Paradoja de la costa - Coastline paradox

Un ejemplo de la paradoja de la costa. Si la línea costera de Gran Bretaña se mide utilizando unidades de 100 km (62 millas) de largo, entonces la longitud de la línea costera es de aproximadamente 2.800 km (1.700 millas). Con unidades de 50 km (31 mi), la longitud total es de aproximadamente 3400 km (2100 mi), aproximadamente 600 km (370 mi) más.

La paradoja de la línea costera es la observación contradictoria de que la línea costera de una masa terrestre no tiene una longitud bien definida. Esto resulta de las propiedades de curvas fractales de las líneas costeras, es decir, el hecho de que una línea costera típicamente tiene una dimensión fractal (lo que de hecho hace que la noción de longitud sea inaplicable). La primera observación registrada de este fenómeno fue realizada por Lewis Fry Richardson y fue ampliada por Benoit Mandelbrot .

La longitud medida del litoral depende del método utilizado para medirlo y del grado de generalización cartográfica . Dado que una masa terrestre tiene características en todas las escalas, desde cientos de kilómetros de tamaño hasta pequeñas fracciones de milímetro o menos, no hay un tamaño obvio de la característica más pequeña que deba tenerse en cuenta al medir y, por lo tanto, no hay un perímetro único bien definido. a la masa continental. Existen varias aproximaciones cuando se hacen suposiciones específicas sobre el tamaño mínimo de la característica.

El problema es fundamentalmente diferente de la medición de otros bordes más simples. Es posible, por ejemplo, medir con precisión la longitud de una barra de metal idealizada recta utilizando un dispositivo de medición para determinar que la longitud es menor que una cierta cantidad y mayor que otra cantidad, es decir, medirla dentro de un cierto grado de incertidumbre . Cuanto más preciso sea el dispositivo de medición, más cerca estarán los resultados de la longitud real del borde. Sin embargo, cuando se mide una línea de costa, la medición más cercana no aumenta la precisión; la medición solo aumenta en longitud; a diferencia de la barra de metal, no hay forma de obtener un valor máximo para la longitud de la costa.

En el espacio tridimensional, la paradoja de la línea de costa se extiende fácilmente al concepto de superficies fractales en las que el área de una superficie varía, dependiendo de la resolución de la medición.

Aspectos matemáticos

El concepto básico de longitud se origina en la distancia euclidiana . En geometría euclidiana, una línea recta representa la distancia más corta entre dos puntos . Esta línea tiene una sola longitud. En la superficie de una esfera, esto se reemplaza por la longitud geodésica (también llamada longitud del gran círculo ), que se mide a lo largo de la curva de la superficie que existe en el plano que contiene ambos extremos y el centro de la esfera. La longitud de las curvas básicas es más complicada pero también se puede calcular. Midiendo con reglas, se puede aproximar la longitud de una curva sumando la suma de las líneas rectas que conectan los puntos:

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El uso de algunas líneas rectas para aproximar la longitud de una curva producirá una estimación menor que la longitud real; cuando se utilizan líneas cada vez más cortas (y por tanto más numerosas), la suma se aproxima a la longitud real de la curva. Se puede encontrar un valor preciso para esta longitud utilizando el cálculo , la rama de las matemáticas que permite el cálculo de distancias infinitesimalmente pequeñas. La siguiente animación ilustra cómo se puede asignar significativamente una longitud precisa a una curva suave :

Longitud del arco.gif

No todas las curvas se pueden medir de esta forma. Un fractal es, por definición, una curva cuya complejidad cambia con la escala de medición. Mientras que las aproximaciones de una curva suave tienden a un solo valor a medida que aumenta la precisión de la medición, el valor medido para un fractal no converge.

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Esta curva de Sierpiński (un tipo de curva que llena el espacio ), que repite el mismo patrón en una escala cada vez más pequeña, continúa aumentando de longitud. Si se entiende que itera dentro de un espacio geométrico infinitamente subdivisible, su longitud tiende al infinito. Al mismo tiempo, el área encerrada por la curva hace converger a una precisa figura-al igual que, de forma análoga, la masa de tierra de una isla se puede calcular más fácilmente que la longitud de su costa.

Como la longitud de una curva fractal siempre diverge hasta el infinito, si se midiera una línea costera con una resolución infinita o casi infinita, la longitud de las torceduras infinitamente cortas en la línea costera se sumaría al infinito. Sin embargo, esta figura se basa en el supuesto de que el espacio se puede subdividir en secciones infinitesimales. El valor de verdad de esta suposición, que subyace a la geometría euclidiana y sirve como modelo útil en la medición diaria, es una cuestión de especulación filosófica, y puede o no reflejar las realidades cambiantes del "espacio" y la "distancia" en el nivel atómico ( aproximadamente la escala de un nanómetro ). Por ejemplo, la longitud de Planck , muchos órdenes de magnitud menor que un átomo, se propone como la unidad medible más pequeña posible en el universo.

Las líneas costeras son menos definidas en su construcción que los fractales idealizados como el conjunto de Mandelbrot porque están formadas por varios eventos naturales que crean patrones de formas estadísticamente aleatorias , mientras que los fractales idealizados se forman a través de iteraciones repetidas de secuencias simples y formuladas.

Descubrimiento

Poco antes de 1951, Lewis Fry Richardson , al investigar el posible efecto de la longitud de las fronteras en la probabilidad de guerra, notó que los portugueses informaron que su frontera medida con España era de 987 km, pero los españoles la informaron como 1214 km. Este fue el comienzo del problema de la línea costera, que es una incertidumbre matemática inherente a la medición de límites que son irregulares.

El método predominante para estimar la longitud de una frontera (o línea de costa) era trazar n segmentos iguales en línea recta de longitud ℓ con divisores en un mapa o fotografía aérea. Cada extremo del segmento debe estar en el límite. Al investigar las discrepancias en la estimación de los bordes, Richardson descubrió lo que ahora se denomina "efecto Richardson": la suma de los segmentos es inversamente proporcional a la longitud común de los segmentos. En efecto, cuanto más corta es la regla, más largo es el borde medido; los geógrafos españoles y portugueses simplemente usaban reglas de diferente longitud.

El resultado más asombroso para Richardson es que, bajo ciertas circunstancias, cuando ℓ se acerca a cero, la longitud de la línea costera se acerca al infinito . Richardson había creído, basándose en la geometría euclidiana, que una línea de costa se acercaría a una longitud fija, al igual que estimaciones similares de figuras geométricas regulares. Por ejemplo, el perímetro de un polígono regular inscrito en un círculo se acerca a la circunferencia con un número creciente de lados (y una disminución en la longitud de un lado). En la teoría de la medida geométrica , una curva tan suave como el círculo que puede aproximarse mediante pequeños segmentos rectos con un límite definido se denomina curva rectificable .

Midiendo una costa

Más información: ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Autosemejanza estadística y dimensión fraccional

Más de una década después de que Richardson completara su trabajo, Benoit Mandelbrot desarrolló una nueva rama de las matemáticas , la geometría fractal , para describir complejos no rectificables en la naturaleza como la línea costera infinita. Su propia definición de la nueva figura que sirve de base para su estudio es:

Acuñé fractal del adjetivo latino fractus . El verbo latino correspondiente frangere significa "romper": crear fragmentos irregulares. Por tanto, es sensato ... que, además de "fragmentado" ... fractus también debería significar "irregular".

Una propiedad clave del fractal es la auto-semejanza ; es decir, a cualquier escala aparece la misma configuración general. Una línea costera se percibe como bahías que se alternan con promontorios. En la situación hipotética de que una línea costera dada tiene esta propiedad de auto-semejanza, entonces no importa cuán grande sea una pequeña sección de la costa, aparece un patrón similar de bahías y promontorios más pequeños superpuestos a bahías y promontorios más grandes, hasta la granos de arena. A esa escala, la línea costera aparece como un hilo que cambia momentáneamente, potencialmente infinitamente largo, con una disposición estocástica de bahías y promontorios formados a partir de los pequeños objetos a mano. En un entorno así (en contraposición a las curvas suaves) Mandelbrot afirma que "la longitud de la línea de costa resulta ser una noción elusiva que se desliza entre los dedos de quienes quieren agarrarla".

Hay diferentes tipos de fractales. Una línea de costa con la propiedad indicada se encuentra en "una primera categoría de fractales, es decir, curvas cuya dimensión fractal es mayor que 1". Esa última afirmación representa una extensión de Mandelbrot del pensamiento de Richardson. La declaración de Mandelbrot del efecto Richardson es:

donde L, longitud de la costa, una función de la unidad de medida, ε, se aproxima mediante la expresión. F es una constante y D es un parámetro que Richardson encontró que dependía de la línea de costa aproximada por L. No dio una explicación teórica, pero Mandelbrot identificó D con una forma no entera de la dimensión de Hausdorff , más tarde la dimensión fractal. Al reorganizar el lado derecho de la expresión se obtiene:

donde Fε −D debe ser el número de unidades ε requeridas para obtener L. La dimensión fractal es el número de dimensiones de la figura que se usa para aproximar el fractal: 0 para un punto, 1 para una línea, 2 para un cuadrado. D en la expresión está entre 1 y 2, para las líneas costeras normalmente menos de 1,5. Para las costas de los lagos, el valor típico es D = 1,28. La línea discontinua que mide la costa no se extiende en una dirección ni representa un área, sino que es intermedia. Puede interpretarse como una línea gruesa o una banda de ancho 2ε. Las líneas costeras más quebradas tienen mayor D y, por lo tanto, L es más largo para el mismo ε. Mandelbrot mostró que D es independiente de ε.

Ver también

Referencias

Citas

Fuentes

enlaces externos