Forma diferencial compleja - Complex differential form

En matemáticas , una forma diferencial compleja es una forma diferencial en una variedad (generalmente una variedad compleja ) a la que se le permite tener coeficientes complejos .

Las formas complejas tienen amplias aplicaciones en geometría diferencial . En variedades complejas, son fundamentales y sirven como base para gran parte de la geometría algebraica , la geometría de Kähler y la teoría de Hodge . Sobre variedades no complejas, también juegan un papel en el estudio de estructuras casi complejas , la teoría de espinores y estructuras CR .

Normalmente, las formas complejas se consideran debido a alguna descomposición deseable que admiten las formas. En una variedad compleja, por ejemplo, cualquier forma k compleja puede descomponerse únicamente en una suma de las llamadas formas ( p , q ) : aproximadamente, cuñas de p diferenciales de las coordenadas holomórficas con q diferenciales de sus conjugados complejos. El conjunto de formas ( p , q ) se convierte en el objeto primitivo de estudio y determina una estructura geométrica más fina en la variedad que las formas k . Existen incluso estructuras más finas, por ejemplo, en los casos en que se aplica la teoría de Hodge .

Formas diferenciales en una variedad compleja

Suponga que M es una variedad compleja de dimensión compleja n . Entonces hay un sistema de coordenadas local que consta de n funciones de valores complejos z ¹ , ..., z ^{n de} manera que las transiciones de coordenadas de un parche a otro son funciones holomórficas de estas variables. El espacio de las formas complejas tiene una estructura rica, que depende fundamentalmente del hecho de que estas funciones de transición son holomórficas, en lugar de simplemente suaves .

One-formas

Comenzamos con el caso de las formas uniformes. Primero descomponga las coordenadas complejas en sus partes real e imaginaria: z ^j = x ^j + iy ^j para cada j . Dejando

${\ Displaystyle dz ^ {j} = dx ^ {j} + idy ^ {j}, \ quad d {\ bar {z}} ^ {j} = dx ^ {j} -idy ^ {j},}$

uno ve que cualquier forma diferencial con coeficientes complejos se puede escribir únicamente como una suma

${\ Displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left (f_ {j} dz ^ {j} + g_ {j} d {\ bar {z}} ^ {j} \ right).}$

Sea Ω ^1,0 el espacio de formas diferenciales complejas que contienen solo 'sy Ω ^0,1 el espacio de formas que contienen solo ' s. Se puede demostrar, mediante las ecuaciones de Cauchy-Riemann , que los espacios Ω ^1,0 y Ω ^0,1 son estables bajo cambios de coordenadas holomórficas. En otras palabras, si se hace una elección diferente w _i del sistema de coordenadas holomórficas, entonces los elementos de Ω ^{1,0 se} transforman tensorialmente , al igual que los elementos de Ω ^0,1 . Por tanto, los espacios Ω ^0,1 y Ω ^1,0 determinan haces de vectores complejos en la variedad compleja. ${\ displaystyle dz}$${\ Displaystyle d {\ bar {z}}}$

Formas de grado superior

El producto de la cuña de formas diferenciales complejas se define de la misma manera que con las formas reales. Deje que p y q sean un par de números enteros no negativos leq n . El espacio Ω ^{p, q} de las formas ( p , q ) se define tomando combinaciones lineales de los productos de la cuña de p elementos de Ω ^1,0 y q elementos de Ω ^0,1 . Simbólicamente,

${\ Displaystyle \ Omega ^ {p, q} = \ underbrace {\ Omega ^ {1,0} \ wedge \ dotsb \ wedge \ Omega ^ {1,0}} _ {p {\ text {times}}} \ wedge \ underbrace {\ Omega ^ {0,1} \ wedge \ dotsb \ wedge \ Omega ^ {0,1}} _ {q {\ text {veces}}}}$

donde hay p factores de Ω ^1,0 y q factores de Ω ^0,1 . Al igual que con los dos espacios de formas 1, estos son estables bajo cambios holomórficos de coordenadas y, por lo tanto, determinan los paquetes de vectores.

Si E ^k es el espacio de todas las formas diferenciales complejas de grado total k , entonces cada elemento de E ^k puede expresarse de manera única como una combinación lineal de elementos de entre los espacios Ω ^{p, q} con p + q = k . Más sucintamente, hay una descomposición de suma directa

${\ Displaystyle E ^ {k} = \ Omega ^ {k, 0} \ oplus \ Omega ^ {k-1,1} \ oplus \ dotsb \ oplus \ Omega ^ {1, k-1} \ oplus \ Omega ^ {0, k} = \ bigoplus _ {p + q = k} \ Omega ^ {p, q}.}$

Debido a que esta descomposición de suma directa es estable bajo cambios de coordenadas holomórficas, también determina una descomposición de paquetes vectoriales.

En particular, para cada k y cada p y q con p + q = k , hay una proyección canónica de paquetes del vector

${\ Displaystyle \ pi ^ {p, q}: E ^ {k} \ rightarrow \ Omega ^ {p, q}.}$

Los operadores de Dolbeault

La derivada exterior habitual define un mapeo de secciones a través de ${\ Displaystyle d: \ Omega ^ {r} \ to \ Omega ^ {r + 1}}$

${\ Displaystyle d (\ Omega ^ {p, q}) \ subseteq \ bigoplus _ {r + s = p + q + 1} \ Omega ^ {r, s}}$

El derivado exterior no refleja en sí mismo la estructura compleja más rígida de la variedad.

Usando dy las proyecciones definidas en la subsección anterior, es posible definir los operadores Dolbeault :

${\ Displaystyle \ partial = \ pi ^ {p + 1, q} \ circ d: \ Omega ^ {p, q} \ rightarrow \ Omega ^ {p + 1, q}, \ quad {\ bar {\ partial} } = \ pi ^ {p, q + 1} \ circ d: \ Omega ^ {p, q} \ rightarrow \ Omega ^ {p, q + 1}}$

Para describir estos operadores en coordenadas locales, dejemos

${\ Displaystyle \ alpha = \ sum _ {| I | = p, | J | = q} \ f_ {IJ} \, dz ^ {I} \ wedge d {\ bar {z}} ^ {J} \ in \ Omega ^ {p, q}}$

donde I y J son índices múltiples . Luego

${\ estilo de visualización \ parcial \ alfa = \ suma _ {| Yo |, | J |} \ suma _ {\ ell} {\ frac {\ parcial f_ {IJ}} {\ parcial z ^ {\ ell}}} \ , dz ^ {\ ell} \ wedge dz ^ {I} \ wedge d {\ bar {z}} ^ {J}}$

${\ Displaystyle {\ bar {\ partial}} \ alpha = \ sum _ {| I |, | J |} \ sum _ {\ ell} {\ frac {\ partial f_ {IJ}} {\ partial {\ bar {z}} ^ {\ ell}}} d {\ bar {z}} ^ {\ ell} \ wedge dz ^ {I} \ wedge d {\ bar {z}} ^ {J}.}$

Se considera que las siguientes propiedades se mantienen:

${\ estilo de visualización d = \ parcial + {\ bar {\ parcial}}}$

${\ estilo de visualización \ parcial ^ {2} = {\ bar {\ parcial}} ^ {2} = \ parcial {\ bar {\ parcial}} + {\ bar {\ parcial}} \ parcial = 0.}$

Estos operadores y sus propiedades forman la base de la cohomología de Dolbeault y muchos aspectos de la teoría de Hodge .

Formas holomorfas

Para cada p , una forma p holomórfica es una sección holomórfica del paquete Ω ^{p, 0} . En coordenadas locales, entonces, se puede escribir una forma p holomórfica en la forma

${\ Displaystyle \ alpha = \ sum _ {| I | = p} f_ {I} \, dz ^ {I}}$

donde son funciones holomorfas. De manera equivalente, y debido a la independencia del conjugado complejo , la forma ( p , 0) α es holomórfica si y solo si ${\ Displaystyle f_ {I}}$

${\ Displaystyle {\ bar {\ partial}} \ alpha = 0.}$

La gavilla de holomórficas p -formas se escribe a menudo Ω ^p , aunque esto a veces puede dar lugar a confusión por lo que muchos autores tienden a adoptar una notación alternativa.

Ver también

• Complejo Dolbeault
• Secuencia espectral de Frölicher
• Diferencial del primer tipo

Referencias

• P. Griffiths ; J. Harris (1994). Principios de geometría algebraica . Biblioteca de clásicos de Wiley. Wiley Interscience. pag. 23-25. ISBN 0-471-05059-8.
• Wells, RO (1973). Análisis diferencial de variedades complejas . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.
• Voisin, Claire (2008). Hodge Teoría y Complejo geometría algebraica I . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0521718015.