Espacio compacto - Compact space

Según los criterios de compacidad para el espacio euclidiano, como se establece en el teorema de Heine-Borel , el intervalo A = (−∞, −2] no es compacto porque no está acotado. El intervalo C = (2, 4) no es compacto porque no está cerrado El intervalo B = [0, 1] es compacto porque está cerrado y acotado.

En matemáticas , específicamente topología general , compacidad es una propiedad que generaliza la noción de un subconjunto de espacio euclidiano de ser cerrada (que contiene todos sus puntos límite ) y limitada (que tiene todos sus puntos están dentro de una distancia fija uno del otro). Los ejemplos de espacios compactos incluyen un intervalo real cerrado , una unión de un número finito de intervalos cerrados, un rectángulo o un conjunto finito de puntos. Esta noción se define para espacios topológicos más generales de varias formas, que suelen ser equivalentes en el espacio euclidiano, pero pueden no serlo en otros espacios.

Una de esas generalizaciones es que un espacio topológico es secuencialmente compacto si cada secuencia infinita de puntos muestreados del espacio tiene una subsecuencia infinita que converge a algún punto del espacio. El teorema de Bolzano-Weierstrass establece que un subconjunto del espacio euclidiano es compacto en este sentido secuencial si y solo si está cerrado y acotado. Por lo tanto, si uno elige un número infinito de puntos en el intervalo unitario cerrado [0, 1] , algunos de esos puntos se acercarán arbitrariamente a algún número real en ese espacio. Por ejemplo, algunos de los números en la secuencia 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7,… se acumulan en 0 (mientras que otros se acumulan en 1). El mismo conjunto de puntos no se acumularía en ningún punto del intervalo de la unidad abierta (0, 1) , por lo que el intervalo de la unidad abierta no es compacto. Aunque los subconjuntos (subespacios) del espacio euclidiano pueden ser compactos, todo el espacio en sí no es compacto ya que no está acotado. Por ejemplo, considerando , toda la recta numérica real, la secuencia de puntos 0, 1, 2, 3,… , no tiene subsecuencia que converja a ningún número real.

La compacidad fue introducida formalmente por Maurice Fréchet en 1906 para generalizar el teorema de Bolzano-Weierstrass de espacios de puntos geométricos a espacios de funciones . El teorema de Arzelà-Ascoli y el teorema de existencia de Peano ejemplifican las aplicaciones de esta noción de compacidad al análisis clásico. Después de su introducción inicial, se desarrollaron varias nociones equivalentes de compacidad, incluida la compacidad secuencial y la compacidad del punto límite , en espacios métricos generales . En los espacios topológicos generales, sin embargo, estas nociones de compacidad no son necesariamente equivalentes. La noción más útil, y la definición estándar del término sin reservas compacidad, se expresa en términos de la existencia de familias finitas de conjuntos abiertos que " cubren " el espacio en el sentido de que cada punto del espacio se encuentra en algún conjunto contenido en el familia. Esta noción más sutil, introducida por Pavel Alexandrov y Pavel Urysohn en 1929, exhibe espacios compactos como generalizaciones de conjuntos finitos . En espacios que son compactos en este sentido, a menudo es posible unir información que se mantiene localmente —es decir, en una vecindad de cada punto— en declaraciones correspondientes que se mantienen en todo el espacio, y muchos teoremas son de este carácter.

El término conjunto compacto se utiliza a veces como sinónimo de espacio compacto, pero a menudo también se refiere a un subespacio compacto de un espacio topológico.

Desarrollo historico

En el siglo XIX, se entendieron varias propiedades matemáticas dispares que luego serían vistas como consecuencias de la compacidad. Por un lado, Bernard Bolzano ( 1817 ) había sido consciente de que cualquier secuencia acotada de puntos (en la línea o en el plano, por ejemplo) tiene una subsecuencia que eventualmente debe acercarse arbitrariamente a algún otro punto, llamado punto límite . La demostración de Bolzano se basó en el método de la bisección : la secuencia se colocó en un intervalo que luego se dividió en dos partes iguales, y se seleccionó una parte que contenía infinitos términos de la secuencia. Luego, el proceso podría repetirse dividiendo el intervalo más pequeño resultante en partes cada vez más pequeñas, hasta que se cierre en el punto límite deseado. El significado completo del teorema de Bolzano y su método de demostración no emergería hasta casi 50 años después, cuando fue redescubierto por Karl Weierstrass .

En la década de 1880, quedó claro que los resultados similares al teorema de Bolzano-Weierstrass podían formularse para espacios de funciones en lugar de solo números o puntos geométricos. La idea de considerar las funciones como puntos de un espacio generalizado se remonta a las investigaciones de Giulio Ascoli y Cesare Arzelà . La culminación de sus investigaciones, el teorema de Arzelà-Ascoli , fue una generalización del teorema de Bolzano-Weierstrass a familias de funciones continuas , cuya conclusión precisa fue que era posible extraer una secuencia uniformemente convergente de funciones de una familia adecuada de funciones. El límite uniforme de esta secuencia jugó entonces precisamente el mismo papel que el "punto límite" de Bolzano. Hacia principios del siglo XX, se empezaron a acumular resultados similares a los de Arzelà y Ascoli en el ámbito de las ecuaciones integrales , según lo investigado por David Hilbert y Erhard Schmidt . Para una cierta clase de funciones de Green provenientes de soluciones de ecuaciones integrales, Schmidt había demostrado que una propiedad análoga al teorema de Arzelà-Ascoli se mantenía en el sentido de convergencia de medias, o convergencia en lo que más tarde se denominaría un espacio de Hilbert . En última instancia, esto condujo a la noción de operador compacto como consecuencia de la noción general de espacio compacto. Fue Maurice Fréchet quien, en 1906 , había destilado la esencia de la propiedad de Bolzano-Weierstrass y acuñado el término compacidad para referirse a este fenómeno general (ya utilizó el término en su artículo de 1904 que condujo a la famosa tesis de 1906).

Sin embargo, a finales del siglo XIX, a partir del estudio del continuo , había surgido lentamente una noción completamente diferente de compacidad , que se consideraba fundamental para la formulación rigurosa del análisis. En 1870, Eduard Heine demostró que una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado era de hecho uniformemente continua . En el transcurso de la demostración, hizo uso de un lema que de cualquier cobertura contable del intervalo por intervalos abiertos más pequeños, era posible seleccionar un número finito de estos que también lo cubrían. Émile Borel ( 1895 ) reconoció la importancia de este lema , y Pierre Cousin (1895) y Henri Lebesgue ( 1904 ) lo generalizaron a colecciones arbitrarias de intervalos . El teorema de Heine-Borel , como ahora se conoce el resultado, es otra propiedad especial que poseen los conjuntos cerrados y acotados de números reales.

Esta propiedad fue significativa porque permitió el paso de información local sobre un conjunto (como la continuidad de una función) a información global sobre el conjunto (como la continuidad uniforme de una función). Este sentimiento fue expresado por Lebesgue (1904) , quien también lo explotó en el desarrollo de la integral que ahora lleva su nombre . En última instancia, la escuela rusa de topología de conjuntos de puntos , bajo la dirección de Pavel Alexandrov y Pavel Urysohn , formuló la compacidad de Heine-Borel de una manera que podría aplicarse a la noción moderna de un espacio topológico . Alexandrov y Urysohn (1929) demostraron que la versión anterior de compacidad debida a Fréchet, ahora llamada compacidad secuencial (relativa) , en condiciones apropiadas, seguía de la versión de compacidad que se formuló en términos de la existencia de subcubiertas finitas. Fue esta noción de compacidad la que se convirtió en la dominante, porque no solo era una propiedad más fuerte, sino que podía formularse en un entorno más general con un mínimo de maquinaria técnica adicional, ya que se basaba solo en la estructura de los conjuntos abiertos. en un espacio.

Ejemplos básicos

Cualquier espacio finito es trivialmente compacto. Un ejemplo no trivial de un espacio compacto es el intervalo unitario (cerrado) [0,1] de números reales . Si uno elige un número infinito de puntos distintos en el intervalo unitario, entonces debe haber algún punto de acumulación en ese intervalo. Por ejemplo, los términos impares de la secuencia 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... se acercan arbitrariamente a 0, mientras que los pares se acercan arbitrariamente a 1. La secuencia de ejemplo dada muestra la importancia de incluir los puntos límite del intervalo, ya que los puntos límite deben estar en el espacio mismo: un intervalo abierto (o semiabierto) del intervalo. los números reales no son compactos. También es crucial que el intervalo esté acotado , ya que en el intervalo [0, ∞) , uno podría elegir la secuencia de puntos 0, 1, 2, 3, ... , de los cuales ninguna subsecuencia finalmente se acerca arbitrariamente a cualquier número real dado.

En dos dimensiones, los discos cerrados son compactos, ya que para cualquier número infinito de puntos muestreados de un disco, algún subconjunto de esos puntos debe acercarse arbitrariamente a un punto dentro del disco oa un punto en el límite. Sin embargo, un disco abierto no es compacto, porque una secuencia de puntos puede tender al límite, sin acercarse arbitrariamente a ningún punto del interior. Del mismo modo, las esferas son compactas, pero una esfera a la que le falta un punto no lo es, ya que una secuencia de puntos aún puede tender al punto perdido, por lo que no se acerca arbitrariamente a ningún punto dentro del espacio. Las líneas y los planos no son compactos, ya que se puede tomar un conjunto de puntos igualmente espaciados en cualquier dirección dada sin acercarse a ningún punto.

Definiciones

Pueden aplicarse varias definiciones de compacidad, dependiendo del nivel de generalidad. Un subconjunto del espacio euclidiano en particular se llama compacto si está cerrado y acotado . Esto implica, según el teorema de Bolzano-Weierstrass , que cualquier secuencia infinita del conjunto tiene una subsecuencia que converge en un punto del conjunto. Varias nociones equivalentes de compacidad, tales como compacidad secuencial y compacidad de punto límite , se pueden desarrollar en espacios métricos generales .

En contraste, las diferentes nociones de compacidad no son equivalentes en los espacios topológicos generales , y la noción más útil de compacidad — originalmente llamada bicompactancia — se define usando cubiertas que consisten en conjuntos abiertos (ver definición de cubierta abierta más abajo). Que esta forma de compacidad es válida para subconjuntos cerrados y acotados del espacio euclidiano se conoce como el teorema de Heine-Borel . La compacidad, cuando se define de esta manera, a menudo permite tomar información que se conoce localmente —en una vecindad de cada punto del espacio— y extenderla a información que se mantiene globalmente en todo el espacio. Un ejemplo de este fenómeno es el teorema de Dirichlet, al que Heine aplicó originalmente, que una función continua en un intervalo compacto es uniformemente continua ; aquí, la continuidad es una propiedad local de la función y la continuidad uniforme la propiedad global correspondiente.

Definición de cubierta abierta

Formalmente, un espacio topológico X se llama compacto si cada una de sus cubiertas abiertas tiene una subcubierta finita . Es decir, X es compacto si para cada colección C de subconjuntos abiertos de X tal que

,

hay un subconjunto finito F de C tal que

Algunas ramas de las matemáticas como la geometría algebraica , típicamente influenciadas por la escuela francesa de Bourbaki , usan el término cuasi-compacto para la noción general y reservan el término compacto para espacios topológicos que son tanto de Hausdorff como cuasi-compactos . Un conjunto compacto a veces se denomina compactum , plural compacta .

Compacidad de subconjuntos

Se dice que un subconjunto K de un espacio topológico X es compacto si es compacto como subespacio (en la topología del subespacio ). Es decir, K es compacto si para cada colección arbitraria C de subconjuntos abiertos de X tal que

,

hay un subconjunto finito F de C tal que

.

La compacidad es una propiedad "topológica". Es decir, si , con subconjunto Z equipado con la topología del subespacio, entonces K es compacto en Z si y sólo si K es compacto en Y .

Definiciones equivalentes

Si X es un espacio topológico, los siguientes son equivalentes:

  1. X es compacto.
  2. Cada cubierta abierta de X tiene una subcubierta finita .
  3. X tiene una sub-base tal que cada cubierta del espacio, por miembros de la sub-base, tiene una sub- cubierta finita ( teorema de la sub-base de Alexander ).
  4. X es Lindelöf y notablemente compacto .
  5. Cualquier colección de subconjuntos cerrados de X con la propiedad de intersección finita no tiene intersección vacía.
  6. Cada red en X tiene una subred convergente (vea el artículo sobre redes para una prueba).
  7. Cada filtro en X tiene un refinamiento convergente.
  8. Cada red en X tiene un punto de agrupación.
  9. Cada filtro en X tiene un punto de agrupación.
  10. Cada ultrafiltro en X converge al menos en un punto.
  11. Cada subconjunto infinito de X tiene un punto de acumulación completo .

Espacio euclidiano

Para cualquier subconjunto A del espacio euclidiano , A es compacto si y solo si está cerrado y acotado ; este es el teorema de Heine-Borel .

Como un espacio euclidiano es un espacio métrico, las condiciones de la siguiente subsección también se aplican a todos sus subconjuntos. De todas las condiciones equivalentes, en la práctica es más fácil verificar que un subconjunto está cerrado y acotado, por ejemplo, para un intervalo cerrado o una bola n cerrada .

Espacios métricos

Para cualquier espacio métrico ( X , d ) , los siguientes son equivalentes (asumiendo una opción contable ):

  1. ( X , d ) es compacto.
  2. ( X , d ) es completo y totalmente acotado (esto también equivale a compacidad para espacios uniformes ).
  3. ( X , d ) es secuencialmente compacto; es decir, cada secuencia en X tiene una subsecuencia convergente cuyo límite está en X (esto también es equivalente a la compacidad para los primeros espacios uniformes contables ).
  4. ( X , d ) es el punto límite compacto (también llamado débilmente compacta contable); Es decir, cada subconjunto infinito de X tiene al menos un punto límite en X .
  5. ( X , d ) es numerablemente compacto ; es decir, cada tapa abierta contable de X tiene una subtapa finita.
  6. ( X , d ) es una imagen de una función continua del conjunto de Cantor .
  7. Cada secuencia decreciente de conjuntos cerrados F1F2 ⊇… en ( X , d ) tiene una intersección no vacía.
  8. ( X , d ) está cerrado y totalmente acotado.

Un espacio métrico compacto ( X , d ) también satisface las siguientes propiedades:

  1. Lema del número de Lebesgue : Para cada cubierta abierta de X , existe un número δ > 0 tal que cada subconjunto de X de diámetro < δ está contenido en algún miembro de la cubierta.
  2. ( X , d ) es segundo contable , separable y Lindelöf : estas tres condiciones son equivalentes para espacios métricos. Lo contrario no es cierto; por ejemplo, un espacio discreto contable satisface estas tres condiciones, pero no es compacto.
  3. X es cerrado y acotado (como un subconjunto de cualquier espacio métrico cuya métrica restringida es d ). Lo contrario puede fallar para un espacio no euclidiano; por ejemplo, la línea real equipada con la métrica discreta es cerrada y delimitada pero no compacta, ya que la colección de todos los singletons del espacio es una cubierta abierta que no admite una subcubierta finita. Es completo pero no del todo limitado.

Caracterización por funciones continuas

Deje X un espacio topológico y C ( X ) el anillo de funciones reales continuas en X . Para cada pX , el mapa de evaluación dado por ev p ( f ) = f ( p ) es un homomorfismo de anillo. El núcleo de ev p es un ideal máximo , ya que el campo de residuos C ( X ) / ker ev p es el campo de números reales, según el primer teorema de isomorfismo . Un espacio topológico X es pseudocompacto si y solo si cada ideal máximo en C ( X ) tiene un campo de residuos los números reales. Para espacios completamente regulares , esto equivale a que cada ideal máximo sea el núcleo de un homomorfismo de evaluación. Sin embargo, hay espacios pseudocompactos que no son compactos.

En general, para los espacios no pseudocompactos siempre hay ideales máximos m en C ( X ) tales que el campo residual C ( X ) / m es un campo hiperreal ( no arquimediano ) . El marco de análisis no estándar permite la siguiente caracterización alternativa de la compacidad: un espacio topológico X es compacto si y solo si cada punto x de la extensión natural * X está infinitamente cerca de un punto x 0 de X (más precisamente, x está contenido en la mónada de x 0 ).

Definición hiperreal

Un espacio X es compacto si su extensión hyperreal * X (construido, por ejemplo, por la construcción UltraPower ) tiene la propiedad de que cada punto de * X es infinitamente cerca de algún punto de X* X . Por ejemplo, un intervalo real abierto X = (0, 1) no es compacto debido a su extensión hyperreal * (0,1) contiene infinitesimales, que son infinitamente cerca de 0, que no es un punto de X .

Condiciones suficientes

  • Un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto.
  • Una unión finita de conjuntos compactos es compacta.
  • Una imagen continua de un espacio compacto es compacta.
  • La intersección de cualquier colección no vacía de subconjuntos compactos de un espacio de Hausdorff es compacta (y cerrada);
    • Si X no es Hausdorff, entonces la intersección de dos subconjuntos compactos puede no ser compacta (ver nota a pie de página, por ejemplo).
  • El producto de cualquier colección de espacios compactos es compacto. (Este es el teorema de Tychonoff , que es equivalente al axioma de elección ).
  • En un espacio metrizable , un subconjunto es compacto si y solo si es secuencialmente compacto (asumiendo una elección contable )
  • Un conjunto finito dotado de cualquier topología es compacto.

Propiedades de los espacios compactos

  • Un subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff X está cerrado.
    • Si X no es Hausdorff, entonces un subconjunto compacto de X puede no ser un subconjunto cerrado de X (ver nota a pie de página, por ejemplo).
    • Si X no es Hausdorff, es posible que el cierre de un conjunto compacto no sea compacto (ver nota a pie de página, por ejemplo).
  • En cualquier espacio vectorial topológico (TVS), se completa un subconjunto compacto . Sin embargo, todos los televisores que no son de Hausdorff contienen subconjuntos compactos (y por lo tanto completos) que no están cerrados.
  • Si A y B son subconjuntos compactos disjuntos de un espacio de Hausdorff X , entonces existen conjunto abierto disjuntos U y V en X tal que AU y BV .
  • Una biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo .
  • Un espacio compacto de Hausdorff es normal y regular .
  • Si un espacio X es compacto y Hausdorff, entonces ninguna topología más fina en X es compacta y ninguna topología más burda en X es Hausdorff.
  • Si un subconjunto de un espacio métrico ( X , d ) es compacto, entonces está acotado por d .

Funciones y espacios compactos

Dado que una imagen continua de un espacio compacto es compacta, el teorema del valor extremo : una función continua de valor real en un espacio compacto no vacío está delimitada por encima y alcanza su supremo. (Un poco más en general, esto es cierto para una función semicontinua superior.) Como una especie de recíproco a las declaraciones anteriores, la imagen previa de un espacio compacto bajo un mapa adecuado es compacta.

Compactificaciones

Cada espacio topológico X es un subespacio denso abierto de un espacio compacto que tiene como máximo un punto más que X , por la compactación de un punto de Alexandroff . Por la misma construcción, cada localidad compacto de Hausdorff espacio X es un subespacio denso abierto de un espacio de Hausdorff compacto que tiene como máximo un punto más que X .

Espacios compactos ordenados

Un subconjunto compacto no vacío de los números reales tiene un elemento mayor y un elemento menor.

Sea X un conjunto simplemente ordenado dotado de la topología de orden . Entonces X es compacto si y solo si X es una red completa (es decir, todos los subconjuntos tienen suprema e infima).

Ejemplos de

  • Cualquier espacio topológico finito , incluido el conjunto vacío , es compacto. De manera más general, cualquier espacio con una topología finita (solo un número finito de conjuntos abiertos) es compacto; esto incluye en particular la topología trivial .
  • Cualquier espacio que lleve la topología cofinita es compacto.
  • Cualquier espacio localmente compacto de Hausdorff se puede convertir en un espacio compacto añadiéndole un solo punto, mediante la compactación de un punto de Alexandroff . La compactificación de un punto de es homeomorfa al círculo S 1 ; la compactificación de un punto de 2 es homeomorfa a la esfera S 2 . Usando la compactación de un punto, también se pueden construir fácilmente espacios compactos que no sean de Hausdorff, comenzando con un espacio que no sea de Hausdorff.
  • La topología de orden correcto o la topología de orden izquierdo en cualquier conjunto acotado totalmente ordenado es compacta. En particular, el espacio de Sierpiński es compacto.
  • Ningún espacio discreto con un número infinito de puntos es compacto. La colección de todos los singletons del espacio es una cubierta abierta que no admite una subcubierta finita. Los espacios discretos finitos son compactos.
  • Al llevar la topología de límite inferior , ningún conjunto incontable es compacto.
  • En la topología de cocountable en un conjunto incontable, ningún conjunto infinito es compacto. Como en el ejemplo anterior, el espacio en su conjunto no es localmente compacto, pero sigue siendo Lindelöf .
  • El intervalo de unidad cerrado [0, 1] es compacto. Esto se sigue del teorema de Heine-Borel . El intervalo abierto (0, 1) no es compacto: la cubierta abierta para n = 3, 4,…  no tiene una subcubierta finita. De manera similar, el conjunto de números racionales en el intervalo cerrado [0,1] no es compacto: los conjuntos de números racionales en los intervalos cubren todos los racionales en [0, 1] para n = 4, 5, ...  pero esto la cubierta no tiene una subcubierta finita. Aquí, los conjuntos están abiertos en la topología del subespacio aunque no estén abiertos como subconjuntos de  .
  • El conjunto de todos los números reales no es compacto ya que hay una cobertura de intervalos abiertos que no tiene una subcubierta finita. Por ejemplo, intervalos ( n - 1,  n + 1) , donde n toma todos los valores enteros en Z , cubren pero no hay subcobertura finita.
  • Por otro lado, la recta numérica real extendida que lleva la topología análoga es compacta; tenga en cuenta que la cobertura descrita anteriormente nunca alcanzaría los puntos en el infinito. De hecho, el conjunto tiene el homeomorfismo a [-1, 1] de mapear cada infinito a su unidad correspondiente y cada número real a su signo multiplicado por el número único en la parte positiva del intervalo que da como resultado su valor absoluto cuando se divide por uno menos él mismo, y dado que los homeomorfismos preservan las cubiertas, se puede inferir la propiedad de Heine-Borel.
  • Para cada número natural n , la n -esfera es compacta. Nuevamente, a partir del teorema de Heine-Borel, la bola unitaria cerrada de cualquier espacio vectorial normado de dimensión finita es compacta. Esto no es cierto para dimensiones infinitas; de hecho, un espacio vectorial normalizado es de dimensión finita si y solo si su bola unitaria cerrada es compacta.
  • Por otro lado, la bola unitaria cerrada del dual de un espacio normado es compacta para la topología débil- *. ( Teorema de Alaoglu )
  • El conjunto Cantor es compacto. De hecho, cada espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor.
  • Considere el conjunto K de todas las funciones f  : ℝ → [0, 1] desde la recta numérica real hasta el intervalo unitario cerrado, y defina una topología en K de modo que una secuencia en K converja hacia fK si y solo si converge hacia f ( x ) para todos los números reales x . Solo existe una topología de este tipo; se denomina topología de convergencia puntual o topología de producto . Entonces K es un espacio topológico compacto; esto se sigue del teorema de Tychonoff .
  • Considere el conjunto K de todas las funciones f  : [0, 1]  → [0, 1] que satisfacen la condición de Lipschitz | f ( x ) -  f ( y ) | ≤ | x  -  y | para todo xy  ∈  [0,1] . Considere en K la métrica inducida por la distancia uniforme Luego, por el teorema de Arzelà-Ascoli, el espacio K es compacto.
  • El espectro de cualquier operador lineal acotado en un espacio de Banach es un subconjunto compacto no vacío de los números complejos . A la inversa, cualquier subconjunto compacto de surge de esta manera, como el espectro de algún operador lineal acotado. Por ejemplo, un operador diagonal en el espacio de Hilbert puede tener cualquier subconjunto compacto no vacío de como espectro.

Ejemplos algebraicos

Ver también

Notas

Referencias

Bibliografía

enlaces externos


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