedad la tiene, lo más probable es que se sienta angustiada, e incluso si Posteriormente, se someten a una prueba más cuidadosa y se les dice que están bien, sus vidas aún pueden verse afectadas negativamente. Si realizan un tratamiento innecesario para la enfermedad, pueden verse perjudicados por los efectos secundarios y los costos del tratamiento.

La magnitud de este problema se comprende mejor en términos de probabilidades condicionales.

Supongamos que el 1% del grupo padece la enfermedad y el resto está bien. Elegir un individuo al azar,

${\ Displaystyle P ({\ text {ill}}) = 1 \% = 0.01 {\ text {y}} P ({\ text {well}}) = 99 \% = 0.99.}$

Suponga que cuando la prueba de detección se aplica a una persona que no tiene la enfermedad, existe un 1% de probabilidad de obtener un resultado falso positivo (y, por lo tanto, un 99% de probabilidad de obtener un resultado negativo verdadero, un número conocido como la especificidad de la prueba ), es decir

${\ Displaystyle P ({\ text {positivo}} | {\ text {bien}}) = 1 \%, {\ text {y}} P ({\ text {negativo}} | {\ text {bien}} ) = 99 \%.}$

Finalmente, suponga que cuando la prueba se aplica a una persona que tiene la enfermedad, existe un 1% de probabilidad de un resultado falso negativo (y un 99% de probabilidad de obtener un resultado positivo verdadero, conocido como la sensibilidad de la prueba), es decir

${\ Displaystyle P ({\ text {negativo}} | {\ text {ill}}) = 1 \% {\ text {y}} P ({\ text {positivo}} | {\ text {ill}}) = 99 \%.}$

Cálculos

La fracción de individuos en todo el grupo que están bien y dan negativo (verdadero negativo):

${\ Displaystyle P ({\ text {bien}} \ cap {\ text {negativo}}) = P ({\ text {bien}}) \ times P ({\ text {negativo}} | {\ text {bien }}) = 99 \% \ times 99 \% = 98.01 \%.}$

La fracción de personas de todo el grupo que están enfermas y dan positivo en la prueba (verdadero positivo):

${\ Displaystyle P ({\ text {ill}} \ cap {\ text {positivo}}) = P ({\ text {ill}}) \ times P ({\ text {positivo}} | {\ text {ill }}) = 1 \% \ times 99 \% = 0,99 \%.}$

La fracción de personas de todo el grupo que tienen resultados falsos positivos:

${\ Displaystyle P ({\ text {bien}} \ cap {\ text {positivo}}) = P ({\ text {bien}}) \ times P ({\ text {positivo}} | {\ text {bien }}) = 99 \% \ times 1 \% = 0,99 \%.}$

La fracción de personas de todo el grupo que tienen resultados falsos negativos:

${\ Displaystyle P ({\ text {ill}} \ cap {\ text {negativo}}) = P ({\ text {ill}}) \ times P ({\ text {negativo}} | {\ text {ill }}) = 1 \% \ times 1 \% = 0.01 \%.}$

Además, la fracción de individuos en todo el grupo que dan positivo:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} P ({\ text {positivo}}) & {} = P ({\ text {bien}} \ cap {\ text {positivo}}) + P ({\ text {mal }} \ cap {\ text {positivo}}) \\ & {} = 0,99 \% + 0,99 \% = 1,98 \%. \ end {alineado}}}$

Finalmente, la probabilidad de que un individuo realmente tenga la enfermedad, dado que el resultado de la prueba es positivo:

${\ Displaystyle P ({\ text {ill}} | {\ text {positivo}}) = {\ frac {P ({\ text {ill}} \ cap {\ text {positivo}})} {P ({ \ text {positivo}})}} = {\ frac {0,99 \%} {1,98 \%}} = 50 \%.}$

Conclusión

En este ejemplo, debería ser fácil relacionarse con la diferencia entre las probabilidades condicionales P (positivo | mal) que con las probabilidades asumidas es 99%, y P (mal | positivo) que es 50%: la primera es la probabilidad de que un individuo que tiene la enfermedad da positivo en la prueba; el segundo es la probabilidad de que una persona que dé positivo en la prueba tenga realmente la enfermedad. Por lo tanto, con las probabilidades seleccionadas en este ejemplo, aproximadamente el mismo número de individuos recibe los beneficios del tratamiento temprano que los que se sienten angustiados por los falsos positivos; Estos efectos positivos y negativos pueden entonces ser considerados al decidir si llevar a cabo el cribado o, si es posible, si ajustar los criterios de la prueba para disminuir el número de falsos positivos (posiblemente a expensas de más falsos negativos).

Ver también

• Converse (lógica)
• Falacia del fiscal

Notas

Referencias

• Villejoubert, Gaëlle; Mandel, David (2002). "La falacia inversa: una cuenta de las desviaciones del teorema de Bayes y el principio de aditividad" . Memoria y cognición . 30 (5): 171-178. doi : 10.3758 / BF03195278 . PMID  12035879 .
• Eddy, David M. (1982). Razonamiento probabilístico en medicina clínica: problemas y oportunidades. En D. Kahneman , P. Slovic y A. Tversky (Eds.) Juicio bajo incertidumbre: heurística y sesgos (págs. 249-267). Nueva York: Cambridge University Press.
• Hastie, Reid ; Robyn Dawes (2001). Elección racional en un mundo incierto . ISBN 978-0-7619-2275-9.
• Plous, Scott (1993). La psicología del juicio y la toma de decisiones . ISBN 978-0-07-050477-6.