Función coercitiva - Coercive function

En matemáticas , una función coercitiva es una función que "crece rápidamente" en los extremos del espacio en el que se define. Dependiendo del contexto, se utilizan diferentes definiciones exactas de esta idea.

Campos de vectores coercitivos

Un campo vectorial f  : R ⁿ → R ⁿ se llama coercitivo si

${\ Displaystyle {\ frac {f (x) \ cdot x} {\ | x \ |}} \ to + \ infty {\ mbox {as}} \ | x \ | \ to + \ infty,}$

donde " " denota el producto escalar habitual y denota la norma euclidiana habitual del vector x . ${\ Displaystyle \ cdot}$${\ Displaystyle \ | x \ |}$

Un campo vectorial coercitivo es, en particular, norma-coercitivo ya que para , por la desigualdad de Cauchy-Schwarz . Sin embargo, un mapeo normativo-coercitivo f  : R ⁿ → R ⁿ no es necesariamente un campo vectorial coercitivo. Por ejemplo, la rotación f  : R ² → R ² , f (x) = (-x ₂ , x ₁ ) por 90 ° es un mapeo coercitivo de la norma que no es un campo vectorial coercitivo ya que para cada . ${\ estilo de pantalla \ | f (x) \ | \ geq (f (x) \ cdot x) / \ | x \ |}$${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}}$${\ Displaystyle f (x) \ cdot x = 0}$${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$

Operadores y formas coercitivas

Un operador autoadjunto donde hay un espacio real de Hilbert , se llama coercitivo si existe una constante tal que ${\ Displaystyle A: H \ a H,}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle c> 0}$

${\ Displaystyle \ langle Ax, x \ rangle \ geq c \ | x \ | ^ {2}}$

para todos en ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle H.}$

Una forma bilineal se llama coercitiva si existe una constante tal que ${\ Displaystyle a: H \ times H \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle c> 0}$

${\ Displaystyle a (x, x) \ geq c \ | x \ | ^ {2}}$

para todos en ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle H.}$

Se deduce del teorema de representación de Riesz que cualquier forma bilineal simétrica (definida como: para todo adentro ), continua ( para todo adentro y alguna constante ) y coercitiva tiene la representación ${\ Displaystyle a (x, y) = a (y, x)}$${\ Displaystyle x, y}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle | a (x, y) | \ leq k \ | x \ | \, \ | y \ |}$${\ Displaystyle x, y}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle k> 0}$${\ Displaystyle a}$

${\ Displaystyle a (x, y) = \ langle Ax, y \ rangle}$

para algún operador autoadjunto que luego resulta ser un operador coercitivo. Además, dado un operador coercitivo autoadjunto, la forma bilineal definida anteriormente es coercitiva. ${\ Displaystyle A: H \ a H,}$${\ Displaystyle A,}$${\ Displaystyle a}$

Si es un operador coercitivo, entonces es un mapeo coercitivo (en el sentido de coercitividad de un campo vectorial, donde uno tiene que reemplazar el producto escalar con el producto interno más general). De hecho, para grande (si está acotado, lo sigue fácilmente); luego reemplazando por obtenemos que es un operador coercitivo. También se puede demostrar que lo contrario es cierto si es autoadjunto. Las definiciones de coercitividad para campos vectoriales, operadores y formas bilineales están estrechamente relacionadas y son compatibles. ${\ Displaystyle A: H \ to H}$${\ Displaystyle \ langle Ax, x \ rangle \ geq C \ | x \ |}$${\ Displaystyle \ | x \ |}$${\ Displaystyle \ | x \ |}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x \ | x \ | ^ {- 2}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$

Mapeos normativos coercitivos

Un mapeo entre dos espacios vectoriales normativos y se llama norma coercitiva iff ${\ Displaystyle f: X \ to X '}$${\ Displaystyle (X, \ | \ cdot \ |)}$${\ Displaystyle (X ', \ | \ cdot \ |')}$

${\ Displaystyle \ | f (x) \ | '\ to + \ infty {\ mbox {as}} \ | x \ | \ to + \ infty}$ .

De manera más general, una función entre dos espacios topológicos y se llama coercitiva si para cada subconjunto compacto de existe un subconjunto compacto de tal que ${\ Displaystyle f: X \ to X '}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X '}$ ${\ Displaystyle K '}$${\ Displaystyle X '}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle f (X \ setminus K) \ subseteq X '\ setminus K'.}$

La composición de un mapa biyectivo propio seguido de un mapa coercitivo es coercitiva.

Funciones coercitivas (valoradas ampliadas)

Una función (de valor extendido) se llama coercitiva si ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$

${\ Displaystyle f (x) \ to + \ infty {\ mbox {as}} \ | x \ | \ to + \ infty.}$

Una función coercitiva real valorada es, en particular, norma-coercitiva. Sin embargo, una función coercitiva de normas no es necesariamente coercitiva. Por ejemplo, la función de identidad en es coercitiva por norma pero no coercitiva. ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Ver también: funciones radialmente ilimitadas

Referencias

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer-Verlag. págs. xiv + 434. ISBN   0-387-00444-0 .
• Bashirov, Agamirza E (2003). Sistemas lineales parcialmente observables bajo ruidos dependientes . Basilea; Boston: Birkhäuser Verlag. ISBN   0-8176-6999-X .
• Gilbarg, D .; Trudinger, N. (2001). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden, 2ª ed . Berlina; Nueva York: Springer. ISBN   3-540-41160-7 .

Este artículo incorpora material de Coercive Function en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .